投资组合的选择课件

我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fairgame)，风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因为它的期望收益为0，而不是为负。十八、风险厌恶与公平游戏1清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fairgam假定有一公平游戏，投资10万，获利5万的概率为50%，亏5万的概率为50%，因此，这一投资的期望收益为0。当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从log(100000)=11.51增加到log(150000)=11.92，效用增加值为0.41，期望效用增加值为0.5×0.41=0.21。如果由10万降到5万，由于log(100000)-log(50000)=11.51-10.82=0.69，期望效用的减少值为0.5×0.69=0.35，它大于期望效用的增加值十九、边际效用递减举例2清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授假定有一公平游戏，投资10万，获利5万的概率为50%，亏5万这笔投资的期望效用为E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=(1/2)log(50000)+(1/2)log(150000)=11.37由于10万的效用值为11.51，比公平游戏的11.37要大，风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不投资于公平游戏。十九、边际效用递减举例3清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授这笔投资的期望效用为十九、边际效用递减举例3清华大学经济这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为2，其效用值为：

U=E(r)-0.005A2

其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。

二十、效用公式4清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。投资者A=3时，股票效用值为：10-(0.005×3×21.212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。如果投资者的A为2，股票效用值为：10-(0.005×2×21.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。二十一、效用数值应用举例5清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库券风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选择资产的均值-方差准则：当满足下列(a)、(b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产A作为投资对象：(a)E(RA)≥E(RB)且σ2A<σ2B(b)E(RA)>E(RB)且σ2A≤σ2B二十二、均值-方差准则6清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收二十二、均值-方差准则（2）7清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授二十二、均值-方差准则（2）7清华大学经济管理学院国因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合P优于在它东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合P更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合P，标准差等于或小于资产组合P，即资产组合P的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通过P点的投资者效用的无差异曲线(indifferencecurve)一定位于第二和第三象限，即一定是条通过P点的、跨越第二和第三象限的东南方向的曲线。二十二、均值-方差准则（3）8清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过P点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。二十二、均值-方差准则（4）9清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值，其他的选择还有中值与众数。中值(median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率，众数(mode)是最大概率时的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处于正中的收益。但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最强，实际使用也最广泛。二十三、均值的分析10清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，M4，等)都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。二十四、方差的分析11清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在萨缪尔森有两个重要结论：①所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。②方差与均值对投资者的效用同等重要。得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有“紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。二十四、方差的分析（2）12清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授萨缪尔森有两个重要结论：二十四、方差的分析（2）12清华大学第五章投资组合的选择13清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授第五章投资组合的选择13清华大学经济管理学院马柯维茨的资产组合理论马柯维兹(HarryMarkowitz)1952年在JournalofFinance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代投资理论发展的开端。马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。14清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授马柯维茨的资产组合理论马柯维兹(HarryMarkowit托宾的收益风险理论托宾(JamesTobin)是著名的经济学家、他在1958年2月TheReviewofEconomicStudies发表文章，阐述了他对风险收益关系的理解。凯的流动偏好有两个以后被证明不真实的假设，一个假设是利率水平稳定不变，二是假设投资者或全部持有现金，或全部持有风险资产。1955-56年，托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的。由于利率是波动的，投资者通常会同时持有流动性资产和风险资产。他还指出，投资者并不是简单地在风险资产和无风险资产这两种资产之间进行选择，实际上风险资产有许多种，因此，他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。这就是说，投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和股票选择。而后者应依据马克维茨的模型。即无论风险偏好何样的投资者的风险资产组合都应是一样的。托宾的理论不仅使凯恩斯理论有了更坚实的基础，也使证券投资的决策分析方法更深入，也更有效率。15清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授托宾的收益风险理论托宾(JamesTobin)是著名的经济

雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市伞需求大减概率0.40.30.3收益率30%12%-20%E(r伞公司)=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6%σ2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04σ=431.041/2=20.76或20.76%一、资产组合的计算16清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授

雨较多的年份投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于收益率为3%的国库券，因此投资者的整个资产组合的期望收益率为

