材料力学教学课件幻灯片T4

返回总目录第3章

剪切与扭转提要：本章将讨论杆件的剪切和扭转这两种基本变形。剪切是杆件的基本变形之一，杆件横截面上的内力为剪力。为了保证连接件的正常工作，一般需要进行连接件的剪切强度、挤压强度计算。本章将探讨采用实用计算法来进行简化计算。扭转也是杆件的基本变形之一。杆件横截面上的内力偶矩为扭矩T。本章将根据传动轴的功率P和转速n来计算杆件所承受的外力偶矩，并通过截面法来计算扭矩；还将探讨扭矩图的绘制方法。本章将研究薄壁圆筒的扭转变形及其横截面上的切应力分布，并由薄壁圆筒的扭转实验推出剪切胡克定律，还要探讨切应力互等定理。为了保证杆件在受扭情况下能正常工作，除了要满足强度要求外，还须满足刚度要求。本章将从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面入手导出等直圆杆扭转时横截面上的切应力公式，并以之为基础建立扭转的强度条件；同时在研究等直圆杆扭转变形的基础上，建立扭转的刚度条件。本章还将探讨杆件斜截面上的应力分布。

本章研究等直圆杆的扭转仅限于线弹性范围内，且材料符合胡克定律，并以平面假设为基本依据。在实际工程中，有时也会遇到非圆截面等直杆的扭转问题。本章将简单介绍矩形截面杆、开口薄壁截面杆和闭口薄壁截面杆的自由扭转问题。

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3.1剪切

3.1.1剪力和切应力剪切(shear)是杆件的基本变形之一，其计算简图如图3.1(a)所示。在杆件受到一对相距很近、大小相同、方向相反的横向外力F的作用时，将沿着两侧外力之间的横截面发生相对错动，这种变形形式就称为剪切。当外力F足够大时，杆件便会被剪断。发生相对错动的横截面则称为剪切面(shearsurface)。

既然外力F使得剪切面发生相对错动，那么该截面上必然会产生相应的内力以抵抗变形，这种内力就称为剪力(shearingforce)，用符号表示。运用截面法，可以很容易地分析出位于剪切面上的剪力与外力F大小相等、方向相反，如图3.1(b)所示。材料力学中通常规定：剪力对所研究的分离体内任意一点的力矩为顺时针方向的为正，逆时针方向的为负。图3.1(b)中的剪力为正。3.1剪切图3.1剪切的计算简图

正如轴向拉伸和压缩中杆件横截面上的轴力

与正应力的关系一样，剪力同样是切应力(shearingstress)合成的结果。由于剪切变形仅仅发生在很小一个范围内，而且外力又只作用在变形部分附近，因而剪切面上剪力的分布情况十分复杂。为了简化计算，工程中通常假设剪切面上各点处的切应力相等，用剪力除以剪切面的面积所得到的切应力平均值作为计算切应力(也称名义切应力)即

切应力的方向和正负号的规定均与剪力一致。3.1剪切3.1.2连接中的剪切和挤压强度计算

建筑结构大都是由若干构件组合而成，在构件和构件之间必须采用某种连接件(connectiveelement)或特定的连接方式加以连接。工程实践中常用的连接件，诸如铆钉、螺栓、焊缝、榫头、销钉等，都是主要承受剪切的构件。当然，以上连接件在受剪的同时往往也伴随着其他变形，只不过剪切是主要因素而已。以螺栓连接为例，如图3.2(a)所示，连接处可能产生的破坏包括：在两侧与钢板接触面的压力F作用下，螺栓将沿a-a截面被剪断，如图3.2(b)所示；螺栓与钢板在接触面上因为相互挤压而产生松动导致失效；钢板在受螺栓孔削弱的截面处产生塑性变形。相应地，为了保证连接件的正常工作，一般需要进行连接件的剪切强度、挤压强度计算和钢板的抗拉强度计算。(a)螺栓连接的钢板；(b)螺栓的受力图3.1剪切图3.2螺栓连接考虑到连接件的变形比较复杂，在工程设计中通常采用工程实用计算法(engineeringmethodofpracticalanalysis)进行简化计算。下面继续以螺栓连接为例介绍剪切强度和挤压强度的实用计算。至于钢板的抗拉强度计算和铆钉连接、榫接、焊接等的连接计算，可参阅相关教材。3.1剪切

1.剪切强度计算在图3.2(a)中，由螺栓连接的两块钢板承受力F的作用，显然螺栓在此受力情况下将沿a-a截面发生相对错动，发生剪切变形。如前所述，剪切面上的切应力为为保证螺栓不被剪断，必须使切应力不超过材料的许用切应力。于是，剪切强度条件可表示为3.1剪切许用切应力是通过实验来确定的：在剪切实验中得到剪切破坏时材料的极限切应力，再除以安全因数，即得该种材料许用切应力。对于钢材，工程上常取，为钢材的许用拉应力。对于大多数连接件来说，剪切变形和剪切强度是主要的。

