建筑结构抗震原理-多自由度体系地震反应分析

工程抗震原理

PrinciplesofSeismicEngineering土木工程专业本科专业课

主要内容工程结构抗震原理2/322第一章工程抗震基础知识第二章场地与地基基础抗震原理第三章建筑结构抗震原理第六章桥梁结构抗震原理第七章工程结构减震控制原理第三章建筑结构抗震原理§1概述§2单自由度体系地震反应分析§3单自由度体系水平地震作用§4多自由度体系地震反应分析§5地震分析振型分解反应谱法§6水平地震作用的底部剪力法§7考虑扭转的水平地震作用§8结构竖向地震作用§9建筑结构抗震验算§10结构自振周期和频率的实用计算方法§11工程结构地震反应的时程分析方法§12地基与结构动力相互作用效应§4

多自由度体系地震反应分析4.1动力方程的建立实际工程结构的质量都是沿结构几何形状连续分布的，因此，严格地说，其动力自由度应该是无限的。但是，采用无限自由度模型，一方面计算过于复杂；另一方面也没这种必要，因为，选用有限多自由度模型的计算结果已能充分满足一般工程设计的精度要求。因此，在研究和应用中，一般通过结构的离散化方法，将无限自由度体系转化为有限自由度体系。§4

多自由度体系地震反应分析由结构动力学理论可知，结构离散化的基本方法有广义坐标法、有限元法和集中质量法。集中质量法是最早提出、也是最简单的方法。这一方法人为地将质量集中于一些点处，与之相对应，结构的刚度特性、阻尼特性、荷载特征则被集中于质量的平移自由度方向。集中质量法所带来的计算便利是显而易见的，但是，对于动力问题，不适当地集中质量也可能导致较大的计算误差。因此，对集中质量法应附加动能等效原则，即集中前后体系的动能不发生显著变化。§4

多自由度体系地震反应分析§4

多自由度体系地震反应分析定义影响系数αij是由j坐标单位物理量在i坐标方向上引起的力，其具体含义可以是刚度系数、阻尼系数、质量等。对于一般多自由度体系，假定任意时刻t，j坐标方向的位移（相对于平衡位置）为uj，相应的速度、加速度分别为

、

。则在此时刻，所有j坐标处的物理量（包括i坐标处）与相应于坐标i处的影响系数乘积之和即为i坐标方向所受到的力，即：§4

多自由度体系地震反应分析惯性力：其中mij—质量，对于集

中质量法，i≠j时mij=0；恢复力：kij—刚度系数；

n—动力自由度数;阻尼力:cij—阻尼系数。根据达朗贝尔原理，上述各力之和

即等于i坐标处作用的外力pi(t)，即：8/180§4

多自由度体系地震反应分析全部n个坐标的运动方程可用矩阵形式表示为式中，[M]、[C]和[K]—分别为结构离散体系的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，对于集中质量法，[M]为对角矩阵；{uj}、{}和{}—分别为结构离散体系的位移向量、速度向量和加速度向量；{P}—动外力向量。§4

