电路与电子-chap3.1正弦交流电基本概念

CircuitandChapter3交流电正弦交流电的基本概正弦量的相量表示单一元件参数简单的正弦交流电复杂交流电路的分析和正弦交流电路的功正弦交流电路中的谐非正弦周期电流电三相交流电2Chapter3交流电本章要求理解正弦量的特征及其各种表示方法理解电路基本定律的相量形式及阻抗熟练掌握计算正会画相量图掌握有功功率和功率因数的计算了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐的条件及特征了解非正弦周期电流电路的分析方33.1设正弦交流电流 O

T i

t

角频ω2π角频T

相位差：两同频率的正弦量之间的初相之差u

i

ψuψu

ψi

电压超前电流注意：1时起点的选择无关。2、不同频率的5

电压滞后电流

电流超前电压电流超前

iO

ψ2

电压与电流同

电压与电流反 iO

3.1.3有效幅值：Im、

幅值必须大写下标m有效值：与交流热效应相等

i2RdT0T

I2RTTT11直流定义为交流电的有效值TT11

交 直I有效值

T

i2dt

T

I2

ωt

Im2m须大m

Im 2I注意：交流电压、电流表测量数据为有效交流设备名牌标注的电压、电流均为有7若购得一台耐压为300V的电器，是否可用电220V的电~电源电压有效值U

不能最高耐最大值Um

2U

2

311

>8某正弦电流当其相位角 时取值为5A，则知该电流有效值为 )(a) (b) (c)已知某正弦交流电压的周期为10ms，有效值为220t0式可写作 b)uu311sin200πt

u

t180)9复b

(j

为虚数单位b复数的模b复数的模A表A幅Oa

Acos

A

Aej

A1复数及其表a|A| AaAa (j AA||A a2b2 θarctagba

e

cosjAAe

AAe2.①加减运算——采用代数形 A1=a1+jb1， 加、减法可用图解法O

A1A2

2.例计

10解：54710(5cos47j5sin47)

j10sin25

3.41

12.47

12.482.612.②乘除运方法1—采用指数形式或极坐标形 A1=|A1|∠1，A2=|A2|∠ 乘法：模相乘，辐角相 AAA Aj(θ )1212 Aθ1212 除法：模相除，辐角相 AA |A1|ej(θ1θ2)|A1||1|θ12|A2|A|θ22|A222.方法2代数形式的乘除运

a2

a1

(a1

(a1

a2b

j(a2

a2b 2.[例A=10+j5

=3+j4.求A·A和 解：方法

A1

(10

(103

54)

j(104

510

(10

(10j5)(3

((3

50

2-32422.解：方法

A23

(11.1826.570)(553.130(11.18

53.130

11.1826.57011.185

53.1302.236 ③旋转因

ee

cosjsinA

ej AAAA 故+j，－j，－1都可以看成旋转因“j“j”

e

cos90

jsin90j设相

rejψ 相量A乘以 将逆时针旋转90，得到 相

乘以e-j90

将顺时针旋转90，得到RekAkReRekAkReReAReA1A2ReA1ReA2定理

1 ，y

u

tψ)uu Um ω ω有向线段与横轴夹角 有向线段与横轴夹角 初相

复数有向线段以速度

按逆时针方向描描述正弦量的复数称为相量(phasor

最大m相量的两种表示相量式

U(

Uejψ

U

相量的模=正弦量的有相量辐角=正弦量的初相有效值相或

相量的模=正弦量的最

ejψ

Um

相量辐角=正弦量的初相电压的幅值相可不画坐标相量图:把相量表示可不画坐标 m相量只是表示正弦量，而不等于正弦量miImsin(ωt

ψ)

Iejψ

Im只有同频率的正弦量才 画在同一相量图上 (3幅角的取(3幅角的取值范180°-1803=-

一、二象限，180°三、四象限，0°-3j4

u

t53.1223j422

u

t531223j422

u

t12693j4

u

t1269例:将u1、例:将u1、u2用相量表u12202sin(ωt20)

2202u22

sin(ω

45)

