《工程数学基础（第2版）》第4章积分及其应用

第四章积分及其应用4.1积分概述4.2直接积分法4.3换元积分法4.4分部积分法4.5广义积分法4.6积分在几何上的应用4.7积分在物理上的应用4.1积分概述4.1.1积分的定义单曲边梯形的面积

所谓单曲边梯形是指将直角梯形的斜腰换成连续曲线段后的图形.如图4-1：图4-1如何计算上述图形的面积呢？适当选取直角坐标系，将曲边梯形的一直腰放在x轴上，两底边为

x=a,x=b,设曲不妨设如图边的方程为y=f(x).，且上连续。4-2：图4-2具体做法如下：（1）化整为微

任取一组分点将区间分成n个小区间：第i个小区间的长度为第i个小曲边梯形的面积为。，过各个分点作x轴的垂线，将原来的曲边梯形分成n个小曲边梯形，（2）微量近似在每一个小区间上任取一点，（3）积微为整将n个小矩形面积相加，作为原曲边梯形面积的近似值

，当时，（4）极限求精设原曲边梯形的面积为。

２.积分的定义

注意下面的讨论：以表示以为底边的曲边梯形的面积则所求面积

，因为由连续函数的介值定理，存在，使

当因为连续，所以，所以

。虽然，以上所讨论的只是一个求曲边梯形面积的数学模型，但这种局部以直代曲（以小矩形面积代替小曲边梯形面积），然后相加并求极限的思想，正是微积分的精华所在。为此，可以有如下定义：定义4.1

设函数在区间上连续，且，则

表示在牛顿—莱布尼茨公式或微积分基本公式.其中，称为被积函数，a和b分别称为积分下限和积分上限，称为积分表达式，为积分变量，称为积分区间.上的积分.这个式子就是有名的例１求.解因为，所以

.原式=例２求解因为

.，所以，原式=图4-34.1.2积分的几何意义如果在上连续且非负，则恰好表示由曲线，直线以及轴所围图形的面积.如图4-3：图4-4如果在上连续且非正，则恰好表示由曲线，直线以及轴所围图形面积的负值.如图4-4：图4-5一般的情况下，如果在上连续，则表示由曲线，直线以及轴所围图形面积的代数值.如图4-5：4.1.3积分的性质由积分的定义，可以推出积分具有以下一些性质（假设被积函数在积分区间上连续）：性质１（常数性质）

.性质２（反积分区间性质）

.性质３（线性性质）

性质４（积分区间的可加性）

性质５（有序性）如果在区间上有则

.性质６（积分估值性质）设函数，则

性质７（积分中值定理）在内至少存在一个（中值），使

图4-6这个性质的几何解释是明显的（如图4-6）：若在上连续且非负，在内至少存在一点，使得以为底，高为的矩形面积等于以为底边，曲线为曲边的曲边梯形的面积.返回4.2直接积分法4.2.1原函数的定义如果在上连续，则必存在，使得.我们称为在上的一个原函数.例如：，所以就是的一个原函数，又比如（C为常数），所以的原函数不止一个，而是为的一个原函数，则的全部原函数为（C为常数），我们可以记为

日微分中值定理的推论知道，若无穷多个.由拉格朗图4-7上述表达式也可称为的不定积分，其几何意义是很明显的：表示一个曲线族.如图4-7：平行于轴的直线与族中每一条曲线的，因此，曲线族交点处的切线斜率都等于可以由一条曲线通过平移得到.由导数或微分的基本公式可直接得到如下原函数的计算公式：直接积分法的定义4.2.2另外，若和都存在原函数和，因为所以由上述13个基本公式结合§4-1中的积分性质3或上面这个公式，同时对被积函数进行恒等变换而进行的积分运算称为直接积分法.例1计算.解因为

所以，原式=

，例2计算.解因为所以，原式=

例3计算

解

原式=

例4计算

解原式=

例5

计算

解原式=

例6

计算

解原式=

返回4.3换元积分法

4.3.1第一换元积分法定理１设.则例１计算下列积分：（１）

；（２）（３）；（４）.；上述题目都有一个共同的特征：将写成我们也称此种方法为凑微分法.凑微分法可以进行换元也进行换元，不换元则不必换积分上下限，而换元则必换限..可以不常用的微分式子有以下一些（c为常数）：在应用凑微分法熟练之后，可以省略直接写出结果

这一步，例2计算

解

例3计算解

例4计算解

例5计算解注意：

例6计算解

4.3.2第二换元积分法定理２

.则

例7计算

解令所以

例8计算解令所以思考一下，例8中t的积分区间可以取成怎么样？例9计算

解令所以

例10计算解令所以返回4.4分部积分法设函数在上均具有连续导数，则由或两边积分得：

称这个公式为分部积分公式.例1求.

解令则注意：如果令则

此时，右式反而比左式更复杂，这真是弄巧成拙了.因此，这样选取是不合适的.由此可见，应用分部积分法是否有效，是十分关键的.一般可根据以下两个原则选取

选择（1）由求比较容易；例2

求.

解令（例1中，.）例3

求.解令，则例4

求.解

例5求.解令则例6求

解令则例7求

解令则对于等式右端仍令得即所以

一般地

返回4.5广义积分法4.5.1无穷区间上的广义积分图4-8例1

如图4-8，若求以为曲顶、[1，A]为底的单曲边梯形的面积S（A），则为现在若要求出由轴所“界定”的“区域”的面积S，，它已经不是通常意义的积分了来获取面积，即则因为区域是（累积范围是无限的）.不过，我们可以这样处理：通过S（A），令定义1设函数在内有定义，对任意（即存在），称无穷区间广义积分，即（简称无穷积分），记做若等式右边的极限存在，则称无穷积分收敛，

否则就称为发散.同样可以定义（极限号下的积分存在）；

（两个极限号下的积分都存在）.

