偏微分方程与特征线

偏微分方程与特征线1函数空间的矢量场给定一个矢量场vvi(x) 就在空间定义了曲线簇比如经过x点的积分曲线就xi 0可以描述为下列常微分方程的初值问题ivi(x)，i,.,nx(0)x0这些积分曲线就构成了曲线簇。如果形式地写出这个曲线来就是t2 txt)xt ...vtv2

t2v3t3...)xexp(vt)x

此处x是0时刻位置，v是作用于x的微分算符。这些曲线，将空间点分成了类，也就是说每条曲线上的点属于一类。曲线集合的维数是n-1维。矢量场的可积性那么给定两个矢量场，就会产生两簇曲线，这两簇曲线能否组成面簇呢？我们先看看从一点出发的曲线是否在一个曲面上的条件：从x点出发的依此沿两簇直线运动的点若能回到来，就可以认为可以组成面。即exp(ua)exp(vb)exp(uc)exp(vd)xxa,b,c,d1a,b,c,d,使得方程精确满足。按照各级展开，有一级ac01 1bd 01 1二级ab(uvvu)(a c)u(bd)v11 2 2 2 2…由此，得到条件[u,v]uvvuv这就是两个矢量能够构成2维子空间（曲面）的条件，著名的Frobenius定理。n个矢量积分形成n维积分只空间的条件是n可以按照下图进行直观理解vvuv满足Frobenius定理的两个矢量，能够形成二不满足Frobenius定理的两个矢量，不能形成维子空间（二维曲面） 二维子空间给定m个矢量场，他们线性组合能够形成新的矢量场。组成的矢量场空间一般称为分布。ava是任意函数}ii ii这个分布中任意两个矢量场对易仍然在这个分布之内，这样满足Frobenius闭分布，[,]他们积分可以给出m维积分子流形。单参数李群一个矢量场可以构造单参数李群，一个闭分布可以构造李群。1（物理上经常是时间群元素可以形式地写为算符形式gexp(vt)t在表示空间中也可以写为函数变换gx(x,t)t这个函数变换是常微分方程的初值问题的解(x,t)v(x,t)t(x,0)x当然这个函数满足如下关系gt

f(x)ggt s

f(x)f((x,ts))f(((x,s),t))比如平移群ga

exp(ax

) 表示为ga

f(x)exp(ax

)f(x)f(xa)，再如转动群g n(r))表示为g f(r)n(r))f(r)f(r) r r单参数李群定义了参数空间和实际空间上的变换关系和函数变换关系。微分形式一个函数描述为uf(x)f(x,...,x)1 n可以看做自变量空间到变量空间的映射RnR:xu在自变量和因变量联合空间中，可以看做一个超曲面。如果给自变量微小改变xxdx，因变量也有相应的改变dff dx,x上面下标逗号表示求导。如果想计算某个方向的导数，仅需要将相应dx改成相应的矢量分量就可idfvv

f,xi这就是微分形式。微分形式不再依赖坐标。因此可以认为是客观量。一般1微分形式可以描述为(x)dxii不同坐标空间上的微分形式可以通过拉回映射表达出来:MmNn,yx(y)Nn空间上的微分形式可以通过映射*拉回到

m空间上的微分形式*(x(y))dxi(y)(x(y))

xi(y)dyji i yj微分形式可以与矢量作用，iviv i因此可以将微分1形式想象成线元积分场，给定空间某点上一个线元，就给一个值。当然，给定一条曲线，就可以给一个积分值一条曲线可以描述为一维空间T1向n维空间Nn上的映射1 Nn* )d)il微分形式的外积两个微分形式,场，要求面元大小和方向固定时，这个值是不变的。要求i i iiu vvu uv因此，外微分

