2022-2023学年河北省承德市回族中学高一数学文联考试卷含解析

2022-2023学年河北省承德市回族中学高一数学文联考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是

A．B．

C．D．

参考答案：

A

2.已知集合M=，集合

e为自然对数的底数），则=（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：

C

3.在约束条件下，函数z=3x﹣y的最小值是(

)

A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣9

参考答案：

D

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=3x﹣y得y=3x﹣z，

平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，

此时z最小．

由，解得，

即A（﹣2，2），

此时z=3×（﹣2）﹣3=﹣9，

故选：D．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

4.已知等差数列{}的前n项和为，则的最小值为（

）

A．7

B．8

C．

D．

参考答案：

D

5.如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．A1C1∥平面AB1E

D．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1

参考答案：

D

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【专题】空间位置关系与距离．

【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项

【解答】解：因为三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，

对于A，CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以A错误；

所以对于B，AC与平面ABB1A1斜交，夹角为60°；故B错误；

对于C，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故C错误；

对于D，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，且AE⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1；故D正确，

故选：D．

【点评】本题考查了三棱锥的性质；关键是利用正三棱柱的性质得到线线关系、线面关系，利用相关的定理解答．

6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ－)(ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则当y＝f(x＋)取得最小值时,x的取值集合为(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：

B

7.已知函数f（x）=，若f（﹣1）=f（1），则实数a的值为（）

A．1 B．2 C．0 D．﹣1

参考答案：

B

【考点】函数的值．

【分析】由已知得f（﹣1）=1﹣（﹣1）=2，f（1）=a，再由f（﹣1）=f（1），能求出a的值．

【解答】解：∵函数f（x）=，f（﹣1）=f（1），

∴f（﹣1）=1﹣（﹣1）=2，f（1）=a，

∵f（﹣1）=f（1），∴a=2．

故选：B．

8.

参考答案：

9.设是平行四边形的对角线的交点，为任意一点，则(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：

D

10.定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行.

请对上面定理加以证明，并说出定理的名称及作用.

参考答案：

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11.命题“若△不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是

；

参考答案：

若△的两个内角相等，则它是等腰三角形

12.给出下列说法：

①数列，3，，，3…的一个通项公式是；

②当k∈（﹣3，0）时，不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立；

③函数y=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）是周期为π的奇函数；

④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．

其中，正确说法序号是

．

参考答案：

①②④

考点：命题的真假判断与应用．

专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列；三角函数的图像与性质；空间位置关系与距离．

分析：根据已知，归纳猜想数列的通项公式，可判断①；根据二次函数的图象和性质，结合已知，可判断②；利用诱导公式和二倍角公式，化简函数解析式，结合三角函数的图象和性质，可判断③；根据公理2及其推论，可判断④．

解答： 解：数列，3=，，，3=…的被开方数构造一个以3为首项，以6为公差的等差数列，

故它的一个通项公式是，故①正确；

②当k∈（﹣3，0）时，∵△=k2+3k＜0，

故函数y=2kx2+kx﹣的图象开口朝下，且与x轴无交点，

故不等式2kx2+kx﹣＜0对一切实数x都成立，故②正确；

③函数y=sin2（x+）﹣sin2（x﹣）=sin2（x+）﹣cos2=sin2（x+）﹣cos2（x+）=﹣cos（2x+0=cos2x，是周期为π的偶函数，故③错误；

④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内，故④正确．

故说法正确的序号是：①②④，

故答案为：①②④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题综合性强，难度中档．

13.一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是

参考答案：

14.函数的零点有__________个．

参考答案：

1

函数的零点个数等价于方程解的个数，

分别作出和的图象，

由图可知，两函数图象有且只有个交点，

故函数的零点有且只有一个．

15.如果如果，且，则＋…＋=______________．

参考答案：

略

16.等差数列8，5，2，…的第20项为___________.

参考答案：

-49

略

17.已知角的终边上有一点的坐标是，则的值是______．

参考答案：

，

【分析】

由题意，利用任意角的三角函数的定义，以及诱导公式，即可求得的值.

【详解】解：角的终边上有一点的坐标是，

，

又在第四象限，故，，

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查诱导公式，任意角的三角函数的定义，熟记定义即可，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18.若0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．

参考答案：

【考点】复合函数的单调性．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】y=﹣3×2x+5=（2x）2﹣3×2x+5，令2x=t，转化为关于t的二次函数，在t的范围内即可求出最值．

【解答】解：y=﹣3×2x+5=（2x）2﹣3×2x+5

令2x=t，则y=t2﹣3t+5=+，

因为x∈[0，2]，所以1≤t≤4，

所以当t=3时，ymin=，

当t=1时，ymax=．

所以函数的最大值为，最小值为．

【点评】本题考查有理数指数幂的运算及二次函数的最值问题，本题运用了转化思想．

19.（12分）已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）若，求sin2α的值．

参考答案：

考点： 三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．

专题： 三角函数的图像与性质．

分析： （Ⅰ）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；

（Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．

解答： （Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sincos﹣

=（1+cosx）﹣sinx﹣

=cos（x+）．

∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，

∴cos（α+）=，

∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+）

=1﹣2

=1﹣

=．

点评： 本题考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化等数学思想，属于中档题．

20.（14分）某企业打算购买工作服和手套，市场价为每套工作服53元，每副手套3元，该企业联系了两家商店A和B，由于用货量大，这两家商店都给出了优惠条件：

商店A：买一赠一，买一套工作服，赠一副手套；

商店B：打折，按总价的95%收款．

该企业需要工作服75套，手套x副（x≥75），如果工作服与手套只能在一家购买，请你帮助老板选择在哪一家商店购买更省钱？

参考答案：

【考点】函数模型的选择与应用．

【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】分别计算按商店A和B优惠付款数，作差比较，即可得出结论．

【解答】解：设按商店A和B优惠付款数分别为f（x）和g（x）

商店A：f（x）=75×53+（x﹣75）×3=3x+3750（x≥75）…

商店B：g（x）=（75×53+3x）×95%=2.85x+3776.25（x≥75）…

令f（x）=g（x），解得x=175选择A与B是一样的

…

令y=f（x）﹣g（x）=0.15x﹣26.25，

当75≤x＜175时，y＜0，选择商店A；

…

当x＞175时，y＞0，选择商店B；

…（14分）

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求出按商店A和B优惠付款数是关键．

21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长的最小值；

（2）若三角形有一个内角为，周长为定值，求面积的最大值；

（3）为了研究边长满足的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：（其中，三角形面积的海伦公式），

∴

，

而，，，则，

但是，其中等号成立的条件是，于是与矛盾，

所以，此三角形的面积不存在最大值．

以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．

参考答案：

（1）设两直角边为，斜边为，

∴，即周长最小值为

（2）设夹的两边为，则第三边，∴，

∴，∴，

∵，∴，即，

，即面积最大值为

（3）不正确，∵海伦公式三边可互换，

∴，

即，此时，，面积最大值为16

22.某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2，22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，绘制出频率分布直方图．

（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；

（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；

（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率．

参考答案：

【考点】B8：频率分布直方图．

【分析】（1）根据频率直方图即可求出a的值，

（2）求出各组的人数比，即可求出各组的人数，

（2）求出从这6人中随机抽取2人的情况总数，及两人来自同组的情况数，代入概率公式，可得答案．

【解答】解：（1）2a=0.25﹣（0.02+0.08+0.09），解得a=0.03，

完成完成年