滞后(2相量例：已知相量，求瞬时值已知两个频率都为1000Hz的正弦电流其相量1式为1

22

e 求：解：

2

s2i12

60)2 2

30)已知

正误判3.已知2u220sin(2

t

4ej30A复U

sin(ωt30)A2有效

瞬时已知

e45V

100已知

10

U

负i

sin(

t60

ej15？最大？小结：正弦波的四种表示波形

ImI T瞬时相量

iIm

Ua

Ue

U2t02

i(0)

Um

sin

Um

u(t)

30

230i(0)

i(0)

Im

)

i(t

10

AI A定律的相量形电流定律 电压定律的一般式 i(t)u(t)同频率的正弦量，定律可以用相量形IU[例]电路如图(a)所示,已i1(t

2sin(ω

60)i2(t) 2sin(ωt90)0试求电i(t),画出相量图i12解：i12110601

Ì122 5Ì122图(b)中相量形式的KCL方102 102解得

5

5 5

j8.66j56.236.2Ì12Ì12ÌO

i(

)

36.2)画出相量图，见图 ( 231电路如图(a)所示，试求电压源电压相量ÙS231(

)61800

8900Ù

1200

3解解

(6

j0)(0

j8)(12

6j81053.1其相量图如图(a)和图(b)所示Ù1+

3.3.3.1电阻元设uUmsinωt+uImIm2R2UsinUsinωt i R

R

IR(1IR(1频率相同(2)有效值关(3)相位关系：u、i相位相相量式Uui电感元设i

II u

Ld

2ULsin(ω

t90) UU电感电路复数形式的欧姆

UL

LIL 电流与电压之间的关频率相U=I (3电压超前电流相量

u

jXLUL jXLUL I XLL2πfX称为感抗(Ω)，由定义知

2πfLX 是频率f的函电感L具有通直阻交的作直流：f=0,XL=0，电感L视为电感L具有通直阻交的作电容元 设u

UU iCdu 2 2UωCsin(ωt90

2CUωUC1CUC1CIC电容电路复数形

式的欧姆定 电流与电压之间的关(1频率相同(2I(3电压滞后电流相量

相位

C1 C1ωC12πfjXCCCC j XC称为容抗，它是频率f的函

I,XCXCO

ω

IU(2f

fC)

，电容C视为开所以电容所以电容C参 阻

基本关

相量

相量 u

jXL

u

jXL

jωC

iC

jXC RLC串联交流电UURIjXL[Rj(XLXC+R -

RR_+LL_ 定义阻C_则

[欧姆ZU=RZU=RjIXZ是一个

R=|Z|cos[欧姆注意：Z不是相量，上面不能加虚部电抗注意：Z不是相量，上面不能加ZZUIZU uiiI=RjX阻抗模：

UR2R2X

ψu

arctan由电路参电路参数与电路性质的关系呈感呈感时0，u当当0u呈容当0u.i同呈电阻+R

+

参考相

ULUC+X>

XL<L_ L_

L

__

0感性

由电压三角形可得0容性

电Ux Ux UR ZXLCLCU2 URLCZXLCLCU2 URLCUUR UUX

ZRZX

R2R2(LXCP2Q2PSQS 假设R、L、C已定，电路性质能否 _

RLC串联电路的

是否一定小于 3.RLC串联电路中是

UR_+

UL

U的情况 4.在RLC串联电路中当L>C时u超前i当L<C时，u滞后i，这样分析对[例]图中RC串联电路R=1kΩÌÌ解：电路阻1

ZR

10001000

j2510000.05106

1185.4

32.480电

Z

3

.

电阻两端电压相

3

.0电路的相量图见图(c)，阻抗三角形见图(b)

