2020高中数学 2 函数的零点与方程的解（含解析）第一册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(三十二）函数的零点与方程的解(建议用时：60分钟)［合格基础练］一、选择题1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(）A．2 B．－2C．±2 D．3C［因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0,所以b＝±2。］2．函数f（x)＝2x－eq\f（1，x）的零点所在的区间是（)A．（1，＋∞） B。eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，1）)C。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，3），\f（1,2）)） D.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,4），\f（1，3)))B［由f(x）＝2x－eq\f（1,x),得feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)＝2eq\s\up5（\f（1，2))－2<0，f(1）＝2－1＝1>0，∴feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)）)·f(1)〈0。∴零点所在区间为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，1)).]3．已知函数f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－1，x≤1，,1＋log2x，x〉1，））则函数f（x)的零点为（）A.eq\f(1，2)，0 B．－2，0C.eq\f（1，2) D．0D[当x≤1时,由f（x）＝0,得2x－1＝0，所以x＝0；当x〉1时，由f（x）＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2）,不成立,所以函数的零点为0，故选D.]4．函数f(x）＝ax2＋bx＋c，若f(1)〉0，f(2)〈0，则f（x)在(1,2）上的零点()A．至多有一个 B．有一个或两个C．有且仅有一个 D．一个也没有C[若a＝0,则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数,由已知f(1）·f(2)<0,得只有一个零点；若a≠0，则f（x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1）·f（2)〉0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]5．若a〈b<c，则函数f(x)＝（x－a)（x－b）＋(x－b）(x－c)＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间(）A．(b,c)和(c,＋∞)内 B．（－∞，a）和(a，b）内C．(a，b）和（b，c)内 D．（－∞,a）和（c，＋∞）内C［∵a〈b〈c，∴f（a）＝（a－b)（a－c）>0，f(b)＝(b－c)(b－a）〈0，f(c）＝（c－a）(c－b)〉0，∴f（x）的零点分别位于(a，b）和（b，c)内．］二、填空题6．函数f（x)＝eq\f(x－1lnx,x－3）的零点是________．1［令f(x)＝0，即eq\f(x－1lnx，x－3）＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函数f(x）的零点为1.]7．设x0是方程lnx＋x＝4的根,且x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝________.2［令f（x）＝lnx＋x－4，且f(x）在（0，＋∞）上递增，∵f（2)＝ln2＋2－4〈0，f(3)＝ln3－1>0，∴f(x）在(2，3)内有解，∴k＝2。]8．奇函数f（x），偶函数g（x）的图象分别如图(1)，(2）所示，函数f(g(x)），g（f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝________。图（1）图（2）10［由题中函数图象知f(±1）＝0,f(0）＝0，geq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（±\f（3，2)))＝0,g（0）＝0，g(±2）＝1，g(±1）＝－1,所以f（g（±2）)＝f(1)＝0,f（g(±1)）＝f（－1）＝0,feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(g\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（±\f（3,2））））)＝f(0）＝0，f(g(0)）＝f(0)＝0，所以f(g（x))有7个零点，即m＝7.又g（f(0)）＝g（0）＝0,g(f（±1)）＝g（0）＝0，所以g(f（x））有3个零点,即n＝3。所以m＋n＝10。］三、解答题9．判断函数f（x）＝lnx＋x2－3的零点的个数．［解]法一（图象法):函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0,所以原函数零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象（如图）．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而lnx＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝lnx＋x2－3有一个零点．法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln1＋12－3＝－2〈0，f（2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，∴f(1)·f（2）<0，又f(x）＝lnx＋x2－3的图象在(1,2）上是不间断的，所以f（x）在（1,2)上必有零点,又f(x)在（0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．10．若函数f(x）＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．［解］①当a＝0时，由f（x）＝－x－1＝0得x＝－1,符合题意；②当a>0时，函数f（x）＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f（0）＝－1<0，对称轴x＝eq\f（1,2a）>0，所以f(x)必有一个负实根,符合题意；③当a〈0时，x＝eq\f（1,2a）〈0，f（0)＝－1〈0,所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq\f（1,4)，此时f（x)＝－eq\f(1，4）x2－x－1＝－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(x,2)＋1））2＝0，所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－eq\f（1，4）.［等级过关练］1．若函数f(x）＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是（)A．－1和eq\f(1，6) B．1和－eq\f（1，6)C。eq\f(1，2）和eq\f（1，3) D．－eq\f(1,2）和eq\r(3)B［∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，)）即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝5,,b＝6，))∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x）的零点为1和－eq\f（1，6),故选B。]2．(2018·全国卷Ⅰ）已知函数f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ex，x≤0，,lnx，x＞0，）)g（x）＝f(x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是(）A．[－1,0） B．［0,＋∞)C．［－1，＋∞） D．［1,＋∞)C[函数g(x）＝f(x）＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x）的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f（x）的图象,如图所示,由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C。］3．若方程|x2－4x｜－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．(0,4）[由｜x2－4x|－a＝0，得a＝｜x2－4x｜，作出函数y＝|x2－4x｜的图象,则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4。]4．已知函数f(x)＝3x＋x,g（x）＝log3x＋2，h(x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a,b，c的大小关系是________．a＜b＜c[画出函数y＝3x，y＝log3x,y＝－x，y＝－2的图象,如图所示，观察图象可知，函数f（x)＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标,由图象可知a＜b＜c。]5．已知函数f(x）＝x2－bx＋3。（1）若f（0)＝f(4)，求函数f(x）的零点；(2）若函数f（x)一