E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5r国库券=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3%资产组合的标准差为

σ投资者=0.5σ伞公司=0.5×20.76%=10.38%二、资产组合的方差17清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于三、冷饮的收益与风险雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增

概率0.40.30.3收益率4%-10%30%冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为248.64%，标准差为15.77%。18清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授三、冷饮的收益与风险雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增概率0.40.30.3收益率17%1%5%新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。资产组合期望收益标准差全部投资于伞公司股票9.6%20.76%一半伞股票一半国库券6.3%10.38%一半伞股票一半冷饮股票8.6%7.03%四、互补组合的收益与风险19清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授雨较多的年五、斜方差的计算测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。斜方差的计算公式为

Cov(r伞,r冷饮)=∑Pr(s)[r伞(s)-E(r伞)][r冷饮(s)-E(r冷饮)]Cov(r伞公司,r冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96

20清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授五、斜方差的计算测度两种资产互补程度的指标是协方差(cov相关系数范围在－1和+1之间，与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。(伞，冷饮)=[Cov(r伞,r冷饮)]/(伞冷饮)=-240.96/(20.7615.77)=-0.736

另一种计算资产组合方差的公式为

P2=w1212+w2222+2w1w2Cov(r1,r2)

2=(0.5220.762)+(0.5215.772)+[20.50.5(-240.96)]=49.43＝7.03%

这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。六、相关系数的计算21清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授相关系数范围在－1和+1之间，与斜方差的关系为：两变量协方差投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.75万买清华同方，19.25万买清华紫光。

同方：w1=15.75/35=0.45紫光：w2=19.25/35=0.55

风险组合P的权重为y，无风险组合的权重为1-y，有

y=35/50=0.7(风险资产)1-y=0.3(无风险资产)七、风险资产与无风险资产的结构

22清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为

投资于股票：y=500000×0.55=275000(元)投资于国库券：1-y=500000×0.45=225000(元)

投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5)，增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有

清华同方：w1=275000×0.55=151250(元)清华紫光：w2=275000×0.45=123750(元)八、风险与无风险资产的结构变化

23清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投假定风险资产的期望收益为E(rP)=9%，标准差为P；=21%，无风险资产组合F的收益率为rf=3%

。风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=9%-3%=6%令整个资产组合C的收益率为rC，有：rc=yrp+(1-y)rf

资产组合C的期望收益为：3%+y(9%-3%)3+6y由于P=21%，有：σC=yσp=21y九、风险与无风险资产的结构决定24清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授假定风险资产的期望收益为E(rP)=9%，标准差为P；

E(rp)=9%p

(rf)=3%F

021%十、资本配置线的形成图25清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授

十、资本配置线的形成图25清华大学经济管理学院国际如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=9%，P=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=3%，P=0。从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为6/21=0.29，每增1单位风险，可获0.29单位收益。即每增1单位收益，将增3.5(21/6=3.5)单位风险。

十一、资本配置线的意义26清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp根据σC=yσp=21y，有y=c/p，将y代入有E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]=rf+(σc/σp)[E(rp)-rf]=3+(6/21)σc

从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，其截距为rf，斜率为6/21。

该斜率也称为酬报与波动性比率。一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。

十二、资本配置线的数学表达27清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授根据σC=yσp=21y，有y=c/p，将y代入有十二、根据前面的公式，我们可以得到以下两式：E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]σ2C=y2σ2p

将两式代入效用函数，有

MaxU=E(rc)-0.005A2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ2p

(MaxU)’=E(rp)-rf—0.01Ayσ2p

令导数为0，有：y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p

最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。

十三、最优资本配置推导28清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授根据前面的公式，我们可以得到以下两式：十三、最优资本配置推导还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为3，求投资者的最优风险资产组合比例y*的值。有

y*=[9%-3%]/(0.01×3×212)=45.35%

根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产，54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的

E(rc)=3%+(45.35%6%)=5.72%C=45.35%21%=9.52%2.72/9.52=0.29等于前例中的酬报与波动性比率。十四、最优资本配置举例29清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为3，求投资者的最如果假定投资者的风险厌恶程度A为1.5，其结果为y*=[9%-3%]/(0.01×1.5×212)=90.7%E(rc)=3%+(90.7%6%)=8.44%C=90.7%21%=19.05%5.44/19.05=0.29

