微积分课件及其答案-黎传奇高数

第七节方向导数与梯directional 方向导数概念与计算公式梯度概念与计算数量场与向量场的概念小结思考题作业第八第八元函数微分法及 方向导数与梯 方向导数与梯 PAGEPAGE7一、方向导数概念与计算公设有二元函z

f(

y),考虑函数在某沿任何方向的变化率l由点P发出的一条射线l, 射线是指有方向的半直线在点Px,y)附近于l方向上一点Px

y记|PP

. (x)2(x)2(y)2定义如果极

P

f(P)

f(Pll

f(x

yy)

f(x,y) 存在,则将这个极限值称为函在点P沿方向l的方向导数

,

f(x

x,y

y)

f(x,y) 注方向导数是函数沿半直线方向的变化率注方向设z

f(

y)的几何意义为曲面,当限自变量沿方向l变化时对应的空间x,形成l的铅垂平面与曲面的交线,zMOPyl半切线,zMOPyl的夹角为,则由方向导数的

y,z)f

tan注注ρ一定为正ρ一定为正

f(x

x,

yy)

f(x,y) 是函数在某点沿任何方向的变化率偏导

f

f(x

y)

f(x,y)f

x0

f(

yy)

f(x,y)Δx、Δy可正可负Δx、Δy可正可负当函数

(

fx,f存在时

函数

(

y)在点P

y)沿xe1

(1,0)的方向导数存在,

fx.事实上f

f(x

x,

y)

f(x,y)

(

同理

函数

(

y)在点P

y)沿y轴正e2

fy事实上f

f(

yy)

f(x,y)

fy(

y),函数

(

y)在点P

y)沿x轴负

fi

x0

f(x

x,

y)

f(

y)

fx(

函数

(

y)在点P

y)沿y轴负向f

f(

yy)

f(

y)

(

y).

f

ff反之当i或

存在时j

y是否一定存PAGEPAGE8 方向导数与梯 例如,z

x2

y2在点

0)处沿方l的方向导f

|x

lim(x)202(x)202

(x)202(x)202但x

limxx0

fflimf(xx,y)f(x,y)即z在(0,0)点的偏导数不存在 方向导数与梯 方向导数与梯 PAGEPAGE9及及

充分条定理设z

f(

y)在点P

y)处可微,则函在该点沿任意指定方向l的方向导数都存在f

f

cos其中、分别为方向l与x轴、y轴正向的夹角证由于函数可微则增量可表示f(xx,yy)

f(

y)

fx

fyo(两边同除

得 方向导数与梯 ff(xx,yy)f(x,y)fxfyo(f(x

yy)

f(x,y)

f

y

o( 故有方向导

ll f(x

x,y

y)

f(x,y)l

cos 方向导数与梯 注注

其中cos,cos为l方向的方向余弦,即l的单位向量计算方向导数只需知道l的方向及函数的

在定点P0x0

y0)的方向导数关

cos

cos可 方向导数存 偏导数存 方向导数与梯 例考虑函数z

lcoslcos0x00

(3,1),

(2,3). 3x2y2

2x3

555555

555555

1

cos l

27

1)

54

方向导数与梯 方向导数与梯 例求函数

(

y)

x2

xy

与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数并问在怎样的方向上此方向导数(1)最大值 (2)最小值;(3)等于零解由方向导数的计算公式fx(1,1)

fx (2x

y)(1,1)

(2y

x)(1,1)

sin

sin(22lcos0x0 方向导数与梯 方向导数与梯

sin

sin(问在怎样的方向上问在怎样的方向上此方向导数(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零2

当

时,方向导数达到最大值4(2当

5时,方向导数达到最小值 4(3)

当

3和4

7时,方向导数等4 方向导数与梯 方向导数与梯 y3O2x 在点P(2,3y3O2x解将已知曲线用参数方程表示x它在点P的切向量为(12

x2

(1,P0P0cosP0P0 方向导数与梯 方向导数与梯 推广可得三元函数方向导数的定对于三元函u

f(

y,z),它在空间一P(

yz沿着方向

的方向导数,可定义f

f(x

x,

yy,z

z)

f(

y,z)(x)2((x)2(y)2(z)2设方向l的方向角为,x

cos

y

cos

z

cosf

f

在该其中(cos,cos,cos

)是l的方向向量1991考题,计算1991考题,计算,56x6x28y2求函数u在P点处沿方向n的方向导数 F

y,z)

2

3

z2Fx 4xF

6Fy Fy

6,Fz

2zPn

(Fx

Fy

Fz)

(4,

426242622n

其方向余弦cos

cos

,cos 方向导数与梯

函数ucosP

cos

6 66 6x28y2P8 68 6x28y2P

cos ;;