2.挤压强度计算

在图3.2(a)中，在螺栓与钢板相接触的侧面上会发生相互间的局部承压现象，我们称之为挤压(bearing)，在接触面上的压力称之为挤压力(bearingforce)，用符号

表示。当挤压力足够大时，将使螺栓压扁或钢板在孔缘处压皱，从而导致连接松动而失效。在工程设计中，通常假定在挤压面上应力是均匀分布的，挤压力根据所受外力由静力平衡条件求得，因而挤压面上名义挤压应力为

3.1剪切

式中，为计算挤压面(effectivebearingsurface)面积。当接触面为平面(如键连接中键与轴的接触面)时，计算挤压面面积

取实际接触面的面积；当接触面为圆柱面(如螺栓连接中螺栓与钢板的接触面)时，计算挤压面面积

取圆柱面在直径平面上的投影面积，如图3.3(a)所示。实际上，挤压应力(bearingstress)在接触面上的分布是很复杂的，与接触面的几何形状及材料性质直接相关。根据理论分析，圆柱状连接件与钢板接触面上的理论挤压应力沿圆柱面的分布情况如图3.3(b)所示，而按式(3.3)计算得到的名义挤压应力与接触面中点处的最大理论挤压应力值相近。3.1剪切为了防止因连连接松动而失失效，必须使使挤压应力不不超过材料的的许用挤压应应力。于是，，挤压强度条条件可表示为为图3.3挤压面面积与与理论挤压应应力的分布a)挤压面面积的的计算；(b)理论挤压应力力分布3.1剪切材料的许用挤挤压应力也也应根据据实验结果来来确定。对于于钢材，工程程上常取，，为钢钢材的许用拉拉应力。必须须注意的是，，当连接件和和被连接件的的材料不同时时，应选取抵抵抗挤压能力力较弱的材料料的许用挤压压应力。。【例3.1】一螺栓接头如如图3.4所示。已知F=40kN，螺栓、钢板板的材料均为为Q235钢，许用切应应力=130MPa，许用挤压应应力=300MPa。试计算螺栓栓所需的直径径。图3.4例3.1图3.1剪切解：这是一个个截面选择问问题，先根据据剪切强度条条件式(3.2)求得螺栓的直直径，再根据据挤压强度条条件式(3.4)来校核。首先分析每个个螺栓所受到到的力。显然然，每个螺栓栓有两个剪切切面，但只受受到一个力F的作用，由截截面法可得每每个剪切面上上的剪力为将剪力和有关关的已知数据据代入剪切强强度条件式(3.2)，即得于是求得螺栓栓直径为3.1剪切校核挤压强度度。显然，由由静力平衡条条件可知每个个螺栓所受挤挤压力为=F将相关数据代代入挤压强度度条件式(3.4)，得将相关数据代代入挤压强度度条件式(3.4)，得可见，螺栓直直径取14mm满足挤压强度度条件。3.2杆件扭转时的的内力扭矩扭转(torsion)也是杆件的基基本变形之一一。其计算简简图如图3.5(a)所示：在一对对大小相等、、方向相反、、作用面垂直直于杆件轴线线的外力偶(其矩为Me)作用下，直杆杆的任意两横横截面(如图中截面和和截面)将绕轴线相对对转动，杆件件的轴线仍将将保持直线，，而其表面的的纵向线将成成螺旋线。这这种变形形式式就称为扭转转。在工程中，受受扭杆件是很很常见的，例例如机械中的的传动轴、汽汽车的转向轴轴、土工实验验用的钻杆、、建筑结构中中的雨篷梁等等，但单纯发发生扭转的杆杆件不多。如如果杆件的变变形以扭转为为主，其他次次要变形可忽忽略不计的，，可以按照扭扭转变形对其其进行强度和和刚度计算；；如果杆件除除了扭转外还还有其他主要要变形的(如雨篷梁还受受弯、钻杆还还受压)，则要通过组组合变形计算算。这类问题题将在第9章讨论。要研究受扭杆杆件的应力和和变形，首先先得计算轴横横截面上的内内力。以工程中常用用的传动轴为为例，我们往往往只知道它它所传递的功功率P和转速n，但作用在轴轴上的外力偶偶矩可以通过过功率P和转速n换算得到。因因为功率是每每秒钟内所做做的功，有3.2杆件扭转时的的内力扭矩于是，作用在在轴上的外力力偶矩为式中，功率P的单位是kW，外力偶矩Me的单位是N·m，的单位是rad/s，转速n的单位是r/min。杆件上的外力力偶矩确定后后，可用截面面法计算任意意横截面上的的内力。