( jij ji

dxjij观察微分形式沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的积分值，这可以定义为无穷小面元上的函数（2微分形式）d j,i

dxjd dxjk形式对微分形式进行外积或者外微分都可以变成2形式，3m微空间，可以证明，最高阶是m形式。微分形式的可积性很明显，如果 df，那么有d 0一个问题就是如果 df那么能否有 adf很明显d 也就是说如果微分形式沿无穷小闭合回路（围出来无穷小面元）的面元积分场是由原来的面元积分场合成的，这个线元积分场就可以写成全微分乘以一个因子形式。另一个问题是给定一些微分形式{, ,.，能否判定任意一个微分形式的外微分以表达为这些微分形式的组合形式？答案是：d n 01可以很容易证明这个表达式将{, 扩充后，形成余切空间TM*的完备基{, , 那么d

，可以肯定只有0解。

n1n

0，这是关于的线性方程，由于

独立，这个方程n1n因此d

我们再看能使,0的映射，*0能否找到:NmnMm，使得上式成立呢？这就是Frobenius定理的另一种描述，当任意dNmnMm，将,0.

0时，可以找到n1n其实d

表达为,,0的切向场，也可连续延拓到别处。这样的切向量场的积分曲面就是映射形成的曲面。表达为V:i0,v在V中，可以找到相互对易的m-n个矢量{w

,1,..,mn}，映射可以形式地表示为:NmnMm,x()w)x很明显i*i

i(x())dxi()i

(x())xi()

,

d

(x())w

i(x())d0i这些矢量{wi

,mn}就构成了方程0,的特征矢量。微分形式组成的理想如果给定生成元,n}，我们将I

,

是任意形式，包括0形式}成为生成元生成的理想。很明显任意形式（0形式，只要和理想中的元相乘（外积，都会变成理想中的元素，即II借用理想概念Frobenius定理表达为一个外微分理想I的具有最大零化子空间的条件是dII偏微分方程（组）表达为F(u,x,uxHamilton力学

,u ,...)0，可以理解为函数偏导数的约束关系。xxHpL(q,,t)pHqqHpHLt t比如流体（固体）方程t(v)0t(v)(vvσ)01 1 ( v2E)(( v2E)vσv)t 2 2

，其中u{,u,E}再加上本构方程和状态方程才会封闭。电磁学Maxwell方程DB0Ht

，其中u{B,E}DjEB0t或者在真空场写为FjF 0 F A

A

，其中uA{,A}加上电磁学本构和电流方程才会封闭。量子力学的薛定谔方程i(

2V

，其中

ut 2m相对论电子运动的狄拉克方程(i

mc)0刘维尔方程t

0pt

HHp q q

0pit[H,]相对论电磁学11 v2c0

c2/

evAeHm0

c2/1 v2c1 v2cm2c4c2(peA)20

eem2cm2c4c2(peA)20pe

m2c4c2(pm2c4c2(peA)20切触空间为了从几何上描述偏微分方程的意义我们定义切触空间。我们定义：自变量x的空间称为域空间D自变量x，因变量u构成的空间称为图空间Gx，因变量up{x,u叫做切触空间K。切触空间是对图空间的拓展。带来一些自然结构，即切触形式Cdupdxii任何函数:MG,(x,u)，扩充为到切触空间的映射:MK,(x,u,p)都会满足切触关系C0这样，一阶偏微分方程组描述为PE{F(xi,u,p),dupdx}i i如果一个映射满足*PE0，这个映射就是PE0的解。同样地可以定义高阶切触空间CdupdxiiCdppdxji...

i ij高阶偏微分方程表示PE{F(xi,u,p,p,...),C,C,...}i ij i方程解是满足*PE0的映射。一阶偏微分方程（组）的特征线一阶偏微分方程PE{F(x,u,p),du为了寻找它的解法，我们寻找合适的微分形式，对函数微分，得到PE{F,F,

