热力学统计物理试题

简述题写出系统处在均衡态的自由能判据。一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳固均衡态的充要条件是，关于各样可能的有限虚改动，所惹起的自由能的改变均大于零。即.F.0。写出系统处在均衡态的吉布斯函数判据。一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳固均衡态的充要条件是，关于各样可能的有限虚改动，所惹起的吉布斯函数的改变均大于零。即.G.0。写出系统处在均衡态的熵判据。一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳固均衡态的充要条件是，关于各样可能的有限虚改动，所惹起的熵变均小于零。即AS：：：O熵的统计解说。由波耳兹曼关系s二k|_l可知，系统熵的大小反应出系统在该宏观状态下所拥有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反应出在该宏观均衡态下系统的杂乱度的大小。故，熵是系统内部杂乱度的量度。为何在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？不考虑能级的精美构造时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV，相应的特色45温度为10~10K。在常温或低温下，电子经过热运动获取这样大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，均匀而言电子被冻结基态，所以对热容量没有贡献。为何在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献能够忽视？3因为双原子分子的振动特色温度d~10K,在常温或低温下(kT<<k,振子经过热运动获取能量方?二kd进而跃迁到激发态的概率极小，所以对热容量的贡献能够忽视。能量均分定理。关于处在均衡态的经典系统，当系统的温度为T时，粒子能量；的表达式中的每一个独立平方项的均匀值为*kT。等概率原理。关于处在均衡态的孤立系统，系统的各样可能的微观状态出现的概率是相等的。9?概率密度；-(q,p,t)的物理意义、代表点密度D(q,p,t)的物理意义及二者的关系。：：(q,p,t):在t时刻，系统的微观运动状态代表点出此刻相点(q,p)邻域，单位相空间体积内的概率。D(q,p,t):在t时刻，在相点(q，p)邻域单位相空间体积内，系统的微观运动状态代表点数。它们的关系是：珥q,P,t)二D(p,t)。此中，“是系综中系统总数N填空题1.玻色散布表为;费米散布表为；玻耳兹曼散布表为。当知足条件e「：：：：时，玻均过渡到玻耳兹曼散布。1InN=----------2玻色系统和费米系统粒子配分函数用表示，系统均匀粒子数为_________二_U-%Y=_1：：丨n内能表为_________二_______，广义力表为___________'y，In:/In、S二k(Ini)熵表为_「■3?均匀系的均衡条件是T二T。_且P=p________；均衡稳固性条件是Co且雳T。4?均匀开系的克劳修斯方程组包括以下四个微分方程：dU=TdS-pdV+?dndH=TdS+Vdp+%n-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5dG=-SdTVdp」dndF—SdT-pdVn---------------------------------------，------------------------------------------。关于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量Cv=—Nk无贡献；温度大大于振动特色温度时,_____________2；温度小小于转动特色温度时，3Nk5NkCvCv_______2。温度大大于转动特色温度而小小于动特色温度时，__________2。6准静态过程是指态过程的特色是

过程进行中的每一此中间态均可视为均衡态____________的过程：无摩擦准静外界对系综的作使劲，可用系统的状态参量表示出来。7绝热过程是指，系统状态的改变，完整部是机械或电磁作用的结果，响的过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功与详细的过程决定。

而没有遇到其余任何影没关，仅由初终两态8.费米散布是指，处在均衡态、孤立的费米系统，粒子在能级上的最概然散布。9.弱简并理想玻色气体分子间存在计吸引作用：弱简并理想费米气体分子间存在

统统计排挤作用10玻色散布是指，处在均衡态、孤立的玻色系统，粒子在能级上的最概然散布。11.关于一单元复相系，未达到热均衡时，热量从高温相传至低温相：未达到相变均衡时，物质从高化学势相向低化学势相作宏观迁徙。12.微正则系综是大批的构造完整同样的且处于均衡态的故乡系统的会合_____________:微正则散布是指在微正则系综中，系统按可能的微观态的散布____________________In乙cP13.玻耳兹曼系统粒子配分函数用乙表示，内能统计表达式为N:TnZj广义力Pdy，熵的统计表达式为微正则散布是均衡态统计物理学的基本假定，它与等概率原理等价。R8ln乙S二Nk(ln乙--J)F--NkTInZ“-----------------------，自由能的统计表达式为______________。5詈古14.与散布｛ai｝相应的，玻色系统微观状态数为________________'a?；费米QB.E=HI——.系统的微观状态数_________$a?厂a!;玻耳兹曼系统微观状态数为1'■B.E=N!a./a!.：f?___________。当知足条件经典近似条件时，三种微观状态数之间1的关系为，，B-^,，F.-Nr，M-E。15.热力学系统的四个状态量S、V、P、T所知足的麦克斯韦关系为奇P总P1!:S:P?P:T?SV■VT_TVPSTPV:■VS16.设一多元复相系有个「相，每相有个k组元，组元之间不起化学反响。此系统平1-。TPIHT?nP）tL-衡时必同时知足条件：TT、P=PP_、『（i=1,2j|lk）_______________________________________o选择题1.系综理论所波及三种系综有：微正则系综、正则系综、巨正则系综，它们分别合适的系统是（A）孤立系、闭系、开系（B）闭系、孤立系、开系（C）孤立系、开系、闭系（D）开系、孤立系、闭系2.