风险厌恶程度降低一半，投资于风险资产组合的比例上升了一倍，整个资产组合的期望收益也提高到8.44%，风险溢价提高到5.44%，标准差也提高了一倍，达到19.05%。最优资本配置举例（2）30清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授如果假定投资者的风险厌恶程度A为1.5，其结果为最优资本配置

E(rp)=9%p

(rf)=3%F

021%十五、最优资本配置的几何表达31清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授

十五、最优资本配置的几何表达31清华大学经济管理学院消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指数的资产组合。它的资本配置线称资本市场线(CML)。假定一资产组合有与指数相同的收益风险，其风险溢价为10%，标准差为30%，投资者将投资资金的50%投向风险资产组合。有

y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p=10%/(0.01×A×302)=0.50A=10%/(0.01×0.50×302)=2.22

当然，这是根据假定的数据计算出来的风险厌恶程度。实际的值可以通过对市场的实际历史数据回归估计出来，美国的学者估计美国市场的风险厌恶值在2-4之间。

十六、资本市场线32清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授消极投资策略的资本配置方案为：短期国库券与股票指数的资产组合十七、非系统风险与系统风险美国股票1960-1970年随机选样的分散化效应表股数月均收益率月均标准差与市场的相关系数R10.88%7.0%0.5420.69%5.0%0.6330.74%4.8%0.7540.65%4.6%0.7750.71%4.6%0.79100.68%4.2%0.85150.69%4.0%0.88200.67%3.9%0.89

33清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授十七、非系统风险与系统风险美国股票1960-1970年随机选十八、中国股市的分散与风险34清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授十八、中国股市的分散与风险34清华大学经济管理学院国35清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授35清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪十八、中国股市的分散与风险36清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授十八、中国股市的分散与风险36清华大学经济管理学院国十八、中国股市的分散与风险37清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授十八、中国股市的分散与风险37清华大学经济管理学院国十八、两种风险资产的资产组合假定投资两种风险资产，一是股票，一是债券。投资者会根据期望收益与方差的情况，考虑自己的风险厌恶程度决定两种资产组合的比例。假定投资债券的资金为wD，投资股票的部分为1-wD记作wE，rD为债券收益，rE为股票收益，组合收益rp为

rp=wDrD+wErEE(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)p2=w2DD2+w2EE2+2wDwECOV(rDrE)Cov(rD,rD)=D2

组合的方差还可以有以下计算公式：

P2=wDwDCov(rD,rD)+wEwECov(rE,rE)+2wDwECov(rD,rE)

38清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授十八、两种风险资产的资产组合假定投资两种风险资产，一是股票，如两资产斜方差为负，方差将变小。有Cov(rD，rZ)=ρDE/DE将此式代入方差计算公式有：P2=wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρDE

ρ=1时，式右可简化为：P2=(WDD+WEE)2或P=WDD+WEE

组合的标准差恰好等于组合中每一部分证券标准差的加权平均值。当ρ＜1时，组合标准差会小于各部分证券标准差的加权平均值。当ρ=-1时，该式可简化为：P2=(wDE―wED)2组合的标准差为：P=|wDE―wED|。此时如果两种资产的比例恰当，标准差可以降低到0，十九、相关性对资产组合标准差的效应

39清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授如两资产斜方差为负，方差将变小。有Cov(rD，rZ)=ρ标准差可以降低到0的资产恰当比例为：

由于：wDD-wEE=0，所以有wD=E/(D+E)wE=D/(D+E)=1-wD

以上的公式表明，当ρ=时，标准差最大，为每一种风险资产标准差的加权平均值；如果ρ＜1，组合的标准差会减小，风险会降低；如果ρ=-1，在股票的比重为wD=E/(D+E)，债券的比重为1-wD时，组合的标准差为0，即完全无风险。相关性对资产组合标准差的效应（2）