多自由度体系地震反应分析图示多自由度弹性体系在水平地震运动作用下的变形情况。这时，体系上并无动外力p(t)作用，仅有地震引起的地面运动

。此时，i质点的惯性力为：§4多自由由度体体系地地震反反应分分析注意到到弹性性力和和阻尼尼力仅仅与相相对位位移和和相对对速度度有关关，因因此，，由达达朗贝贝尔原原理可可得水水平地地震运运动作作用下下的运运动方方程为为：写成矩矩阵形形式为：式中，{I}—惯性性力指指示向向量，，§4多自由由度体体系地地震反反应分分析4.2地震反反应分分析的的振型型叠加加法1.振型与与自振振频率率求解弹性体体系的自振频频率和和振型型称为为自振特特性分析。。由于体体系的的固有频频率和相应应的振型都仅取取决于于体系系自身身的性性质，，而与与时间间无关关，所所以从从广义义的观观点，，自振振特性性分析析的基基本手手段是是变量量分离离法，，即把时间间因素素与结结构位位置因因素分分离后，利用特特征方方程具具有非非零解解的充充分必必要条条件求求取自振振频率及相应应的振型。§4多自由由度体体系地地震反反应分分析无阻尼尼多自由由度弹性体体系的的自由振振动方方程为：设结构构作简谐振振动，其位位移反反应为为：式中，ω—自振振频率率；θ—初始始相位角;{ϕ}—仅与位位置坐坐标有有关的的向量量。可以得得到特特征方方程：：根据线线性代代数的的知识识，特征方方程存存在非非零解解的充要要条件件是系数行行列式式等于于零，即得到频率方方程：§4多自由由度体体系地地震反反应分分析对于稳稳定结结构体体系，，其质质量矩矩阵和和刚度度矩阵阵具有有实对对称性性和正正定性性，所所以，，相应应的频率方方程的的根都都是正正实根根。对于处处于随遇平平衡状状态或不稳定定状态的的结构构体系系，频频率方方程会会出现现等于于零的的重根或或虚根根。一般地地，地地震工工程中中遇到到的结结构体体系多多为稳稳定体体系。。§4多自由由度体体系地地震反反应分分析根据特征方方程：对应于于频率率方程程中的的每一个个根，都存存在特特征方方程的的一个个非零零解{ϕj}，称为振型向量，，或叫叫特征向量，，或叫叫模态向量。。由于特特征方方程的的齐次性，该非零解解是不不定的的，即振型向向量幅幅值是是任意意的，但形状是是唯一一的。因此，，振型型定义义为结结构位移形形状保保持不不变的振动动形式式。根据可知，，若结结构体体系按按某一一振型型振动动，则则体系系的所有质质点将将按同同一频频率作作简谐谐振动动。§4多自由由度体体系地地震反反应分分析为了对对不同同频率率的振振型进进行形形状上上的比比较，，需要要将其其化为为无量量纲形形式，，这种种转化化过程程称为为振型的的规格格化。振型规规格化化的方方法可可采用用下述述三种种方法法之一一：(1)特定坐坐标的的规格格化方方法：：指定定振型型向量量中某一坐坐标值值为1，其它它元素素按比比例确确定；(2)最大位移移值的的规格格化方方法：：将振振型向向量各元素素分别别除以以其中中的最最大值值；§4多自由由度体体系地地震反反应分分析(3)正交规规格化化方法法：令其中对于于[M]为对对角角质质量量矩矩阵阵时时，，可可简简写写为为：：式中中，ϕji—j振型型向向量量第第i坐标标处处的的值值；；Mj—j振型型的的广广义义质质量量。。§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析2.振型型的的正正交交性性根据据特征征方方程程：分别别对对振振型型i、j列出出运运动动方方程程：：左式(a)两边边乘乘以以向向量量{ϕj}的转转置置{ϕj}T，右式两两边边乘乘以以向向量量{ϕi}的转转置置{ϕi}T，则则有有：：左式式不不变变，，而而对对右右式式进进行行转转置置运运算算可可得得18/180§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析将右右式式减减去去左左式式，，可可得得：：若ωj≠ωωi，则则有有：：同时时有：：分别别称称为为振振型型对对质质量量矩矩阵阵的的正正交交性性和和振振型型对对刚刚度度矩矩阵阵的的正正交交性性。。§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析振型型对对质量量矩阵阵的的正交交性性的的物物理理意意义义是：：某某一一振振型型在在振振动动过过程程中中所所引引起起的的惯惯性性力力在在其其它它振振型型上上所所作作的的功功为为零零。。