关闭系统指（A）与外界无物质和能量互换的系统（C）与外界无物质互换但可能有能量互换的系统

（B）能量守衡的系统（D）孤立的系统相关系统与系综关系的表述是正确的选项是A）系综是大批的构造同样，外界条件同样，且相互独立的系统的会合。B）系综是大批的构造不一样，外界条件同样，且相互独立的系统的会合。C）系综是大批的构造同样，外界条件不一样，且相互独立的系统的会合。D）系综是大批的构造不一样，外界也条件不一样的系统的会合。温度和压强熵和压强

气体的非简并条件是(A)气体分子均匀动能远远大于kT气体分子间均匀距离远远大于分子德布罗意波的均匀热波长(C)气体分子数密度远远小于1(D)气体分子间均匀距离极大于它的尺度5.由热力学基本方程dG二—SdTVdp可得麦克斯韦关系(B)IT1印丿S皿丿P(D)U-0丿P1即厂孤立系统指与外界有能量互换但无物质互换的系统与外界既无物质互换也无能量互换的系统能量守恒的系统温度和体积均保持不变的随意系统吉布斯函数作为特征函数应选用的独立态参量是(A)温度和体积(B)温度和压强(C)熵和体积(D)熵和压强(A)温度和体积自由能作为特征函数应选用的独立态参量是熵和体积以下各式中不正确的选项是当经典极限条件建即刻，玻色散布和费米散布均过渡到(A)麦克斯韦散布(B)微正则散布(C)正则散布(D)玻尔兹曼散布以下说法正确的选项是全部与热现象相关的实质宏观物理过程都是不行逆的。热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法。第一类永动机违反热力学第二定律。第二类永动机不违反热力学第二定律。：：(B)「［V.「PS\：SIS(D)汀V-由热力学方程dF二-SdT-pdV可得麦克斯韦关系已知粒子能量表达式为2m(p：Py+P；)ax2bx3(C)2kT上5kT(A)kT(B)2kT(D)24a2此中a、b为常量，则依照能量均分定理粒子的均匀能量为(A)微正则散布(B)正则散布(C)巨正则散布(D)以上都不对15.玻耳兹曼统计顶用粒子配分函数Z1表示的内能是cln乙(A)U「乙-(B)NBln乙(C)U(D)u_1不考虑粒子自旋，在长度子L内,动量处在Px~PxdPx范围的一维自由粒子的可能的量态数为(D)年dpx(A)Ldp(B)hdpx(C)2Ldphh拥有确立的粒子数、确立的体积、确立的能量的系统知足均匀开系的热力学基本方程是(A)dF二-SdT-pdV」dndG二-SdTVdp」dndH(C)dU=TdS-pdVn(B)(D)=TdSVd^-dn推导与证明Cp-CV证明：证:(1)S(T,p)=S(T,V(T,p)).汀p?汀V：：VT?汀p（2）代入（1）Cp-CV：N(3)TVV7TP：：s；：P将麦氏关代入（3）得系:TVT=7TV2.证明，OK时电子气体中电子的均匀速率为V-FF（PF为费米动量）。4m1（■:：：」（0））证明：???0K时，f=10（名：＞卩（0））在单位体积内，动量在p~p亠dp范围内的电子的量子态数为2Pdp在此范围内的电子数为dNp=f8h_p2dp".PFh3_p!PFm3.—容积V的巨大容器，器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通，其余部分与外界绝热。为开始时，内部空气的温度、压强与外界同样为T0,P0。假定空气可视为理想气体，且定压P0VCP证明，RIn摩尔热容量Cp为常量。给容器内的空气以极其迟缓的速率均匀加热，使其温度升至T证明：系统经历准静态过程，每一中间态均可视为均衡态关于容器内的气体，初态n仃）二T°no，0即PVCpIn匚R:To

：RV二n0RT，任一中间态：P0V二n（T）RTTTdTT=Tn(T)cpdT二TonoCpTdT二Ton°cpIn*0THTo4.将空窖辐射视为均衡态光子气系统统，光子是能量为的玻色子，由玻色散布，每个量子态上均匀光子数—一试导出普朗克黑体辐射公式:e-1'u(.,T)d，二V3丿kT1d■e-1解：在体积v内，动量在穿p2dphP~P+dp范围的光子的量子态数为:■=ck及德布罗意关系，可得：p==-—CC由圆频次与波矢关系:故，在体积V内，能量在?■~，+d?，范围内的光子的量子态数为：h3c3-^.2d.二c在此范围内的光子数为:2N.d-fD(■)d■e/kT-id"故，在此范围内的辐射能量为:U(T,，)d二力Nd，V~23■:ccH=VTp5.证明焓态方程:即”证：选T、p作为状态参量时，有dTcHdp(1)2PT而,dH=TdSVdp（2）代入（3）得:dHdTVT比较（1）、（4）得:=TIp(5).汀p将麦氏关系rcS'=—1-----代入（），即得60丿p：：VT6.证明能态方程：—-T

