线性代数模拟题目-3章几何空间

3.4空间直线及其方四、直线与直线的位置关系线与平面的位置关系一、点向式方一、点向式方

一条直线可以有许多方向向 如果一非0向量平行于一条已 直线,这个向量称为这条直线的方向向量的特征：

M0 平行于直线上任意两点连接的向已知直线上点M0x0

y0,z0

s(m,

M(

y,z)

M0M//M0M

(x

x0,y

y0,z

z0M0M(xx0,y

y0,z

z0

M0(x0,y0,z0M0M

s(m,

x y z

直线的点向式

(对称式、标准式m,

p不能同时为零，但允许一个或两x当m

直线的方程

y z xyy

直线的方程为

二、参数式方x二、参数式方

yy0z

直线的点向式 令xx0yy0zz0 x故yz

x0mty0ntz0pt

直线的参数式xx0yy0z 例求过两点M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方解sM1M2

·所求直线方程

·x11

y4

z2过空间两点A(x1y1z1B(x2y2z2)的直线方程s=AB=(x2－x1,y2－y1,z2－l:

yy1y2

z z2直线的两点式求其方程 解

.As

(2,0,

所求直线方

x21

y30

z4 2yx

z2三、三、12定义空间直线可看成过该直线的两平面121

C1zD12

C2zD2Ax

y

zD L:

空间直线的一般式方

B2yC2zD2注注直线L的一般式方程形式不是直线的点向式方程化为一般式方如点向式方程

xx0yy0z x ymnmn则其一般式方x z x

y1

OzO

x y1可写成一般式方程y1 直线的一般式方程化为点向式方有两种方用代数的消元法化为比例 3x例

2y

z1

化为点向式2x

yz2解13x2y

z1

2xyz2

(2)

可消去

5x

y1

x

y5

7x

3

x

zx0

y15

z 7此直线上一定点为(0,此直线上一定点为(0,1,3)方向向量为s3x2yz1将2xyz2

化为点向式方程解 先求直线上一定点:以

03x2y

1

x3,y2x

yz2

于是得直线上的一

,0,因所求直线与两平面的法向量都垂直s

n1

(3,2,1)

sx y s点向式方

7 7 L直线的参数式方设x y z xy故 y

x0 y0nt

mt为参m

直线的参数方zzpzzp 直线的方向

s(m,n,直线上一

(x0

y0

z0上式何时有

求直线与平例

x22x2xyz

y31

z2

令x1

y31

z42xx2y3z42(2

t)(3

t)(4

2t)6

0

1得x

y

z求过点求过点M(2,1,3)x1y132z垂直相交的直解1求直线的对称先求过点M且与已知直线垂直的平3(x2)2(y1)1(z3)再求已知直线与该平面的交点Nx1y132zty2tx3tt将将y2tx3tzt代入3x22y1(z3t7得N(2,13, 取所求直线的方向向NMN(22,131,33)(12,6,24)777 直线方程x2y1z24求过点求过点M(2,1,3)x1y132z垂直相交的直解2求直线的一般过点M且与已知直线垂直的平面13(x2)2(y1)1(z3)过点M和已知直线的平面2M0(1,1,0)在已知直线MNMinMMs03j20ks1(6,12,6)3求直求直线的一般过点M且与已知直线垂直的平面13(x2)2(y1)1(z3)过点M和已知直线的平面2MNMsM0(1,1,0)在已知直线n所求直线的一般方程为x2yz32:1(x1)2(y1)1(z0)3x2yz5用直线的点向式方程 用直线的一般方程四、四、定义两直线的方向向量的夹角称为直线的夹角(锐角直线L1

xx1m

yy1

zz1p

s1 L2

xx2

y

zz2 s1(m1,n1

m2n2p2m2n2p2111m2n2p222

cosL1,L2

|

n1n2p1p2两直线的夹角余弦公直线L1

xx1m

yy1

zz1p

M1

s1(m1,n1

直线

:xx2yy2zz2

(x,y,z

两直线的位置

s2

(m2,n2

L1

s2

s1//

M1M2L1 但不重

s1// M1M2L与L相交

，M

]

L与L

，M

] 例

x2

y

直线L2

xyy 判定两直线的位置关直线

:x

y3

z

s1

M1

直线L2

x1y5z

s2

M2(1,5,

0,s1 ,

L2 [s，sM1

120

两直线

:x1

y5

z81x

y

1L,

与

:2y

的夹

解

i(1,1,0)(0,2,1)i

0

两直线的夹

cos

L1,L2

|

n1n2

p1p214111m2n2p2114111m2n2p2111m2n2p2222五、五、直线与平面的位置关定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平锐角）L

m

yy0

zz0p

s(m,

n, Axn,

ByCz

D

n(A,B,Ccossincos

|Am

BnCpA2B2CA2B2C2m2n2p2A2A2B2C2m2n2p2

|Am

直线与平面的位置关

直线与平面的夹角公L x y zz0

M0(x0,y0

z0

s(m,

Ax

ByCz

D

n(A,B,C L s//

//

s

DL x y zz0

M0(x0,y0

z0

s(m,

Ax

ByCz

D

n(A,B,C

//

s

DL在

s

D

L与相交

s例判定直线L:x1 y

z与平2π:x

y

3的位置关相交求交点并求直线与平面的夹角解s

(2,1,

ns

21

7

s

所以L与π相交L:

2tt

代入π

t47z 2tz所以L与π的交点

(15,

4,1

n(1,1,2),sin

A2BA2B2C2m2n2p2

s(2,1,|12

(1)(1)6969

22| 636

为所求夹角解s

(2m,n,6

p),

sss

6

p

p

mss

2mss

n故当

n

p6时结论成平面束的方 设有两块不平行的平12

B2

C1zC2z

D1D2

交成一条直线

B1

C1zD1AxByCzD

C1z

B2

C2z

D2)

是平面方过直线L

(除2)平称为过直线L的平面束 xyzxx平面方程

y

z1

0解过已知直线的平面束方程 xyz(x

yz1) ·将点(1,1,1)代入(1·111(1111)02 将 代入(1)中,2

5x

yz3 还有别求求通过直线Lxyz2xy的两个互设平面束方程xyxyz2(1)x(1yz2n(1,1,21(1(10s(1,1,n(13(1203平面24x2yz2点到直线的距设P(x1y1z1)是直L外一L

m

yy0

zz0 pM0

(x0

y0

z0

s

n, M0M0P

s求点

(1,2,1)

L:

xy

xyz20 xyz20解z

得x=1,y M1(1,-1,0) 1111s

1

M1M0=(0,3,d

sM1M0

ijk10ijk103166111

两直线间的距定义两直线间的距离等于两直线上的点间的最短距当两直线平行时为一条直线上任意一点到另一条直线的距离当两直线为异面直线定义两异面直线的公垂线是指与两直线都垂直相交的直（2）

xx1m

zz1 M M1

s1

2

xx2m2

yy2

zz2

M2L2

s2

[s1,s2,M1M2

d s1例证明直

L:x7y4z

L:

21

y5

z

异面，并求它们之间的距

M1

s2