6x26x28y2z2

6x286x28y2

ucos

ucos

11.7 方向导数与梯 练练x2y2x2y2z2xxt,y2t2,z2t的方向导数

在点M(1,2,2)处沿在此点的切线方向解切线方向的方向向量

19

cos

49

89fffcosfcosfM

16

2

z fffcosfcosfcos6考题,填空,3函数u

ln(x

y2z2B(3,2,2)方向的方向导数y2z22解此方向的方向向量为

2

cos

2

11A

A

1 方向导数与梯z

f(

y)已知方向导数公

f

cosfcosfcos

f

Gx

y

G方向fG方向f变化率最大的方f的最大变化率之方向导数取最大

max

|GGGx,yf定义设函z

f(

y)在点P

y)可偏导称向量G为函数z

f(

y)在点P

y)处梯度(gradient),

(

yf

f

f

f

(

y)

y

x

j引入算符 xi

j,称为哈算子读作nable.或算子,或向量微分算子利用梯度的概念,可将方向导数计算公f

f

cos

方向导数与梯 方向导数与梯 梯度的基本运算公1.

0

C(Cu)C(uv)

(u)

(v)4.grad(uv)

vvgraduf(u)f(u)结论函数在某点的梯度是这样一个向量,它方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为f2 f2|

f(

y)

x

y当

不为零时

x轴到梯度的转角的

tan在几何z

f(

y)表示一个曲面曲面被平z

zz所截得z

f(x,y) 所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线L如图 f(

y)

f(x,y) 梯度为等值线上的法向Pf(x,O

y)

f(x

y)

等值事实上,由于等值

f(

y)

c上任一P(x,

法线的斜率为ff(x,y)Pgradf(x,y)f(x,y)1f(x,y)等值1

fyf ffff f,f所以

为等值线上点P处的法向量y梯度的概念可以推广到三元函三元函数u

f(

y,z)在空间区域G具有一阶连续偏导数,则对于每一P(

y,z)

都可定义一个向量(梯度

f(

y,z)

f xi

fjzk方向与取得最大方向导数的方向一致其模为类似地,设曲

f(

y,z)

c为函u

(

yz)的等量面,此函数在

P(

y,z)的梯度的方向与过点P的等量面

(

y,z)在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面,而梯度的模 方向导数与梯

f

f(

y,z)

x,

,z例求函数u

x2

2

3z2

3

2y在点处的梯度解gradu

并问在哪些点处梯度为零y,z)(2x

4y

2,6z=== ===gradu(1,1,2在P31,0处梯度为0 2 方向导数与梯 方向导数与梯 例 可导,其 为处向证

的模试

xrf(rxrf(r)

f(r)yr

f(r)

f(r)r

f(r)

f(r

(r)jy

f(r)zrPOyzrPOyf

(r)r

(xi

yjzkf

(r)rr

f(r)0x0 方向导数与梯 方向导数与梯 555设函z

f(

y)

xey(1)求

f在点P(2,0)处沿从P到Q1,2方向的变化率2 2 (2)f在点P(2,0沿什么方向具有最大的增长率最大增长率为多少

PQ方向的方向向量为

3,

35

cos

4 5PgradP

(ey

xeyP

gradf(2,0)(cos,cos(2,0)

(1,2)

34

方向导数与梯 方向导数与梯 (2)f在点P(2,0沿什么方向具有最大的增长率,解f

y)在点P(2,0)处

(2,0)

即为梯度方向

|

f|gradf(2,0) 5. 方向导数与梯 1992考题,填1992考题,填空,3

ln(x2

y2

z2在点M(1,2,2)的梯度gradu

).29解grad

u,u,u x zMx2

2y2

z2,x2

y2

z2,x2

2zy2

2zM29 方向导数与梯 方向导数与梯 三、数量场与向量场的概数量(数性函数度场,电位场函 场(物理量的分

向量场(矢性场,速度场可微函数

(P

梯度(势 (势场例已知数量场u

y,z)

2a2 b22

z2c2求沿ux,yz)的梯度方向的方向导数

f

2x,2y,2z解gradu

x,

,z

a2 b2 c2b2x2y2b2x2y2z2a4 c4cosa2c2x2c2x2y2z2a4 c4

2 2a4 z

z2c4

cos 已知数量场ux,y已知数量场ux,yz)x2 y2 z2a2 c2 求沿ux,y,z)2zc2ffcosfcosfcosu

2xa22 yb2 z(grad(gradu)|graduu2 u2 u2xyz2x2 2y2 2z2a2 b2 c2x2x222a4y2zb4a4c24b 4c4 方向导数与梯