这说说明明某某一一个个振振型型的的动动能能不不会会转转移移到到其其它它振振型型上上去去，，或或者者说说体体系系按按某某一一振振型型作作自自由由振振动动时时不不会会激激起起该该体体系系其其它它振振型型的的振振动动。。振型型对对刚度度矩阵阵正交交性性的的物物理理意意义义是，，体体系系按按某某一一振振型型振振动动时时，，它它的的位位能能不不会会转转移移到到其其它它振振型型上上去去。。§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析振型型的的两两两两正正交交特特性性说说明明它它们们具具备备作为为一一类类线线性性空空间间基基底底的的基基本本条条件件。事实实上上，，由由振振型型向向量量所所张张成成的的线线性性空空间间正正是是一一般般动动力力反反应应空空间间，，在在这这空空间间的的任任一一点点表表示示一一个个特特定定的的动动力力反反应应，，并并且且这这一一点点的的坐坐标标值值可可由由关关于于基基底底（（振振型型））的的广广义义坐坐标标给给出出。。§4多自自由由度度体体系系地地震震反反应应分分析析3.正交交阻阻尼尼若无无外外部部能能量量输输入入，，则则任任何何原原来来振振动动的的物物理理系系统统都都会会随随着着时时间间的的增增长长趋趋于于静静止止，这是是因因为为系系统统的的能能量量会会因因为为某某些些原原因因而而耗耗散散。。产生生振振动动系系统统能能量量耗耗散散的的原原因因称称为为阻阻尼尼。。目前，关于结结构振动的耗耗能机理并不不十分清楚，，已经提出的的许多材料阻阻尼的数学模模型，每一种种模型都有其其适应范围和和局限性。由于结构的阻阻尼机制十分分复杂，工程程上常采用简简单的正交阻阻尼模型。§4多自由度体系系地震反应分分析目前工程上广泛应用的是是瑞雷阻尼模模型，其数学学表达式为：：式中，α0、α1—瑞雷阻尼系系数。由于振型向量量对质量矩阵阵和刚度矩阵阵具有正交性性，因此，对对于瑞雷阻尼尼模型，也有有：即振型对阻尼尼矩阵也具有有正交性。利用上述正交交性条件，并并注意到：§4多自由度体系系地震反应分分析其中：为为第j振型的广义质质量；为第j振型的广义刚刚度；为第j振型的广义阻阻尼；为第j振型阻尼比。。因此有：若已知任意两两阶振型的阻阻尼比，则可定定出阻尼系数数：§4多自由度体系系地震反应分分析4.求解地震反应应的振型分解解法§4多自由度体系系地震反应分分析§4多自由度体系系地震反应分分析§4多自由度体系系地震反应分分析§4多自由度体系系地震反应分分析§4多自由度体系系地震反应分分析§4多自由度体系系地震反应分分析§4多自由度体系系地震反应分分析4.求解地震反应应的振型分解解法一组正交向量量可以作为线线性空间的一一组基底，这这些基的适当当线性组合构构成空间的点点。根据这一观点点，线性结构构的动力反应应必然是其振振型向量所张张成的线性空空间中的点，，点的规迹则则反映动力反反应的时程变变化过程。为简单明了地地说明问题，，先考虑两个自自由度的体系系。§4多自由度体系系地震反应分分析将质点m1和m2在水平向地震震作用下任一一时刻的位移移u1(t)和u2(t)用两个振型的的线性组合表表示：其中，第一振振型向量，第二振型向向量。这实际上是一个个坐标变换式式，原来的变变量u1(t)和u2(t)为几何坐标，，而新的坐标标q1(t)和q2(t)可称为广义坐坐标。由于体系的振振型是唯一确确定的，因此此，当q1(t)和q2(t)确定后，质点点的位移u1(t)和u2(t)也将随之确定定。§4多自由度体系系地震反应分分析对此也可以这样理理解：体系的位移可可看作是由各各振型向量乘乘以相应的组组合系数q1(t)和q2(t)后叠加而成的的。换句话讲，这这种方法是将将实际位移按按振型加以分分解，故称为为振型分解法法。另外，由于q1(t)和q2(t)是随时间变化化的，因此，，同一振型在在不同时刻对对总位移“贡贡献”的大小小是不一样的的。§4多自由度体系系地震反应分分析对于一般的多多自由度线弹弹性体系，有：式中，为为位移向量量；为广义坐标向向量；为振型矩阵，，其中{ϕj}为体系的第j个振型向量。将上式两边分别前乘{ϕj}T[M]，利用振型关关于质量矩阵阵的正交性及及上式，可导出广广义坐标与一一般位移反应应的关系。一般用于决定各振振型的初始条条件。§4多自由度体系系地震反应分分析在水平地震作作用下，多自自由度弹性体体系的运动方方程为：为应用振型分分解法，一般般采用瑞雷阻阻尼模型。将：代入，并前乘振型向向量的转置