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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,则“α∥β是“l∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若a>b>0,0<c<1,则A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb3.若,则“”的一个充分不必要条件是A. B.C.且 D.或4.在中,,,,若,则实数()A. B. C. D.5.若复数满足,则()A. B. C. D.6.设非零向量,,,满足,,且与的夹角为,则“”是“”的().A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.下列判断错误的是()A.若随机变量服从正态分布,则B.已知直线平面,直线平面,则“”是“”的充分不必要条件C.若随机变量服从二项分布:,则D.是的充分不必要条件8.为计算,设计了如图所示的程序框图,则空白框中应填入()A. B. C. D.9.已知数列满足,(),则数列的通项公式()A. B. C. D.10.设复数满足,则()A.1 B.-1 C. D.11.甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.12.定义在上的偶函数,对,,且,有成立,已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为________.14.若函数为自然对数的底数)在和两处取得极值,且,则实数的取值范围是______.15.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,内切球半径为,则__________.16.用数字、、、、、组成无重复数字的位自然数,其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,函数,(是自然对数的底数).(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;(Ⅱ)若,且命题“,”是假命题,求实数的取值范围.18.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.19.(12分)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表:并通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?(2)在“锻炼达标”的学生中,按男女用分层抽样方法抽出人,进行体育锻炼体会交流.(i)求这人中,男生、女生各有多少人?(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,记这人中女生的人数为,求的分布列和数学期望.参考公式:,其中.临界值表:0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63520.(12分)已知,点分别为椭圆的左、右顶点,直线交于另一点为等腰直角三角形,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于两点,总使得为锐角,求直线斜率的取值范围.21.(12分)求下列函数的导数:(1)(2)22.(10分)2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用(百万元)和销量(万盒)的统计数据如下:研发费用(百万元)2361013151821销量(万盒)1122.53.53.54.56(1)求与的相关系数精确到0.01,并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:时,可用线性回归方程模型拟合);(2)该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测.第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,.两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的数学期望.附:(1)相关系数(2),,,.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【答案解析】试题分析:利用面面平行和线面平行的定义和性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断.解:根据题意,由于α,β表示两个不同的平面,l为α内的一条直线,由于“α∥β,则根据面面平行的性质定理可知,则必然α中任何一条直线平行于另一个平面,条件可以推出结论,反之不成立,∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件.故选A.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面平行的判定.2、B【答案解析】试题分析:对于选项A,,,,而,所以,但不能确定的正负,所以它们的大小不能确定;对于选项B,,,两边同乘以一个负数改变不等号方向,所以选项B正确;对于选项C,利用在第一象限内是增函数即可得到,所以C错误;对于选项D,利用在上为减函数易得,所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较;若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.3、C【答案解析】,∴,当且仅当时取等号.故“且”是“”的充分不必要条件.选C.4、D【答案解析】
将、用、表示,再代入中计算即可.【题目详解】由,知为的重心,所以,又,所以,,所以,.故选:D【答案点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算,是一道中档题.5、C【答案解析】
化简得到,,再计算复数模得到答案.【题目详解】,故,故,.故选:.【答案点睛】本题考查了复数的化简,共轭复数,复数模,意在考查学生的计算能力.6、C【答案解析】
利用数量积的定义可得,即可判断出结论.【题目详解】解:,,,解得,,,解得,“”是“”的充分必要条件.故选:C.【答案点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用,考查推理能力与计算能力,属于基础题.7、D【答案解析】
根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,依次对四个选项加以分析判断,进而可求解.【题目详解】对于选项,若随机变量服从正态分布,根据正态分布曲线的对称性,有,故选项正确,不符合题意;对于选项,已知直线平面,直线平面,则当时一定有,充分性成立,而当时,不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要条件,故选项正确,不符合题意;对于选项,若随机变量服从二项分布:,则,故选项正确,不符合题意;对于选项,,仅当时有,当时,不成立,故充分性不成立;若,仅当时有,当时,不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确,符合题意.故选:D【答案点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,考查理解辨析能力与运算求解能力,属于基础题.8、A【答案解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容.【题目详解】由程序框图的运行,可得:S=0,i=0满足判断框内的条件,执行循环体,a=1,S=1,i=1满足判断框内的条件,执行循环体,a=2×(﹣2),S=1+2×(﹣2),i=2满足判断框内的条件,执行循环体,a=3×(﹣2)2,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2,i=3…观察规律可知:满足判断框内的条件,执行循环体,a=99×(﹣2)99,S=1+2×(﹣2)+3×(﹣2)2+…+1×(﹣2)99,i=1,此时,应该不满足判断框内的条件,退出循环,输出S的值,所以判断框中的条件应是i<1.故选:A.【答案点睛】本题考查了当型循环结构,当型循环是先判断后执行,满足条件执行循环,不满足条件时算法结束,属于基础题.9、A【答案解析】
