关于身高的回归分析课件

大学生统计报为什么我们身边没有巨人？

――统计学的父子身高回归分析

英国著名遗传学家弗朗西斯·高尔顿爵士（SirFrancisGalton,1822-1911）在子女与父母相像程度遗传学研究方面，取得了重要进展。高尔顿的学生卡尔·皮尔逊（KarlPearson,1857-1936）在继续这一遗传学研究的过程中，测量了1078个父亲及其成年儿子的身高。他们之间的数量关系见图1（K.PearsonandA.Lee，“Onthelawsofinheritanceinman”Biometrika，partii（1903）pp.357-462）图中每一个点代表一对父子的身高关系。横轴的X坐标是父亲的身高，纵轴的Y坐标给出的是儿子的身高。我们看到，多数点子位于角平分斜线的两侧椭圆形面积之内，落在斜线上的点子极少，即儿子与父亲身高完全相同的极少。由点子落在斜线周围还说明，高个子的父亲有着较高身材的儿子，而矮个子父亲的儿子身材也比较矮。同时，我们也看到一些远离斜线的点子，这些点子反映的是父亲的身高与儿子的身高相差甚远的情况。比如高个子的父亲有矮儿子的情况，或者矮父亲有高个儿子的情况。图1中散点图给出父子身高的关系图，但图中给出的父亲身高和儿子身高两个变量的关系还是比较直观的相关系数r就是对两个变量间线性相关关系紧密程度的度量。相关系数r的计算公式为：式中分子部分为X和Y两具变量的协方差，分母部分是X和Y两个变量标准差的乘积。由于协方差是X和Y两个变量与其均值离差乘积的数学期望，它受X和Y两个变量度量单位大小的影响，因而在分母上除以X和Y两个变量的标准差，就将相关系数r转化成从-1到1之间的相对数值。实际数据计算的结果为r=0.501，表明高个子的父亲会有较高的儿子，矮身材的父亲其儿子身体也不会很高，但这一正相关的关系并不十分明显。那么，父子身高之间有什么规律呢？经过对1078对父子身高数据的计算，得到：父亲的平均身高=67.6英寸≈68英寸，标准差SX=2.74≈2.7英寸儿子的平均身高=68.7英寸≈69英寸，标准差SY=2.81≈2.8英寸（1英寸=2.54厘米）我们看到，儿子的平均身高比父亲高一英寸，表明下一代的平均身高比上一代要高。这样，我们会自然地猜测72英寸的父亲平均会有73英寸的儿子；64英寸的父亲平均会有65英寸的儿子，等等。那我们看一看图2中的情况：要对上式求最小，微积分的知识告诉我们要求其偏导数并令其为零。即：整理这一联立方程得到

Cov(XY)=r×SX×SY=0.501×2.74×2.81

=3.86父子身高的回归方程为该回归方程就是图2中的回归线（实线）。当X1=58时，=63.8；当X2=64时，=66.86。当X3=72时，=70.94。这些回归方程上的值实际上是当Xi确定后，若干Yi的平均值。这一回归直线和回归方程表明，矮个子父亲的儿子们平均身高会比父辈低一些，高个子父亲的儿子们平均身高会比父辈低一些，即儿子们的身高会向平均值回归。我们的读者必然会问，现代人一代比一代高，为什么高个子父亲的儿子们平均身高要比父辈低呢？细心的读者不难发现，当时高尔顿和皮尔逊做研究时只观察了父亲和儿子的身高，并没有考虑母亲的身高。实际上，高个子父亲的太太可能是较高的女性，也可能是较低的女性。反之，矮个子父亲的太太可能是矮个子，也可能是较高的身材。而儿子的身高既受父亲传传的影响，也受母亲遗传的影响，这就是为什么儿子们身高会发生“回归”的原因。类似的回归现象还有很多，比如我们连续观察一群学生春秋两季的考试成绩，会发现春季考试得高分的学生在秋季考试中虽然平均分还比较高，但平均分会有所降低。反之，春季考试分数最低的学生们秋季的平均分会有所提高。因为在考试中除了学生水平的高低这一主要因素影响之外，临场发挥等偶然因素也会起到一定的作用。我们在应用回归方程时若能注意回归效应的特点，会帮助我们更好地分析和解决问题。由于已知r=0.501，SX=2.74，SY=2.81，则频率与频数DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率，发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006从中我们看到字母E出现的频率最大而字母Z出现的频率最小等等结果，而且这些字母的频率可以大致看成它们出现的概率。对于计算机键盘的设计和文字的研究，这些结果都有重要意义。编者寄语：有很多人说统计学枯燥乏味，实际运用得很少，从我们本期报纸中，我们会看到不是我