40清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授标准差可以降低到0的资产恰当比例为：相关性对资产组合标准差的股票E(rp)为20%，方差为15%，债券E(rB)为10%，方差为10%。给定相关性下的资产组合的标准差投资比重ρ=-1ρ=-0.5ρ=0.5ρ=1wDwE收益方差收益方差收益方差收益方差1.000.0010.010.010.010.010.010.010.010.00.800.2012.03.0812.05.0412.08.9612.010.920.600.4014.00.1214.03.0614.08.9414.011.880.400.6016.01.1216.04.0616.09.9416.012.880.200.8018.06.0818.08.0418.011.9618.013.920.001.0020.015.020.015.020.015.020.015.0

最小方差的资产组合(根据表中的数据，不再细分)wD0.550.550.701.00wE0.450.450.300.00E(rP)14.514.513.010.02P0.003.038.8210.0二十、相关性效应举例

41清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授股票E(rp)为20%，方差为15%，债券E(rB)为10%假定投资可细分，股票与债券的ρ=-0.5。计算组合方差的公式为：­p2=w2DD2+w2EE2+2wDwECOV(rD，rE)，用(1-wD)来替代wE，有：

­p2=w2DD2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)COV(rD，rE)

求出wD系数，令其等于0，有

wmin(D)=[E2-Cov(rD，rE)]/[D2+E2-2Cov(rD，rE)]

将前面的数据代入，由于有：Cov(rD，rZ)=ρDEDE，相关性效应举例（2）42清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授假定投资可细分，股票与债券的ρ=-0.5。相关性效应举例（2将2D=10，2E=15代入此式，有Cov(rD，rZ)=-0.5(3.162)(3.873)=-6.123将此值代入，有wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]=(21.123)/(37.246)=0.567wmin(E)=1-0.679=0.433

这个最小化方差的资产组合的方差为2min=(0.567210)+(0.433215)+(20.5670.433-6.123)=3.02该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。这一组合的期望收益为：E(rp)=0.56710%+0.43320%=14.33%相关性效应举例（3）43清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授将2D=10，2E=15代入此式，相关性效应举例（3）4资产组合机会集合线

E(rp)20Bρ=-1ρ=0.5ρ=-0.5ρ=110A

03.163.87二十一、不同ρ下标准差的几何表达44清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授资产组合机会集合线

二十一、不同ρ下标准差的几何表达44清

资产配置线BE(rp)

15%B资产配置线A

14.33%A

机会集合线

6.5%1.74%1.79%二十二、三种资产的资产组合45清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授二十二、三种资产的资产组合45清华大学经济管理学院两条CAL以rf=6.5%为起点，通过A,B两点。A点代表了在股票与债券的ρ=-0.5时具有最小方差组合A，该组合债券比例为56.7%，股票比例为43.3%。它的E(r)为14.33%(风险溢价为7.88%)，为1.74%。由于TB利率为6.5%，酬报与波动性比率，即资本配置线的斜率为:

SA=[E(rA)-rf]/A=(14.33-6.5)/1.74=4.5B点，ρ=-0.5,债券股票各50%，E(r)=15%(风险溢价为8.5%)，=1.79%。斜率为：SB=[E(rB)-rf]/B=(15-6.5)/1.79=4.75由于B的斜率大于A，B更优。相同方差更高收益。我们知道，两条线切点所对应的组合P最优。二十三、上图的说明46清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授两条CAL以rf=6.5%为起点，通过A,B两点。二十三、上

资产配置线E(rp)

6.5%

机会集合线

0二十四、最优组合的几何表达47清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授二十四、最优组合的几何表达47清华大学经济管理学院目的是找出wD，wE值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，目标函数就是斜率，即SP，有：Sp=[E(rp)-rf]/σp

只要满足权重和=1，就可以求斜率的最大值，有

MaxSp=[E(rp)-rf]/σp因为∑wI=1，将[E(rp)=wDE(rp)+wEE(rE)]代入，有

MaxSp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/σp

将P2=wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρE代入上式，有MaxSp=[wDE(rp)+wEE(rE)-rf]/[wD2D2+wE2E2+2wDwEDEρE]用1-wD代替wE，有：MaxSp=[wDE(rp)+(1-wD)E(rE)-rf]/wD2D2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)DEρE用wD

