高数上册第五节定积分

第五节定积一、引课程导引例1（求曲边梯形的面积曲边梯形由连续曲

y

(x)yfx)(fx0)x轴与两条直线xa

Axb所围成的图形

问题：如何计算曲边梯形的面积用矩形面积近似取代曲边梯形 x（四个小矩形

（九个小矩形曲边梯形面积的计算步骤分割曲边梯形如图

b] 若个分点，

y把区间[a,by个小区间

i

,xi长度为近

xi在每个小区间xi1xi上任取一点

xn1 ≈f(ξi

A=Ai ≈f(ξii=1 i=1问题：如何刻画分割是无限加细的能否 的分点个数n趋于无穷来刻画求极限记λmax{Δx1x2,

则所有小区间的长度都趋于0，保证分割无限加n A=limf(ξiλ→0 i=1引例2求变速直线运动的路设物体作直线运动,已知速Av(t)求物体在这段时间内所经过的路程Av(t)分割

22

将它分n个小段过的路程为近似

在每个小段上物

v(i

(i

2,,求和取极限上述两个例子的共性解决问题的方法步骤相同“分割、近似、求和、取极限所求极限结构式相同:特殊的和式极一、定积分的定

fx)在[ab]分割在区间[ab]

n

个分

(i1,2,,

ixix

xn1近似

任取n

[xi1,xi

，作乘

求和极限

记

f(i

21

如果不论对[ab]怎样的分法点inlimf(i)xi

我们称这个极限I为函

f(

在区间[a,b]上的定积分b记 b

f(x)dx

i

f(i)xi[a,b]积分区间 说bbbbbab

f(t)dt

f定义中区间的分法和i的取法是任意的 当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在时,称f(x)在区间[a,b]上( )可积.简记

f(x)

,b]存在定定理1若函f(x在区间[a,b上连在区间[a,b]上可积定理2若函数f(x)在区间[a,b上有界,且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积.二、定积分的几何意b

(x)

a

(x)dxb

曲边梯形面

(x)

a

(

曲边梯形面积的yayabxbab

dx

A2

A4各部分面积的代例1利用定积分的几何意义求下11x21

dx4x24x22

dx

xdx

f(

x[a,bb

x轴所围的Sa

f(x)|例2利用定义计算定积

1x2dx.0被积

f(x)

x2C

被积

f(x)

x2

积分与

,1]的分法及点

的取法将[0,1]n等分，分点为

in

1,2,,n ,x]的长度x1

1,2,,ni i xi，(i1,2,,n)ni

f

i

2x

nni

x2xiiii i2 iiii

n(n1)(2n i1

nnnn

i2 n3i 6116

12nn

1nn

n1x2dx10

i

2xiilim11ii

1 121 21n6

n n 例 利用定积分表示下列极1 n

2nnn 极限可看

f(x)

2x[0,1]区间上的一个积分和分割是[0,1]n等分

分点

i,n

1,2,,nf(x)C[0,1]

f(x)

f(x)

例 利用定积分表示下列极1 n

nnn 解

2x1

n

f(x)

2n2n2n1nnn 1n1

12x

lim2n n

i

i

iii用定积分表示下1nnlim1nn(2)

np

i

pnpnp1(3)

lim1sinsin

nn

五、定积分的性对定积分的补充规定 当ab时 f(x)dxb

f(x)dx当ab时 f(x)dx0；说明在下面的性质中，假定定积分都存性质 (定积分的线性性质bb

(x)

ba

(x)dx

bg(x)dxa为任意常数(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况性质 (定积分对于积分区间具有可加性 af(x)dx f(x)dx

f(x)dx说明：不abc的相对位置如何上式总成立b性质 b

dx

ba性质

如果在区间[a,b]b

(x)0

f(x)dx

(a

b)性质4的推论b如果在区间[a,b]上,f(xg(xbb则有afb

ag(

(a

b)

af(x)dx

f(x)

(ab)

fx)|在区[ab]上的可积性是显然的2例1(1比较积分值12

和2ln2

比较积分

lnxdxe

4e

例2比较积分

2exdx0

20

的大小例2比较积分

2exdx0

20

的大小 令

(x)

ex

x[2,f(x)

0(e2

00exdx002 2于是2exdx0

20 设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则有bm(ba)af(x)dxM(ba) (a（此性质可用于估计积分值的大致范围此性质又称为估值定理例3估计积

