2020高中数学 第1章 三角函数 1.1.2 弧度制讲义 4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精1.1.2弧度制学习目标核心素养(教师独具)1.了解弧度制。2.会进行弧度与角度的互化．(重点、难点）3。掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.一、弧度制的概念1．角度制：规定周角的eq\f(1，360)为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？［提示］“1弧度的角”是一个定值,与所在圆的半径大小无关．二、角度制与弧度制的换算1．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180）rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（180,π))）度≈57。30°2。一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度0°1°30°45°60°90°弧度0eq\f(π,180）eq\f(π，6)eq\f(π，4)eq\f(π,3)eq\f(π，2)角度120°135°150°180°270°360°弧度eq\f(2π，3）eq\f（3π,4）eq\f(5π，6）πeq\f(3π，2)2π3。任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？［提示]利用1°＝eq\f(π，180）弧度和1弧度＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（180,π)）)°进行弧度与角度的换算．三、扇形的弧长公式及面积公式1．弧度制下的弧长公式：如图,l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是｜α｜＝eq\f(l,r),弧长l＝|α|r.特别地，当r＝1时，弧长l＝|α|.2．扇形面积公式:在弧度制中,若｜α|≤2π，则半径为r，圆心角为α的扇形的面积为S＝eq\f（|α|,2π）·πr2＝eq\f（1，2）lr.1．思考辨析（1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．(）(2）圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．(）（3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．（)[答案]（1）×（2)×（3）×2．将下列弧度与角度互换(1)－eq\f(2π,9）＝________；（2)2＝________；(3）72°＝________；（4)－300°＝________.（1）－40°(2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(360，π）))°(3)eq\f（2π，5）rad（4）－eq\f（5π,3)rad［（1）－eq\f（2π，9)rad＝－eq\f(2，9）×180°＝－40°。(2）2rad＝2×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(180,π）））°＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（360，π）))°.(3)72°＝72×eq\f（π，180)rad＝eq\f（2π,5）rad。（4）－300°＝－300×eq\f(π,180)rad＝－eq\f(5π,3）rad。]3．半径为1，圆心角为eq\f(2π，3）的扇形的弧长为________，面积为________．eq\f（2π，3)eq\f(π，3）［∵α＝eq\f(2π，3），r＝1,∴弧长l＝α·r＝eq\f（2π,3)，面积＝eq\f（1,2）lr＝eq\f(1,2）×eq\f（2π,3)×1＝eq\f(π，3)。]角度制与弧度制的互化【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度：（1)－450°;（2）eq\f(π，10);（3)－eq\f(4π，3）;(4)112°30′.思路点拨:利用“180°＝π"实现角度与弧度的互化．［解]（1)－450°＝－450×eq\f（π，180)rad＝－eq\f（5π，2)rad；(2)eq\f（π，10)rad＝eq\f(π,10)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（180，π））)°＝18°；（3）－eq\f（4π，3）rad＝－eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(180,π))）°＝－240°;（4)112°30′＝112。5°＝112.5×eq\f(π，180)rad＝eq\f（5π,8）rad。角度制与弧度制换算的要点:提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度,再把度化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°;(2)－15°；(3)eq\f(7π,12);（4）－eq\f（11π，5).[解］（1）20°＝eq\f(20π，180)rad＝eq\f(π，9）rad。（2）－15°＝－eq\f（15π，180)rad＝－eq\f(π，12）rad.(3)eq\f（7π，12）rad＝eq\f（7,12）×180°＝105°.（4）－eq\f(11π,5）rad＝－eq\f(11，5)×180°＝－396°.用弧度制表示角的集合【例2】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界,如图所示)．思路点拨:先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合．［解]用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角,(1）eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（θ\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f(π,6)＋2kπ<θ<\f（5,12)π＋2kπ，k∈Z)))）.(2)eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f（3π，4）＋2kπ〈θ〈\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z）)）)。（3)eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（π，6)＋kπ<θ<\f(π，2）＋kπ，k∈Z)))）。表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπk∈Z”中,α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°k∈Z”中，α必须是用角度制表示的角。