对Sp

求导，令导数为零，有

wD={[E(rD)-rf]E2-[E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}/[E(rD)-rf]E2+[E(rE)-rf]D2-[E(rD)-rf+E(rE)-rf]Cov(rD,rE)}wE=1-wD

二十五、最优值的计算48清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授目的是找出wD，wE值，以获得斜率最大的资本配置线。因此，目把上例中的数据代入，得到的解为wD={[10-6.5]15-[20-6.5](-6.123)}/[10-6.5]15+[20-6.5]10-[10-6.5+20-6.5](-6.123)}=46.7%wE=1-0.46.7=53.3%这一最优风险资产组合的期望收益与标准差分别为E(rP)=(0.467×10)+(0.533×20)=15.33%2min=(0.4672×10)+(0.5332×15)+(20.4670.533-6.123)=3.39%这个最优资产组合的资本配置线的斜率为SP=[E(rB)-rf]/B=(15.33-6.5)/1.84=4.80

这也是资产组合P的酬报与波动性比率，这是资产组合P可以得到的最大的斜率，因此也是投资者可以得到的最优资本配置线的斜率。最优值的计算（2）49清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授把上例中的数据代入，得到的解为最优值的计算（2）49清华大风险资产与无风险资产的比率为：y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p，假定A=4，投资者投资于风险资产组合的投资比例为

y=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p=(15.33-6.5)/(0.01×4×3.39)=65.12

由于风险太小，应将其资产的100%全投向风险资产。只有A大于261的时候，投资者才愿意同时投资于风险资产和无风险资产。假定A=300，有

y=(15.33-6.5)/(0.01×300×3.39)=86.82%1-y=13.12%

即投资者只有在如此厌恶风险的情况下，才会将其投资资金的86.82%投向股票与债券，13.12%投向国库券。由于债券在风险资产中的比例为46.7%，股票在风险资产中的比例为53.3%，因此，在全部投资资金中应有(46.7%×86.82%=)40.55%投资于债券，(53.3%×86.82%=)46.28%投资于股票，剩下的13.12%投向国库券。最优值的计算（3）50清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授风险资产与无风险资产的比率为：y*=[E(rp)-rf]/E(rp)资产配置线

全部资产最优组合

P

最优风险资产组合

C

6.5%机会集合线

0二十六、三资产最优组合的几何表达

51清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授E(rp)我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fairgame)，风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因为它的期望收益为0，而不是为负。十八、风险厌恶与公平游戏52清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fairgam假定有一公平游戏，投资10万，获利5万的概率为50%，亏5万的概率为50%，因此，这一投资的期望收益为0。当10万增到15万时，利用对数效用函数，效用从log(100000)=11.51增加到log(150000)=11.92，效用增加值为0.41，期望效用增加值为0.5×0.41=0.21。如果由10万降到5万，由于log(100000)-log(50000)=11.51-10.82=0.69，期望效用的减少值为0.5×0.69=0.35，它大于期望效用的增加值十九、边际效用递减举例53清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授假定有一公平游戏，投资10万，获利5万的概率为50%，亏5万这笔投资的期望效用为E[U(W)]=pU(W1)+(1+p)U(W2)=(1/2)log(50000)+(1/2)log(150000)=11.37由于10万的效用值为11.51，比公平游戏的11.37要大，风险厌恶型投资者不会进行这一投资。即不投资于公平游戏。十九、边际效用递减举例54清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授这笔投资的期望效用为十九、边际效用递减举例3清华大学经济这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为2，其效用值为：