00

阻抗的串联和并1+1+++-Z2--

12

Z1

Z2(Z11ZZ11

ZZ2

Z2通式2

ZZk

jXk注意:对于阻抗模一 分压公式

ZZ1Z+ -

Z1Z2

2

Z2 Z1Z2例

有两个阻Z16.16

Z22.5j4Ω它串联接在220

的电源;求和 并作相量图 解

Z1Z2(6.16

8.66

10Z2

Z

22030

22

Z1

10.955.6239.8同理

Z2

103.6或利用分压公式

Z1Z2

6.168.66

- -

239.8Z

2.5Z2

220

Z2

8.66103.6

注意

1相量

U

UU1U2下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确++_

++_Z

U=14V

Z

U=70V2 2+

ZZ ZZ -

1

11 Z ZZZZ1Z2Z1Z2 通式

1 k k

11ZZ1ZZ1Z1ZZ1ZZ1Z12分流公式

Z2 1Z1Z2 1例

有两个阻抗

3

j4Ω,

8

j6Ω它们并联

220

的电源上

并作相量图 解

ZZ1Z2

5531037 Z1Z2+

3j48 -

1

50

11.811.8

220

A

1同理 Z

22

1010

24.474.47Z

22

44-53A

22相量

注意

1

II1I图示电路中,已知XL

XC+-+-LRC(2)并联等效阻抗Z为多少图示电路中,已知XL

XC+-LC则该电路呈感+-LC3导支路较多时，应用导纳计算比用阻抗计算要简单YYZZ1Z1 1ZZ -

I1I

导纳的辐角是复阻抗辐角的负数。复导Y

AB例1:已知：·=1845A，求AB1解:I·1

×18··=4.64120·

BI2

×18

1=17.4301·=20

=92.8120 ·=j6I·=104.4120 =·–·=92.8120–104.4 =–11.6120V=11.6–60结点电压法、叠加原理、等方法也适用于计例

I I应用叠加原理计算解1)当单独作用

Z2 +1

U1Z2

Z3 U23-23I3-23

Z1

Z2//Z3

× + 同理（2）当2单独作用

Z2Z3

IZZ 3 Z ZZ 3

-

Z2

33

U2例2:应 计算I31解：(1)断开Z3支路，求开路电 1

2

Z2 ZZ ZZ

Z3

-228.85 求等效内阻抗Z0

Z

Zo

- Z1Z2 (0.05

Z2I3Z 31.3 Z0 若正弦量

、

表示，电路参数用复数阻R

R、L

jωL、C

ω

)表示，则直流电路介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流路中都能使用相量（复数）形式的欧姆I(jXC

纯电感电

纯电容电路一般电 定

根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变RRRLjX、CjXu、i e根据相量模型列出相量方程式或画相量用相量法或相量图将结果变换成要求的例已知

u

2sinωtR

Ω,

100Ω,XL

Ω,

400求:i,i1, 分析题目

一般用相量式计 Z1、Z2Z -

、i,i 2200+Z1

R

jXL(100j1200)

j200Ω -Z2

jXC

j140 Z[50

(100

(

100

Z

3333

A

33A Z2

33AZZ 100ZZ

j200

0.89-59.6A+同理+ZZ ZZ2j200Ω j200Ω 1- 100

100j200

33A 93.8A22

(ωt

22i122

(ωt

i2

(ωt

瞬时功 设

sinωuUmsin(ωtpu

Um

sin(ω

)

Imsinωp

-

+ p

p

p

pTPT

pdt TUITP

其中：cosφ称为功率因数，用符号λ表p+ p

p

+p

p视在功率和无功功QQ的大小反映网络与外电路交换功率的大小，是由储能元件L、C的性质决定的。L，φ=900

C，φ

R，φ=00

QUIsin003.6.3视在功率和无功功视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即S视在功率反映电气设备的容量单位：VA伏安功率三角形关系PUIcos功率三角形关系PUIcosScosRIQUIsinSsinXISP2Q2ZISφPQ3.6[[例]图中电路，U=240VR1=28ΩXL=96ΩΩXC=64Ω。求个支路及总的平均功率，无功和视在功率Ì解：各支路阻解：各支路阻抗

R1

jX

Ù28 Ù10073.740

Z2

R2

jXC48

80

53.1303.6各支路电流及总电 1 1

2424A

UZI2 UZ2

Ù 80Ù

0.672j2.3041.83.6对于支

240

Q1UI1sin1240

对于支S1UI12402.对于支

P2

2403cos 432W

Ù ÙQ2

2403sin576

S2

2403

电路总功PUIcos2402.474cos02.22

QUIsin2402.474sin02.22

SUI2402.474讨论：可以看ÌPS

S

平均功+无功功+Ù视在功率不守

例.在图示电路中，已知感抗XL=20Ω,容抗XC=30Ω求：(1)电压此电路呈何性RLCRLCm解m

ZR

j(XL

XC

20

22.36

0.245

26.57

mu4.47sin(60tm

PI2R

(0.2

(3)电路呈容2QI22

(0.2

(10)