SdTdp(2)p(3)dp(4):S(6)证：选T、V作为状态参量时，有dU二出dT出dV(1)dS二兰d^—dV(2)WT丿V?丿TWV?丿T而，dU=TdS-pdV(3)(2)代入(3)得：dU=T'空idT+|T'空-p'dV(4)&T.丿V[?严一US；:US比较(1)、(4)得:——I=T——I(5)(——I=T——I-p(6)l￡T.V⑺丿T丿T将麦氏关系—P代入(6)，即得人5￡~

￡■

d￡的范围内，可能的量子态数为7.证明，关于一维自由粒子，在长度

L内,

能量在TVL

1/2J/2,DI「id

(2m)

:d

；。h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系

,

关于一维自由粒子，

在相空间体积元

dxdpx内的可能的量子态数为

dx

坐。h所以，在长度L内，动量大小在p~pdp范围内粒子的可能的量子态数为2mp2，dp「；d故，在长度L内，能量在而,rd￡￡范围内，可能的量子态数为L1/2_j/2Du7id(2m)；d；。8.证明，关于二维自由粒子,在面积L2内，能量在￡~￡d￡范围内，可能的量子态数为h2二mL证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，关于二维自由粒子，在相空间体积元dxdydpxdpyh2°所以，在面积L2内，动量大小在p~pdp范围内粒子的可能的量子态数为dxdydpxdpy内的可能的量子态数为而,12pdp二md；p,2m故，在面积L2内，能量在￡~￡d￡范围内，可能的量子态数为2Dp7jd2-mL」h2dz。9?导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式:CV=3NeE/T2eE/T-1解：按爱因斯坦假定，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动,且全部谐振子的振动频次同样。谐振子的能级为:=(n1/2)克■(n=0,1,2)QQQQ则，振子的配分函数为：Z1=7ei*(n12)二e—^72、@一亦)n￡n￡v|n乙二1丄4‘-1n(1-e=')2???U=—3N1In乙3亠3冊￡一’3亠3NhcPW古e尹方；七kT2VekT(e；=3Nk阻I''-1)2引入爱因斯坦特色温度-E:力，k^E，即得:TeE/T-12R_=T2aV-b，求此系统的物10.?关于给定系统，若已知；:vpv-bRv3v-b'态方程。解:设物态方程为p=p(T,v)，则d「呼vdT需严(1)vf即〕何「:VIcTXVcv丿p=—1T「鳥厂Vp噜卜

代入(2)v-b:vpv-bRv32aRT(3)P_2v-b||v-bRvvv-b和(3)代入(1)得v-bdp=dTRTi2a’,RT,a,RT2dv3dv=ddp=d-(v-b)vv-bv2」v-b(v-bva，即:1p+弓i(v-b)=RTv-bvRT积分得：p二11?将空窖辐射视为均衡态光子气系统统,导出普朗克黑体辐射公式:V3d■U(，,T)d?=23e/kT兀c-1解：在体积V内，动量在P~P+dp范围的光子的量子态数为因为，光子气体是玻色系统遵照玻色散布，因为系统的光子数不守恒，每个量子态上均匀光子数为e「/kT_1所以，在体积V内，圆频次在■—■+d-■范围内的光子的量子态数p=，二在此范围内的光子数为Nd?fDC)d-二U(T,■)d二力N.d■e/kT-1d''故，在此范围内的辐射能量为:12.单原子分子理想气体孤立系统的可能的微观运动状态数为:2EZ(E)，f\/迥(2TE)3N/2此中罕上-V( )一。由此导出系统熵的表达式:53丿N!(3N/2)!3/2■:S=NklnmE3h2解：In—In3NE2EN咔“松耐—⑴中5Nk???N.1,???ln(N!)=NInN_N2,In型！3NEVi'SmE3/2.2ENInN(3Nh2)j—?/LE~h,N~1023,kT~10J1,E~102,二3/25N?InQ=NInmE,+—NV3Nh丿—由玻耳兹曼关系：S二kIni2「〔，得:--------------V(4nmE3/2S=NkIn.Nj3Nh2丿13.试用麦克斯韦关系，导出方程Td^CvdTTV

I2丿5N+—,3N￡In----------~10」3：02EdV，假C/导出理想气体的绝热过程方程TVJ^C（常量）。解：???dS二至dT兰dV,d^K—IdV=CVdT+T'空IdV.汀Vs:VT门T由麦氏关系—S二—P,TdS二CVdTT—PdV3T5.；Er丄绝热过程dS=0，理想气体^nRT,P=nRV0VV（常dTnRdV积分得CVInTnRInV=