U=E(r)-0.005A2

其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。

二十、效用公式55清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者会选择全部购买国库券的投资策略。投资者A=3时，股票效用值为：10-(0.005×3×21.212)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。如果投资者的A为2，股票效用值为：10-(0.005×2×21.212)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。二十一、效用数值应用举例56清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库券风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收益或风险溢价。因此对于风险厌恶型的投资者来说，存在着选择资产的均值-方差准则：当满足下列(a)、(b)条件中的任何一个时，投资者将选择资产A作为投资对象：(a)E(RA)≥E(RB)且σ2A<σ2B(b)E(RA)>E(RB)且σ2A≤σ2B二十二、均值-方差准则57清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授风险厌恶型的投资者承担风险是要报酬的，这个风险报酬就是超额收二十二、均值-方差准则（2）58清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授二十二、均值-方差准则（2）7清华大学经济管理学院国因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标准差则等于或小于第四象限中的任何资产组合，即资产组合P优于在它东南方向的任何资产组合。相应地，对投资者来说，所有第一象限的资产组合都比资产组合P更受欢迎，因为其期望收益等于或大于资产组合P，标准差等于或小于资产组合P，即资产组合P的西北方向的资产组合更受欢迎。那么，通过P点的投资者效用的无差异曲线(indifferencecurve)一定位于第二和第三象限，即一定是条通过P点的、跨越第二和第三象限的东南方向的曲线。二十二、均值-方差准则（3）59清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授因为它的期望收益大于或等于第四象限中的任何资产组合，而它的标一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都通过P点，因为，这是市场提供的唯一的风险溢价水平决定的。一般风险厌恶程度较高的投资者的投资效用无差异曲线较为陡峭，因为风险的增加他要求很高的期望收益的增长；而一般风险厌恶程度较低的投资者的投资效用无差异曲线较为平缓。另一方面，每一个投资者一旦确定其风险厌恶程度，其投资效用的无差异曲线的斜率就确定了，除了一条由市场提供的唯一风险溢价水平决定的无差异曲线外，还一定可以有无数条平行它的无差异曲线。二十二、均值-方差准则（4）60清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授一方面，风险厌恶程度不同的投资者有不同的无差异曲线，但它们都我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的唯一代表值，其他的选择还有中值与众数。中值(median)是所有收益按照高低排序时处于正中位置的收益率，众数(mode)是最大概率时的分布值或结果值，它代表了最大的可能收益，但不是平均加权收益，也不是按高低排序后处于正中的收益。但投资者和理论界均认为均值最好，代表性最强，实际使用也最广泛。二十三、均值的分析61清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授我们首先来看均值，投资的期望值或均值并不是投资收益概率分布的均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在描述风险时有一定的局限性，如果两个资产组合的均值和方差都相同，但收益率的概率分布不同时。一阶矩差代表收益水平；二阶矩差表示收益的不确定性程度，并且所有偶数矩差(方差，M4，等)都表明有极端值的可能性，这些矩差的值越大，不确定性越强；三阶矩差(包括其他奇数矩差：M5，M7等)表示不确定性的方向，即收益分布的不对称的情况。但是，矩差数越大，其重要性越低。二十四、方差的分析62清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授均值本身是期望值的一阶矩差，方差是围绕均值的二阶矩差。方差在萨缪尔森有两个重要结论：①所有比方差更高的矩差的重要性远远小于期望值与方差，即忽略高于方差的矩差不会影响资产组合的选择。②方差与均值对投资者的效用同等重要。得出这个结论的主要假设是股票收益分布具有“紧凑性”。所谓紧凑性是说，如果投资者能够及时调整，控制风险，资产组合收益率的分布就是紧凑的。二十四、方差的分析（2）63清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授萨缪尔森有两个重要结论：二十四、方差的分析（2）12清华大学第五章投资组合的选择64清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授第五章投资组合的选择13清华大学经济管理学院马柯维茨的资产组合理论马柯维兹(HarryMarkowitz)1952年在JournalofFinance发表了论文《资产组合的选择》，标志着现代投资理论发展的开端。马克维茨1927年8月出生于芝加哥一个店主家庭，大学在芝大读经济系。在研究生期间，他作为库普曼的助研，参加了计量经济学会的证券市场研究工作。他的导师是芝大商学院院长《财务学杂志》主编凯彻姆教授。凯要马克维茨去读威廉姆斯的《投资价值理论》一书。马想为什么投资者并不简单地选内在价值最大的股票，他终于明白，投资者不仅要考虑收益，还担心风险，分散投资是为了分散风险。同时考虑投资的收益和风险，马是第一人。当时主流意见是集中投资。马克维茨运用线性规划来处理收益与风险的权衡问题，给出了选择最佳资产组合的方法，完成了论文，1959年出版了专著，不仅分析了分散投资的重要性，还给出了如何进行正确的分散方法。马的贡献是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。他用数学中的均值方差，使人们按照自己的偏好，精确地选择一个确定风险下能提供最大收益的资产组合。获1990年诺贝尔经济学奖。65清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授马柯维茨的资产组合理论马柯维兹(HarryMarkowit托宾的收益风险理论托宾(JamesTobin)是著名的经济学家、他在1958年2月TheReviewofEconomicStudies发表文章，阐述了他对风险收益关系的理解。凯的流动偏好有两个以后被证明不真实的假设，一个假设是利率水平稳定不变，二是假设投资者或全部持有现金，或全部持有风险资产。1955-56年，托宾发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的。由于利率是波动的，投资者通常会同时持有流动性资产和风险资产。他还指出，投资者并不是简单地在风险资产和无风险资产这两种资产之间进行选择，实际上风险资产有许多种，因此，他得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。这就是说，投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和股票选择。而后者应依据马克维茨的模型。即无论风险偏好何样的投资者的风险资产组合都应是一样的。托宾的理论不仅使凯恩斯理论有了更坚实的基础，也使证券投资的决策分析方法更深入，也更有效率。66清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授托宾的收益风险理论托宾(JamesTobin)是著名的经济

雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市伞需求大减概率0.40.30.3收益率30%12%-20%E(r伞公司)=(0.4×30)+(0.3×12)+[0.3×(-20)]=9.6%σ2(伞公司)=0.4(30-9.6)2+0.3(12-9.6)2+0.3(-20-9.6)2=431.04σ=431.041/2=20.76或20.76%一、资产组合的计算67清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授

雨较多的年份投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于收益率为3%的国库券，因此投资者的整个资产组合的期望收益率为

E(r投资者)=0.5E(r伞公司)+0.5r国库券=(0.5×9.6%)+(0.5×3%)=6.3%资产组合的标准差为

σ投资者=0.5σ伞公司=0.5×20.76%=10.38%二、资产组合的方差68清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授投资者将其资金的50%投资于伞公司的股票，其余的50%投资于三、冷饮的收益与风险雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增

概率0.40.30.3收益率4%-10%30%冷饮公司的期望收益率为7.6%，方差为248.64%，标准差为15.77%。69清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授三、冷饮的收益与风险雨较多的年份少雨年份

股市的牛市股市的熊市冷饮需求大增概率0.40.30.3收益率17%1%5%新组合的期望收益为8.6%，标准差为7.03%。互补的选择效果比与无风险资产构成的组合还好。资产组合期望收益标准差全部投资于伞公司股票9.6%20.76%一半伞股票一半国库券6.3%10.38%一半伞股票一半冷饮股票8.6%7.03%四、互补组合的收益与风险70清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授雨较多的年五、斜方差的计算测度两种资产互补程度的指标是协方差(covariance)，它测度的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度。正的意味着资产收益同向变动，负的则是反方向变动。斜方差的计算公式为

Cov(r伞,r冷饮)=∑Pr(s)[r伞(s)-E(r伞)][r冷饮(s)-E(r冷饮)]Cov(r伞公司,r冷饮公司)=0.4(30-9.6)(4-7.6)+0.3(12-9.6)(-10-7.6)+0.3(-20-9.6)(30-7.6)=-240.96

71清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授五、斜方差的计算测度两种资产互补程度的指标是协方差(cov相关系数范围在－1和+1之间，与斜方差的关系为：两变量协方差除以两标准差之积等于它们的相关系数。(伞，冷饮)=[Cov(r伞,r冷饮)]/(伞冷饮)=-240.96/(20.7615.77)=-0.736