dxF,u

duF,p

dp,dupdx}{wiPEw 1

0}的矢量。这里有一个问题需要

封闭吗？也就是说是否满足dPE1

I(PE)？1很明显ddF0，但是dCdxdp并不在理想中，因此{w:iPEw

0}的矢量，有可能不能够积分出一个子空间来，因此不是偏微分方程的解。PE {F,F,

dxF,u

duF,p

dp,dupdx,dxdp}是封闭的，定义I(PE)I(F,F,x

dxF,u

duF,p

dp,dupdx,dxdp){w:iw

I(PEI(PE)}的矢量就是偏微分方程的特征矢量，它们的积分组成偏微分方程的解。我们考虑只有一个因变量情况H(xi,upi

)0的偏微分方程的I(PE)I(H,H dxH duH dp,dupdx,dxdp),x ,u ,p设wai pibu

cixi

是上述理想的特征矢量因此，iw

(dxi

dpi

)adxii

cidpi

，可以描述为H ,

dxH,u

duH dp,pdupdx线性组合的形式。消去du的项，得到，H,xi

dxiH,u

pdxiHi ,pi

dpi，a(H因此可以选iciH,pi

,xi

H p,u i

，再有i

(dupdxi)bpciw i i

0，得到bpHi ,piw

(H H p) H pH ,xi ,u i pi ,pi xi i pi u因此特征线可以采用常微分方程积分p(Hi

,xi

H p),u ixiH,piupHi pi如果u当成作用量，H当成Hamilton量，x粒子位置，p粒子动量，这正是经典粒子运动方程。李导数一个由矢量vvi 形成的单参数李群可以表述为MmMm的映射，也是RMm的xi映射:(t,x)xt

vt)xf(x)*f(x，t即*f(xt

)vt)f(x)fvt)x)，后者可以方便地用算符运算验证exp(vt)f(x)exp(vt)f(x)exp(vt)1f(exp(vt)xexp(vt))1f(exp(vt)x)我们计算函数的无穷小变换即李导数exp(vt)f(x)f(x)Lfv

vf(x)idft v也就是说，函数的李导数就是其方向导数对于微分形式dxi，i*(x)dxvt)x)dvt)x)i t t i (exp(vt)x)d(exp(vt)x)(x)dxL i iv t(xvxt)d(xvxt)(x)dx (i

tiid)dxidviiii

i(d

dxi)dvi)

ddiv(iv

v iddi)v

v v这个公式也可包含前一个，只要认为iv

f0就可以了，因此L iv

ddiv可以证明，李导数满足莱布尼兹法则L)LLv v v接着我们推导矢量场的李导数uuixi在x处的矢量要与x处的矢量比较，首先必须通过映射将其映射到 x点上，映射是txxt

exp(vt)x，这个映射诱导的映射只能将x处的矢量推向xt

。因此采用这个映射的逆映射将xt

处的矢量推向x。:xt

xexp(vt)xt*ui(x) ui(x)Lu t xi(t) xivui(xvxt)

xi(t

txjxjt

ui(x)xivjxj

uiujxj

vi[u,v]微分方程的对称性对于在切触空间中微分形式理想I（映射使得I这个变换就是微分方程的对称性。我们考虑一种连续变换，它形成单参数李群，写为:KK,(x,u,p)Vt)x,exp(Vt)u,exp(Vt)p)t其中VVixi

Vu

Vi i

表示切触空间中的矢量。因此我们需要研究这个的无穷小变换将微分形式如何改变。实际上如果I的李导数仍然属于I就可以保证李变换是微分方程的对称变换。CdupdxiiLCACV LC(iddi)Ci(dpdxi)d(VpVi)V V v V i idxiVidpdpVi)dxidV

pdViiAC

i i i iAduApdxi i对比dpdudxi的系数，可以得到jjVpjVi0 i pVj) j Vj)pi i j i约去系数A,Vj)

j)pDpVj)i i j jVpjVi0

i i j i 由上式兼容性，可以得到Vi,VP的依赖关系j写为ji)j i 兼容性条件是kjpVi)kVjjkpVi)jVk i i 1时，选，有0jVk，再代入前公式jV

0。也就是说 在因变量数目大于1时V,Vi仅是(x,u)的任意