提醒:用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错。2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①②［解］(1)如题图①，以OA为终边的角为eq\f(π,6)＋2kπ(k∈Z）；以OB为终边的角为－eq\f（2π,3）＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f（2π,3)＋2kπ＜α＜\f（π,6）＋2kπ，k∈Z)）)).（2）如题图②,以OA为终边的角为eq\f（π，3）＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为eq\f（2π，3)＋2kπ（k∈Z）．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f（π,3)＋2kπ,)）k∈Z)），M2＝eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(2π,3）))＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z））。所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αeq\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(2kπ＜α＜\f(π，3))）＋2kπ或eq\f(2π，3）＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z）).扇形的弧长及面积问题［探究问题]1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗?提示：公式l＝｜α|r中，“α”必须为弧度制角．2．在扇形的弧长l，半径r,圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r,可利用l＝|α｜r,求l，进而求S＝eq\f(1,2）lr；又如已知S，α，可利用S＝eq\f(1,2)｜α｜r2，求r，进而求l＝|α|r。【例3】一个扇形的周长为20,则扇形的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形面积最大？思路点拨：eq\x(\A\AL(设出扇形的圆心角、,半径、弧长)）→eq\x（\A\AL（用半径表示，圆心角）)→eq\x(求扇形面积)→eq\x（\A\AL(转化为二次,函数求最值））[解］设扇形的圆心角为α，半径为r,弧长为l,则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20,∴α＝eq\f(20－2r，r).由l＝20－2r〉0及r〉0得0〈r<10，∴S扇形＝eq\f(1，2)αr2＝eq\f(1，2)·eq\f(20－2r，r）·r2＝（10－r)r＝－（r－5)2＋25（0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25。此时l＝10，α＝2,故当扇形半径r＝5，圆心角为2rad时，扇形面积最大．1．（变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20cm"，求扇形的面积．［解]设扇形弧长为l，因为72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f（2π,5）(rad),所以l＝αr＝eq\f（2π，5）×20＝8π（cm),所以S＝eq\f(1，2)lr＝eq\f(1，2）×8π×20＝80π(cm2）．2．（变结论）本例变为“扇形周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数．”请解答．［解］设扇形圆心角的弧度数为θ（0〈θ<2π),弧长为l，半径为r，依题意有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（l＋2r＝10，①，\f(1,2）lr＝4.②))①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8（cm），此时，θ＝8rad>2πrad（舍去）．当r＝4时，l＝2（cm），此时，θ＝eq\f（2,4）＝eq\f（1，2)rad.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.提醒：1在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.2看清角的度量制，选用相应的公式。3扇形的周长等于弧长加两个半径长。教师独具1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)π＝180°；（2)1°＝eq\f（π，180）rad（3）1rad＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（180，π)））°.3．本节课要重点掌握以下规律方法（1)弧度制的概念辨析；(2）角度与弧度的换算；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用．4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．1．将下列各角的弧度（角度)化为角度(弧度)：(1）eq\f(2π,15)＝________；（2)－eq\f(6π,5）＝________；（3）920°＝________;（4)－72°＝________。（1）24°(2）－216°(3)eq\f(46，9)πrad(4）－eq\f(2π，5)rad［(1)eq\f（2π，15）rad＝eq\f（2,15)×180°＝24°.(2）－eq\f(6π，5）rad＝－eq\f（6，5)×180°＝－216°.（3）920°＝920×eq\f(π,180)rad＝eq\f（46，9)πrad.(4）－72°＝－72×eq\f(π，180)rad＝－eq\f(2π,5）rad.］2．若扇形的周长为4cm，面积为1cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．2[设扇形所在圆的半径为rcm,扇形弧长为lcm。由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（l＋2r＝4，，\f(1，2)lr＝1,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（l＝2,,r＝1。））所以α＝eq\f（l，r)＝2。因此扇形的圆心角的弧度数是2。］3．用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为______．eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（2kπ＜α＜2kπ＋π，k