另一种计算资产组合方差的公式为

P2=w1212+w2222+2w1w2Cov(r1,r2)

2=(0.5220.762)+(0.5215.772)+[20.50.5(-240.96)]=49.43＝7.03%

这与前面得出的资产组合收益的标准差一样。六、相关系数的计算72清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授相关系数范围在－1和+1之间，与斜方差的关系为：两变量协方差投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.75万买清华同方，19.25万买清华紫光。

同方：w1=15.75/35=0.45紫光：w2=19.25/35=0.55

风险组合P的权重为y，无风险组合的权重为1-y，有

y=35/50=0.7(风险资产)1-y=0.3(无风险资产)七、风险资产与无风险资产的结构

73清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授投资金额50万，其中15万投资国库券，35万投资股票，15.投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投资者的投资资金的配置则为

投资于股票：y=500000×0.55=275000(元)投资于国库券：1-y=500000×0.45=225000(元)

投资者在股票投资减7.5万(35-27.5=7.5)，增买7.5万的国库券。由于两种股票的比例不变，因此，有

清华同方：w1=275000×0.55=151250(元)清华紫光：w2=275000×0.45=123750(元)八、风险与无风险资产的结构变化

74清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授投资者希望将所持有的风险资产组合比重从0.7降为0.55。投假定风险资产的期望收益为E(rP)=9%，标准差为P；=21%，无风险资产组合F的收益率为rf=3%

。风险资产的风险溢价为E(rP)–rF=9%-3%=6%令整个资产组合C的收益率为rC，有：rc=yrp+(1-y)rf

资产组合C的期望收益为：3%+y(9%-3%)3+6y由于P=21%，有：σC=yσp=21y九、风险与无风险资产的结构决定75清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授假定风险资产的期望收益为E(rP)=9%，标准差为P；

E(rp)=9%p

(rf)=3%F

021%十、资本配置线的形成图76清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授

十、资本配置线的形成图25清华大学经济管理学院国际如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=9%，P=21%。如果选择将全部投资投向无风险资产，期望收益与标准差就是E(rp)=3%，P=0。从线上可直观地看到，风险增加，收益也增加。由于直线的斜率为6/21=0.29，每增1单位风险，可获0.29单位收益。即每增1单位收益，将增3.5(21/6=3.5)单位风险。

十一、资本配置线的意义77清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授如果选择将全部投资投向风险资产，期望收益与标准差就是E(rp根据σC=yσp=21y，有y=c/p，将y代入有E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]=rf+(σc/σp)[E(rp)-rf]=3+(6/21)σc

从式中可以看到，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，其截距为rf，斜率为6/21。

该斜率也称为酬报与波动性比率。一般认为这个值较大为好，因为它越大，资本配置线就越陡，即增加一单位风险可以增加更多的期望收益。

十二、资本配置线的数学表达78清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授根据σC=yσp=21y，有y=c/p，将y代入有十二、根据前面的公式，我们可以得到以下两式：E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]σ2C=y2σ2p

将两式代入效用函数，有

MaxU=E(rc)-0.005A2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.005Ay2σ2p

(MaxU)’=E(rp)-rf—0.01Ayσ2p

令导数为0，有：y*=[E(rp)-rf]/0.01Aσ2p

最优配置与风险厌恶水平成反比，与风险溢价成正比。

十三、最优资本配置推导79清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授根据前面的公式，我们可以得到以下两式：十三、最优资本配置推导还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为3，求投资者的最优风险资产组合比例y*的值。有

y*=[9%-3%]/(0.01×3×212)=45.35%

根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产，54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的

E(rc)=3%+(45.35%6%)=5.72%C=45.35%21%=9.52%2.72/9.52=0.29等于前例中的酬报与波动性比率。十四、最优资本配置举例80清华大学经济管理学院国际金融与贸易系朱宝宪副教授还用上述例子中的数据。还假定风险厌恶系数A为3，求投资者的最如果假定投资者的风险厌恶程度A为1.5，其结果为y*=[9%-3%]/(0.01×1.5×212)=90.7%E(rc