它们也称为无穷积分.如果等式右边的极限都存在，则称无穷积分收敛，否则就是发散.图4-94.5.2无界函数的广义积分若求以为曲顶、为底的单），则为例4如图4-9，曲边梯形的面积S（现在若要求出由

轴和y轴所“界定”的“区域”的面积S，

则因为函数

在处没有意义，且在（0，2]无界，

与例1类似，

它已经不是通常意义的积分了（函数是无界的）.

不过，

我们

可以这样处理：通过S（），令

来获取面积，即定义2设函数

在

上有定义，

对任意，在上可积，即

存在，则称为无界函数

在上的广义积分，记作若等式右边的极限存在，则称无界函数广义积分

收敛，

否则就称为发散.无界函数广义积分也称为暇积分，其中a称为暇点.暇点也可以是区间的右端点b或区间中的内部点，类似地，可以有如下定义：（b为暇点）为暇点）

若等式右端的极限都存在，则暇积分收敛，否则就是发散.返回4.6积分在几何上的应用4.6.2平面图形的面积

1．直角坐标系下平面图形的面积x图4-11(a)yOy=f2(x)bay=f1(x)x图4-11(b)yOx=g1(y)x=g2(y)dc通常把由上下两条曲线与及左右两条直线xa与xb与及上下两条直线yc与yd所围成的平面图形称为X-型图形；而由左右两条曲线所围成的平面图形称为Y-型图形.注意构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点4.6.1积分的微分法X-型图形的面积.Y-型图形的面积.

例1计算曲线所围成的图形的面积A.

解解方程组

得交点为（0，0）、（1，1）.由公式，所求图形的面积为例2

计算抛物线y22x与直线yx-4所围成的图形的面积A.

解解方程组得交点为（2，-2）、（8，4）.由公式，所求图形的面积为例3求由曲线和直线

及y轴所围成图形的面积A.解在之间，两条曲线有两个交点：

由图易知，

所求面积为x图4-14yO

y=sinx21y=cosx－1

CB2．曲边以参数方程给出的平面图形的面积

例4求摆线一拱与x轴所围图形的面积A.解所围图形为X-图形，曲边方程为

由公式得换元

而所以3.极坐标情形x图4-16r=r()Od对极坐标系中的图形,将从极角的变化特点来考虑求面积问题

所围成的图形称为曲边扇形.

下面利用微元法求它的面积公式.在极坐标系中，称由曲线rr()及射线.在上任取一微段面积微元dA表示这个角内的小曲边扇形的面积，（等式右边表示以）为半径、中心角为的，扇形面积），所以曲边扇形的面积为.

例5计算双纽线

(a>0)所围成的图形的面积.

解双纽线即因为图形关于极点对称，所以所求面积A是部分面积的两倍.xya

4.6.3空间立体的体积这里我们主要介绍旋转体的体积.把X-型单曲边梯形绕x轴旋转一周得到旋转体，其体积为

x图4-18(a)OyxA(x)f(x)bay=f(x)类似可得把Y-型单曲边梯形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积的计算公式，xOyx=g(y)dc图4-18(b)例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线xh

及x

轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.

解直角三角形斜边的直线方程为

所求圆锥体的体积为

例7

计算椭圆绕x轴及y轴旋转而成的椭球体的体积.

解（1）绕x轴旋转所得的椭球体，

可以看作是由上半个椭圆

及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体，

由公式得xyab－a－bO图4-20(a)（2）绕y轴旋转所得的椭球体，可以看作是由右半个椭圆及y轴围成的图形绕y轴旋转而成的立体，由公式得

xOyab－a－b图4--20（b)4.6.4平面曲线的弧长1．直角坐标情形设光滑曲线由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,曲线长度微元ds的计算公式xOyabxx+dxABPdyy=f(x)图4-22据微元法，得所求的弧长为例9

计算曲线

()

的弧长.

解因为,所以由公式得所求弧长为

2．参数方程情形

设曲线由参数方程给出,

其中在[,]上连续且不同时为0，

代入弧微分公式得对应于参数微段

[t,t+dt]的弧长微元为

由微元法得，所求弧长为

例10

计算星形线

的长度.解由对称性，星形线的长度是第一象限部分长度的4倍.弧长微元为所求弧长为6a.

3．极坐标情形设曲线由极坐标方程

rr()(

)给出,

其中在[,]上具有连续导数.

由直角坐标与极坐标的关系，曲线相当于以参数式给出.于是得对应于参数微段弧长微元为由微元法，得所求弧长为返回4.7积分在物理上的应用

4.7.1变力做功取物体运动路径为x轴，位移量为x，则，力为F=F(x).现物体从点

x=a移动到点x=b，

求力F对物体所做功W的做法如下：

在区间[a,b]上任取一微段[x,x+dx]，力F在此微段上做功微元为dW.假设在微段[x,x+dx]上F(x)看成不变，则，功的微元为dW=F(x)dx.由微元法得到例1半径为1米的半球形水池（如图），池中充满了水，把池内水全部抽完需做多少功？

解把水看作是一层一层地抽出来的.任取一