3

1x1

dx 例4估计积分4

x

的值21 241

sin2 2 例5证

2e

ex0

xdx

2e2例4估计积分4

x

的值 f(x)

sinxx

x[,] f(x)

sinx

x(

x)fx)在[4

x2 x2]上单调下2故x

为最大值点x4

为最小值2M

() 22

m

()2 ba

224

sin 22x dx22x4

,12

sin22x2 dx 22x24例5

12e

exxdx222

2e2 令

(x)

ex2x

x[0,fx1

(2x1

1)ex2x

得x22 f )2

40

f

1

f(2) 1

f(x)e21

f(x)e4

4 ex0

xdx

2e2性质6（定积分中值定理

fx在闭区[ab上连续则在积分区间[a,b]上至少存在一个 b使b

f(x)dx

f

)(b

a).

(a

b)积分中值公bb1证m(ba积分中值公bb1

f(x)dx

M(ba)m

ba

f(x)dx由闭区间上连续函数的介1在区间[a,b]上至少存在一个 1

函数f(x)在[a,b]b的平均b f()

ba

f(bb

f(x)dx

f()(b

a).

(a

积分中值公式的几何解释 在区间[a,b]上至少存在个点使得以区[a,b]

底边

以曲线y

f(x)

例

n2

x2ex2例7

f(

可导

x

f(

1x

x2 tsin

f(t)dt例8

fx)在U(0,

)内连续求

[f(

a)

f(

a00a2

1例9

(x)

f(1) 0

xf(x) 证明至少存在

(0,1

f()

例

n2

x2ex2解由积分中值定理知有

[n,n

使n2

x2ex2

e

(n

2n2x2

lim

dx2

2

0n

例7

f(

可导

x

f(

1x

x2 tsin

f(t)dt解由积分中值定理知有

[

xx2使x

t

sin

f()(x2

x2 t

2limsin

f(x

2lim

例8

fx)在U(0,

)内连续求

[f(

a)

f(

a00a2

解由积分中值定理a

[a,

使a

f(

a)

f(

2a[

f

a)

f

[f(

a)

f(

a00a2

lim2affa00lima00

(

(

a,

4f例9

(x)

且f(1) 0

xf(x) 证明至少存在

(0,1

f()

f()证明由积分中值定理1

1] 2使f(1

20

Fx

f(x)FxC[,1

F()

由Rolle定理知:存在

(0,1)使F(0

即f(

f()0即有

()

四、小1、定积分的实质：特殊和式的极定积分的定义与性（注意估值性质、积分中值定理的应用典型问估计积分值不计算定积分比较积分大小将和式极限

1sinsin

sin(n

n

表示成定积分思考题解原

1sin

sin(n

n

nnlim1n

sini

1lim

sin

innn

i

i1

nni n101

定积分性质 ，若

x

x

x

解fx

gx)

fx)gx)[ab上

f(

gx)[ab]上都fx

x

g(x)

x

(x)

gx)

x)gx)[0,1]fxgx)在[0,1]一、填空题

练习题1b

f(

在a

上的定积分是积分和的极即

f(x)dx .2、定积分的值只与 及 有关，而与 3、定积分的几何意义 .4、区间a,b长度的定积分表示 .

x21xa

xb(

b三、利用定积分的定义计算积分axdx，ab)四、利用定积分的几何意义，说明下列11、1

1x2dx42、2

cosxdx22cosxdx五、水利工程中要计算拦 所受的水压力，已上水的Ph的函数p9.8h(

米2)， 高

3，L2米，求水面 顶相齐 所受的压力P（ 图5-练习题答n一、1、limf(i)xi

i3、介于曲线y

f(x),

轴,直线

a

xb之bb4、adx二、1(b33三、1(b2

a3)a2).

ba一、填空题

练习题 分成b

c与cb，定积分的可加性为 f(x)dx 2、如果fx)在a,b上的最大值与最小值分别为aMm，则a

3、a

b时，我们规定

fx)dx与

fx)dx的系 4、积分中值公b b

dx

f()(b

,(a

b)的几何意义 5、下列两积分的大小关系是1x2dx0

1x3dx0 11lnxdx 11

x)2dx b00edx b00

b二、证明：akfx)dxb3

k fx)dx（k是常数2232

xarccotxdx

x1dx 1、

n

n

...

1);、lim4sin

xdx.

fx及gx)在a

上连续，证明1、若在a

b

f(x)

0a

f(x)dx

b

f(x)02、若在ab

f(x)

,