《工程数学基础（第2版）》第1章函数、极限与连续性

第一章函数、极限与连续性1.1函数1.2极限1.3极限运算法则1.4两个重要极限1.5无穷小与无穷大1.6函数的连续性1.1函数1.1.1函数的概念1．函数的定义定义1

设D是一非空实数集,如果存在一个对应法则f，使得对D内的每一个值x，按法则f，都有y与之对应，则这个对应法则f称为定义在集合D上的一个函数，记作其中x称为自变量,y称为因变量或函数值,D称为定义域，集合称为值域.2．几个特殊的函数(1)分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数。注意：分段函数的定义域是各段定义区间的并集。例如：(2)隐函数变量之间的关系是由一个方程来确定的函数。例如：由方程确定的函数.(3)参数方程所确定的函数

例如：由确定的y与x之间的函数关系.（t为参数）

3．函数的定义域

常见解析式的定义域求法有：(1)分母不能为零；(2)偶次根号下非负；(3)对数式中的真数恒为正；(4)分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集.

例1求下列函数的定义域

（1）（2）（3）解题过程解题过程

解(1)要使函数有意义,必须,且，解不等式得.所以函数的定义域为且(2)要使函数有意义,必须，即.所以函数的定义域为(3)函数的定义域为

1.1.2初等函数与点的邻域1．基本初等函数常数函数：（C为常数）幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：以上六类函数统称为基本初等函数.为了方便，我们通常把多项式也看作基本初等函数。2．复合函数引例：考查具有同样高度h的圆柱体的体积V，显然其体积的不同取决于它的底面积S的大小，即由公式V=Sh（h为常数）确定。而底面积S的大小又由其半径r确定，即公式。V是S的函数，S是r的函数，V与r之间通过S建立了函数关系式。它是由函数与复合而成的，简单地说V是r的复合函数。复合函数定义复合函数定义定义：设y是u的函数，而u又是x的函数，且的值域与的定义域交非空，那么y通过中间变量u的联系成为x的函数，我们把这个函数称为是由函数与复合而成的复合函数.记做：其中u称为中间变量.

注意：并不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的.如，就不能复合成一个函数.同时，学习复合函数有两方面要求：一方面，会把有限个作为中间变量的函数复合成一个函数；另一方面，会把一个复合函数分解为有限个较简单的函数.例2

将，复合成一个函数.例3

指出下列函数的复合过程.解题过程（1）（2）解题过程解题过程例2解：例3解：(1)是由和复合而成的.(2)是由，和复合而成的.如何定义平面上一点的邻域？3．初等函数定义由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.

4．点的邻域定义设，，集合，即数轴上到点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为.点，分别称为该邻域的中心和半径。集合称为点的空心邻域记.思考：返回1.2极限1．数列的定义定义按一定规律排列得到的一串数

就称为数列记为其中第n

项称为数列的一般项或通项.1.2.1数列极限观察以下三个数列：（可以写出一部分数值）讨论结论（1）（2）（3）讨论结论观察上面三个数列：(1)当n无限增大时，也无限增大；(2)当n无限增大时，无限地趋近于0；(3)当n无限增大时，总在1，-1两个数值之间跳跃。

2．数列极限的定义定义对于数列如果当项数n无限增大时数列的一般项无限地趋近于某一确定的常数A

那么称常数A是数列的极限记为，或者记为（读作：当n趋向于无穷大时，的极限等于A）.若数列存在极限，称数列是收敛的；若数列没有极限，则称数列是发散的

1.2.2函数极限1．当，函数的极限定义如果当无限增大（即）时，函数无限地趋近于某一确定的常数A，那么称常数A是函数当时的极限，记为或解题过程解题过程结论结论由例2我们可以得出下面的结论：例题与注意点例题注意点分别作函数图像讨论下列极限例6的结论结论思考题返回1.3极限运算法则说明：法则（1）（2）可推广到有限个函数的情况。推论例题例题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程说明：以上两个均为“”型极限，可通过因式分解、根式有理化消去分母上的零因子

解题过程说明：这是“”型极限，通过通分转化

思考题（1）（2）解题过程解题过程解思考题（1）解思考题（2）其他结论注：以下结论在极限的反问题中常用

返回1.4两个重要极限首先介绍一个极限存在准则：1.4.1极限：x(弧度)±0.50±0.10±0.05±0.04±0.03±0.02…0.95850.99830.99960.99970.99980.9999…从上表可以看出：例题例1

求

例2求例4求例3求解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例1解例2解例3解例4设返回例题1.4.2极限：

210100010000100000…2.252.5942.7172.71812.7182…-10-100-1000-10000-100000…2.882.7322.7202.71832.71828…从上表可以得出：说明说明例5求例6求例7求例8求例题解题过程解题过程解题过程解题过程解题过程解例5解例6解例7解例8返回返回例题1.5无穷小与无穷大1.5.1无穷小1．无穷小的定义注意2．无穷小的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质：性质1

有限个无穷小的代数和仍为无穷小；性质2

有限个无穷小的乘积仍为无穷小；性质3

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；推论常数与无穷小的乘积仍为无穷小。

例1求思考题3．无穷小与函数极限的关系

证明略1.5.2无穷大注意点注意：1.5.3无穷大与无穷小的关系说明说明例3求例4求例5求解题过程解题过程解题过程解题过程解例3解例4解例5因为所以结论返回结论分析例3～例5的特点和结果，我们可得当自变量趋向于无穷大时有理分式的极限的法则：1.5.4无穷小的比较已知两个无穷小的和与积仍为无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的结果。

例子例子例子例子例10求例11求例12求思考题解题过程解题过程解题过程如何求返回解题过程解题过程返回解题过程返回例题1.6函数的连续性1.6.1函数在一点处连续1．变量的增量2．连续的定义

所谓“函数连续变化”，在直观上来看，就是它的图象是连续不断的.一点处连续的定义例子例子另有函数在一点处连续的等价形式和左右连续的定义例子例子1.6.2连续函数及其运算

1．连续函数2．连续函数的运算注意和、差、积的情况可以推广到有限个函数的情形。3．复合函数的连续性例如求4．初等函数的连续性

根据初等函数的定义由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。所谓定义区间就是包含在定义域内的区间。例子例子