微积分上-高等数学a-第2章

A第22．1中南大学开放式精品示范课堂高等数学建2．1导数及微2．113微分概

微分的定2．1．14微分的求法·微分形式不变

基本初等函数的微分公四则运算法复合函数的微（一阶微分形式不变性求微分的举2．1．15

微分在近似计算应微分在估计误差—.引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量设边长由x0变到

(x)2正方形面A

x02x02A(

x)2

0Axx0Axx02x0x(x)2. :x,且为Ax,当x微分定定义y

fx)在x0处的增量y

其中A为常数y

fx

x0可微而Ax称为yfx)在x0的微分.记dy|xx0

由定义可得

dy是自变量的改变量x的线性函数

o(x)是比x高阶无穷小当A0时dy与y是等价无穷小

1

o(x)A

A是与x无关的常数,但与

x)和x0有关当x很小时

(线性主部yfx)在x0定 yf(x)在x0处可微y

x)在x0处可导且

(x0)Proof.

fx

x0处可微y

y

Ao(x).

y

[A

o(x)]x0 fx0y

fxx0处可导,

f(x0)y

fx

x0处可导,

y

f(xx0 从而y

)

lim

y

f(x0)x

x

f(x0

o(x),yfxx0处可微微分的计算公dy|xx0

f(x0

dy

f(x)x

.y

通常把自变量x的增量x称为自变量的微分记作

即dx

dy|x

f(x0所以微分的计算公式如下dy

f(x)dx

dy

f(

dy

即函数的微分dy与自变量的微分dx该函数的导数."微商注dy是x的线性函数且ydydy是y的主要部分且y

ydy

y

f(x)x0

x0

1

x0(3)用微分定义考虑函数是否可微时,关键

y

0是否成立x0 yTNPyTNPyf(x)MQox0x如图所MQ

x,

NQ

tan

f(x0dy

f(x0

当y是曲线的纵坐标增量时dy就是切线纵坐标对应的增量当x很小时

在点M的附近MP可近似代替曲线段MN二.微分运算法基本初等函数的微d(C)

d(x)

xd(sin

d(cosx)

d(tanx)

d

x)

csc2

d(sec

secx

d(cscx)

cscx

d(ax)

axln

d(ex)

exdxd

x)

xln

d(lnx)

1xd(arcsinx)(15)d(arctanx)

11x2

d(16)d(arc

x)

11x21x2

1x2设uv是可微函数C为常数则u

vuvCuu也可微且d(uv)dud(uv)d(Cu)

vdu

du

vdu

(vv v v2复合函数的微分法定理4.

u

gx)在x处可微y

f(u)在相应点u

g(x)处可微y

fgx)]在x处可微dy

f(u)g(

或dfg

f(u)g(注意：当u为自变量时有dyf当u为中间变量时,设u

g(

则dy即dy

f(u)g(f四.求微分的举

y

e

求

y

e13

x求ex4.设

ex2

求ex5.设y

x求

y

sin(2

1求

y

e

sinbx求ex8.ex9. .

)

x2)

)d(

y

e

求解y1

2xex2,

1

2xex2

xex2 xex2

y

e13

x求

xd(e13x)

e13

d(cosx)(e13x)

3e13x

x)

sinx.dy

x(3e13x

e13

(

e13x(3

x

ex4.设

ex2

求Solution.

d[esin(axb)]

d[ln(1

ex2sin(axb)

x2sin(axb)

1e

x2

b)d

1ex2 sin(axb)

b)adx

ex2

1

ex2

sin(axb)

b)

dx.

1ex2

x求dy

de13xcos

xd(e13x)

e13xd(cosx)

xe13xd(1

3x)

e13x

xe13x

e13x(sin

e13x(3cos

x)dx.

y

sin(2

1求

2x

cos

1)d(2x

1)2dx

2cos(2x

y

e

sinbx求

e

cosbxd(bx)

eaxd(ax)e

e

eax(bcosbxasinex8.

1ex2

d(1

ex2

ex2

d(x21ex2 1ex2

ex2

2xex2 21exex9. 解:利用一阶微分形式不变性

d(cos(x

)

xdy

y

xdxsin(x

dy)dy

ycosxsin(xy)sin(xy)sinex10在下列括号中填入适当的函数使等式成立

)

x2)

)d(

解(1)d(sintcos 1costdtd(sint1

d(sintxd(sinx

C)

dd x

d

x2)

2x1

xxx

4x

x2d(sin

x2)

(4x

xx

x2

x说明上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意:数学中的反问题往往出现多值性.五、微分在近似计算中的应y

f(x0)x当

得近似等式y

f

x)

f(x0)

f(x0f

x)

f(x0)

f(x0)xx

x0xf(x)

f(x0)

f(x0)(x

使用原则:

f(x0),

f(x0

好算2)

与x0靠近

x00

x很小时f(x)

f(0)

f常用近似公式:

x很小1x证明:

f(x)

f

f(0)

很小时xx

1xxex11.

的近似值解:取

f(x)

sinx则

sin

29

sin

(313

ex12.

的近似值.1

35

(243

(1x(1x)13(13(1

)51 25

ex13有一批半径为1cm了提高球面的光洁度要镀上一层铜,0.01cm解:

估计一下镀铜体积为V R

4R2R

RR

R0.13(cm3)8.9

(g六、微分在估计误差中的应A