利用数列的递推关系式,通过累加法求解即可.【题目详解】数列满足:,,可得以上各式相加可得:,故选:.【答案点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列累加法以及通项公式的求法,考查计算能力.10、B【答案解析】
利用复数的四则运算即可求解.【题目详解】由.故选:B【答案点睛】本题考查了复数的四则运算,需掌握复数的运算法则,属于基础题.11、B【答案解析】
将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【题目详解】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为,则基本事件有,,,,,,,,,,共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概率为,故选:B.【答案点睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法,属于基础题型.12、A【答案解析】
根据偶函数的性质和单调性即可判断.【题目详解】解:对,,且,有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为,,所以故选:A【答案点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用,基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、20【答案解析】
由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合,利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.【题目详解】由三视图知,该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成,其体积为.故答案为:20.【答案点睛】本题考查三视图以及几何体体积,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,是一道容易题.14、【答案解析】
先将函数在和两处取得极值,转化为方程有两不等实根,且,再令,将问题转化为直线与曲线有两交点,且横坐标满足,用导数方法研究单调性,作出简图,求出时,的值,进而可得出结果.【题目详解】因为,所以,又函数在和两处取得极值,所以是方程的两不等实根,且,即有两不等实根,且,令,则直线与曲线有两交点,且交点横坐标满足,又,由得,所以,当时,,即函数在上单调递增;当,时,,即函数在和上单调递减;当时,由得,此时,因此,由得.故答案为【答案点睛】本题主要考查导数的应用,已知函数极值点间的关系求参数的问题,通常需要将函数极值点,转化为导函数对应方程的根,再转化为直线与曲线交点的问题来处理,属于常考题型.15、【答案解析】
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,由此能求出,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,从而内切球半径为,由此能求出.【题目详解】四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,,,侧棱底面,且底面为正方形,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,内切球半径为,故.故答案为.【答案点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题,补形法的运用,以及数学文化,考查了空间想象能力,是中档题.解决球与其他几何体的切、接问题,关键是能够确定球心位置,以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多,主要有两种:(1)补形法(构造法),通过补形为长方体(正方体),球心位置即为体对角线的中点;(2)外心垂线法,先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心,再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线,则球心一定在垂线上.16、【答案解析】
对首位数的奇偶进行分类讨论,利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.【题目详解】①若首位为奇数,则第一、三、五个数位上的数都是奇数,其余三个数位上的数为偶数,此时,符号条件的位自然数个数为个;②若首位数为偶数,则首位数不能为,可排在第三或第五个数位上,第二、四、六个数位上的数为奇数,此时,符合条件的位自然数个数为个.综上所述,符合条件的位自然数个数为个.故答案为:.【答案点睛】本题考查数的排列问题,要注意首位数字的分类讨论,考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(2)【答案解析】试题分析:(1),分,讨论,当时,对,,当时,解得,在上是减函数,在上是增函数。所以,当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(2)原命题为假命题,则逆否命题为真命题。即不等式在区间内有解。设,所以,设,则,且是增函数,所以。所以分和k>1讨论。试题解析:(Ⅰ)因为,所以,当时,对,,所以在是减函数,此时函数不存在极值,所以函数没有极值点;当时,,令,解得,若,则,所以在上是减函数,若,则,所以在上是增函数,当时,取得极小值为,函数有且仅有一个极小值点,所以当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(Ⅱ)命题“,”是假命题,则“,”是真命题,即不等式在区间内有解.若,则设,所以,设,则,且是增函数,所以当时,,所以在上是增函数,,即,所以在上是增函数,所以,即在上恒成立.当时,因为在是增函数,因为,,所以在上存在唯一零点,当时,,在上单调递减,从而,即,所以在上单调递减,所以当时,,即.所以不等式在区间内有解综上所述,实数的取值范围为.18、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析【答案解析】
运用数学归纳法证明即可得到结果化简,运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【题目详解】(Ⅰ)数学归纳法证明时,①当时,成立;②当时,假设成立,则时所以时,成立综上①②可知,时,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【答案点睛】本题考查了数列的综合,运用数学归纳法证明不等式的成立,结合已知条件进行化简求出化简后的结果,利用放缩法求出不等式,然后两边同时取对数再进行证明,本题较为困难。19、(1)能;(2)(i)男生有人,女生有人;(ii),分布列见解析.【答案解析】
(1)根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数,由表格得达标人数,从而得男生中达标人数,这样不达标人数随之而得,然后计算可得结论;(2)由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数,总共选2人,女生有4人,的可能值为0,1,2,分别计算概率得分布列,再由期望公式可计算出期望.【题目详解】(1)列出列联表,,所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关.(2)(i)在“锻炼达标”的学生中,男女生人数比为,用分层抽样方法抽出人,男生有人,女生有人.(ii)从参加体会交流的人中,随机选出人发言,人中女生的人数为,则的可能值为,,,则,,,可得的分布列为:可得数学期望.【答案点睛】本题考查列联表与独立性检验,考查分层抽样,随机变量的概率分布列和期望.主要考查学
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