2S2

4.47

)

RLC串联电路举RLC串联电路举S谐振的概念在含有L和C的交流电路中，如果总电压串联谐振与C串联u、同并联谐振与C并联u、同串联谐串联谐振电

(1)谐振条由定义，谐同 _+

即

RXLXCXLXC+

谐振条件L1oL1oo谐振时的角频C_ 或串联谐(2)(2)L1oo 01 01谐振角频 01 电路发生谐振的方法电源频率f一定，调参数L、Cfo电路参数LC一定，调电源ff=串联谐振特

Z

(XL

X)2C流最C

当电源电压一定时，IZ、同

XLXC R 全部被电阻消耗QL和QC相互电压关系电阻电压：URIoRULULUC0或ULUC串联谐振

UL

UL

I0XL

0LUR

串联谐振又称为电压 I

0令

相量Q称为品质因数，如Q=100,U=220V,则在谐振UL

QQULUUC 0LUR1所以电力系统应避免发生串联谐振（4）联电路的阻抗频率特性

XL2fZ

j(XL

XC

XcXC

XLZ0ZZ容 感0Z

(0

(0Rf0Z ff0（4）率变化的关系曲I()UZ

R2

U(L-U

C

Z,谐振电

I0

I0 分析：R

I0Q

0

f0 R电路具有选择最接近谐振频率附近的电流的能——称为选择性Q值越大，曲线 ，选择性越好 当电流下降到0.707Io时所对应的上下限频率之差，称通频带。即：△ƒ=ƒ2－ƒ1f0谐振频

I0 f1下限截止

0.707f2

上限截止频 通频带宽度越小(Q值越大 0选择性越好 能

f1f0f2 越强

ff0Q3.8.2理想情况：纯电感和纯电容并

IIC L

L当ILIC

当ILIC

当IL

IC谐 于谐

(感性) 领先

(容性

并联谐振电路主要的特点电流与电压同相位，电路呈现电阻性并联阻抗最大，电流最小ILILIC品质因数Q为谐振时电感电流与总电流之比QIL

0L U

0Z 思为什么理想情况下并联谐振条CC LL100 L100 XL XC 0 01 10非理想情况下的并联谐CCCRLCCRLC

R

jC

j

C

R2

R2

实 虚谐振条件

虚部=0

、同由上式虚

0

C

IRL 0 2 0 211CR2 01 01 0得当CR20 LTT0f(t不是正f(t)f(tf(t)f(tkT T非正弦周期信号举1、半波整流电路的输出信

3、交直流共存2、示波器内的水平扫描

4、计算机内的脉冲信周期性周期性锯齿T设周期函数为f(t)，且满

一次谐波

f(t)

A1msin(t1)

A2msin(2t2)

k

(kωt

ψk

二次谐（2倍频直流分 高次谐 f(t)f(t)T（3）积分

f(t)

例周期 的分f(t)

1)

3)

i的有效值TI TT

i(t)

I0k

数的有效值

I1

I1m2

I2

I2m2

效值平方和II2I2I2II2I2I2012UU202122同理，非正弦周期电压u的有效值i例1：图示电路中，电流i13ii2

i2则1Ω电阻两端电压uR5有效值为 a)5

(a)

例2R，L，C串联的线性电路激励信号为非正弦周次谐波感抗X5L与5次谐波容抗X5C的关系是( )((a)X5LX5C (b)X5LX5C (c)X5LX5C*例 信号激励的电源RtCLIm tCLSiS 已知

20、

Im求

第一步将激励电

is展开RIm

IS

iS

iS I0

K

KI I2

2Im

3

15

Im2

2Im

sint

2Im

sin3t

2Im

iS

Is0

is3

is5TtIS

iS

iS

2Im

(sint

1sin3t

1sin5t ImImis(t)

78.5

33.3sin

20sin这里

T

23.146.28106

10

第二步对各种频率的谐波分量单独计算直流分IS0作

R IS

感相当于短路。得出输出的直流电压分量为

RU0RIRU0RIS2078.51061.57基波作

100sin106tRCLRCLLC