高 考 试 题 中 的 碰 撞 问 题

06年高考试题中的碰撞问题打击、碰撞问题与日常生活息息相关，很多实际情景可提炼抽象成碰撞模型，这类问题的背景材料十分丰富。另外，打击、碰撞过程中相互作用的两个物体在打击、碰撞前后各自可有丰富的运动形式，从前些年的直线运动，到06年的圆周、平抛运动；碰撞的对象非常广泛，大到宇宙中的天体，小到微观粒子，这类问题又能够将高中的主干知识贯穿起来。因此，在题量少，分值大的理综考试模式中更是频频出现。06年的天津、四川、重庆理综卷，单独考试的江苏、广东卷中都出了大题，其中四川、重庆和广东卷更是以压轴题形式出现。品读这些题目，其突出表现为三大特点：一是，碰撞的形式丰富，囊括了所有的类型，从天津、四川、重庆、广东卷中的正碰到江苏卷中的斜碰（巧取参考系后，可转化为正碰）碰撞中又涉及到弹性碰撞（重庆卷）、非弹性碰撞（四川卷）、完全非弹性碰撞（天津卷）；二是，碰撞前后物体的运动形式非常丰富，从沿袭以往的直线运动（天津卷）到受轨道制约的圆周运动（重庆卷），复合场中的平抛和圆周运动（四川卷）；三是，碰撞呈现出周期性（重庆和广东卷）。一、正碰问题碰撞过程的前后，相互作用的物体的速度在一条直线上的碰撞问题。⑴弹性碰撞弹性碰撞是指碰撞过程中的动量守恒，机械能守恒。例1、（06年重庆理综压轴题）如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、6m（6为待定系数）。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道1八下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为丁R，碰撞4中无机械能损失。重力加速度为g。试求：（1）待定系数6；（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；f、（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨£TOC\o"1-5"\h\z论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。F「I）解析：A、B可看作质点，A、B在轨道最低点发生弹性正碰。V|/,八mgRPmgR,（1）由mgR=土+得〜44（2）设A、B碰撞后的速度分别为v「v2，则mgRmv2=4pmgR—Pmv2=—一224设向右为正、向左为负，解得q，方向向左

V2~\2gR方向向右设轨道对B球的支持力为N,B球对轨道的压力为N',方向竖直向上为正、向下v2为负.则N-pmg=0m—,N=-N=-4.5mg,方向竖直向下R(3)设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2,则-mv-0mv=mV+0mVTOC\o"1-5"\h\z1212〈八1-1s,\o"CurrentDocument"mgR=—mV2+—0mV2L2122解得V1=-J2gR,y=0(另一组解：V]=—v1,v2=—v2不合题意，舍去)由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；⑵非弹性碰撞非弹性碰撞的特点是，碰撞过程中动量守恒，机械能有损失，但损失的不是最多。且始终保持在同一竖直平面内。例2、(06年四川理综压轴题)如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B=1.57T。小球1带正电，其电量与质量之比q1/m1=4C/kg，所受重力与电场力的大小相等；小球2不带电，静止放置于固定的水平悬空支架上。小球1向右以v0=23.59m/s的水平速度与小球2正碰，碰后经过0.75s再次相碰。设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。HX」早X」1%21XBJXXXXXX(取g=10m/s2)问(1)电场强度E的大小是多少？(2)两小球的质量之比土是多少？m1解析：(1)小球1所受的重力与电场力始终平衡m1g=q、E①E=2.5N/C②(2)相碰后小球1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得:半径为mv=qB

2兀m周期为T=一才=Is⑤qB一半径为因为两小球运动时间t=0.75s=—T4TOC\o"1-5"\h\z所以小球1只能逆时针经3个圆周时与小球2再次相碰⑥47°1第一次相碰后小球2作平抛运动h=R2=2gt2⑦L=R=vt⑧两小球第一次碰撞前后动量守恒，以水平向右为正方向mv=-mv+mv由⑦、⑧式得由④式得所以两小球质量之比由以上解析过程知，由⑦、⑧式得由④式得所以两小球质量之比由以上解析过程知，1、⑶完全非弹性碰撞v=3.75m/sv=——1=17.66m/s1mim=Vo+Vi=11mv2小球发生的是非弹性正碰完全非弹性碰撞跟非弹性碰撞的区别仅在于这时能量损失最多，特点是碰后两者达到共同速度。例3、(06年天津理综)如图所示，坡道顶端距水平面高度为h,质量为m］的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端与质量为m2档板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O点。A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数均为R，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小；弹簧最大压缩量为d时的弹性势能Ep(设弹簧处于原长时弹性势能为零)。解析：A、B碰后结合在一起运动，则表明碰撞是完全非弹性碰撞。(1)由机械能守恒定律，有migh=2miv2v=(2gh(2)A、B在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有mv=(m+m)v'©

A、B克服摩擦力所做的功W=h(m+m)gd由能量守恒定律，有1/、，门/、，2(m+m)v2=E+h(m+m)gd解得E=—m——gh-h(m+m)gdpm+m12二斜碰碰撞过程的前后，相互作用的物体的速度不在一条直线上的碰撞问题。例4、(06年江苏卷)如图所示，质量均为m的A、B两个弹性小球，用长为21的不可伸长的轻绳连接。现把A、B两球置于距地面高H处(H足够大)，间距为1。当A球自由下落的同时，B球以速度v0指向A球水平抛出。求：a^LbTOC\o"1-5"\h\z两球从开始运动到相碰，A球下落的高度。'、；0/A、B两球碰撞(碰撞时无机械能损失)后，各自速度的水平分量。1轻绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小。H解析：碰前A做自由落体运动，速度方向竖直向下，B做平抛运动，速度与竖直方向存在一夹角，因此是斜碰。(1)设A球下落的高度为hl=vth=2gt2联立①②得h=止2v20(2)由水平方向动量守恒得由机械能守恒得1mv=mv\+mv\20By1,一、1一一1,一一、1八一一一—m(v2+v2)+—mv2=—m(v\2+v\2)+—m(v\2+v\2)⑤Ay2^^A/2BxBywv\=v，v\=v联立④⑤得v\=v,v\=0⑶A、B两球竖直方向同步运动，绳子绷直时绳子上产生的弹力只沿水平方向，由水平方向动量守恒得由机械能守恒得120Bymv=2mvVI=mV=m-