对图图3.5(a)所示圆轴，欲欲求m-m截面的内力，，可假设沿m-m截面将圆轴一一分为二，并并取其左半段段分析，如图图3.5(b)所示，由平衡衡方程，3.2杆件扭转时的的内力扭矩得图3.5扭转的计算简简图3.2杆件扭转时的的内力扭矩T是横截面上的的内力偶矩，，称为扭矩(torsionalmoment，torque)。如果取圆轴轴的右半段分分析，则在同同一横截面上上可求得扭矩矩的数值大小小相等而方向向相反。为使使从两段杆所所求得的同一一横截面上的的扭矩在正负负号上一致，，材料力学中中通常规定：：按右手螺旋旋法则确定扭扭矩矢量，如如果扭矩矢量量的指向与截截面的外法向向方向一致，，则扭矩为正正，反之为负负。当杆件上作用用有多个外力力偶矩时，为为了表现沿轴轴线各横截面面上扭矩的变变化情况，从从而确定最大大扭矩及其所所在位置，可可仿照轴力图图的绘制方法法来绘制扭矩图(torquediagram)。3.2杆件扭转时的的内力扭矩【例3.2】一传动轴如图图3.6(a)所示，轴的转转速n=500r/min，主动轮的输输入功率为=600kW，三个从动轮轮的输出功率率分别为==180kW，=240kW。试计算轴内内的最大扭矩矩，并作扭矩矩图。解：首先计算算外力偶矩(图3.6(a))。N·m=11.46kN·mN·m=3.44kN·mN·m=4.58kN·m3.2杆件扭转时的的内力扭矩然后，由轴的的计算简图(图3.6(b))，计算各段轴轴内的扭矩。。先考虑AC段，从任一截截面2-2处截开，取截截面左侧进行行分析，如图图3.6(c)所示，假设为正，由平衡衡方程得8.02kN·m同理，在BA段内，有kN·m3.2杆件扭转时的的内力扭矩在CD段内，有kN·m要注意的是，，在求各截面面的扭矩时，，通常采用““设正法”，，即假设扭矩矩为正。若所所得结果为负负值的话，则则说明该截面面扭矩的实际际方向与假设设方向相反。。根据这些扭矩矩即可做出扭扭矩图，如图图3.6(d)所示。从图可可见，最大扭扭矩发生在AC段，其值为8.02kN·m。3.2杆件扭转时的的内力扭矩(d)(c)(a)(b)图3.6例3.2图3.3薄壁圆筒的扭扭转在讨论等直圆圆杆的扭转之之前，先研究究一个比较简简单的扭转问问题——薄壁圆筒扭转转。设一薄壁圆筒筒，其壁厚远远小于其平均均半径r，两端承受外外力偶矩Me，如图3.7(a)所示。圆筒任任一横截面上上的扭矩都是是由截面上的的应力与微面面积dA之乘积合成的的，因此横截截面上的应力力只能是切应应力。为得到沿横截截面圆周各点点处切应力的的变化规律，，可在圆筒受受扭前，在筒筒表面画出一一组等间距的的纵向线和圆圆周线，形成成一系列的矩矩形小方格。。然后在两端端施加外力偶偶矩Me，圆筒发生扭扭转变形。此此时可以观察察到：(1)圆筒表面各纵纵向线在小变变形下仍保持持直线，但都都倾斜了同一一微小角度。。(2)各圆周线的形形状、大小和和间距都保持持不变，但绕绕轴线旋转了了不同的角度度。因筒壁很薄，，故可将圆周周线的转动视视为整个横截截面绕轴线的的转动。圆筒筒从而有3.3薄壁圆筒的扭扭转两端截面之间间相对转动的的角度称为相对扭转角(relativeangleoftwist)，用符号表表示，如图图3.7(b)所示，它表示示杆的扭转变变形。此外，，圆筒任意两两横截面之间间也有相对转转动，从而使使筒表面的各各矩形小方格格的直角都改改变了相同的的角度，，如图3.7(c)所示，这种改改变量称称为切应变(shearingstrain)，是横截面上上切应力作用用的结果。又又因薄壁圆筒筒的壁厚远远小于其平平均半径，，故可近似似认为切应力力沿壁厚不变变。依据以上分析析，可知薄壁壁圆筒扭转时时，横截面上上各处的切应应力值均均相等，其方方向与圆周相相切。由截面面上的扭矩T都是该截面上上的应力与与微面积dA之乘积的合成成，如图3.7(d)所示，可知3.3薄壁圆筒的扭扭转薄壁圆筒表面面上的切应变变和相距距为l的两端面之间间的相对扭转转角之间间的关系式可可由图3.7(b)所示的几何关关系求得(3.7)式中切应变是是一个无量纲纲的量。图3.7薄壁圆筒的扭扭转变形3.4剪切胡克定律律与切应力互互等定理通过薄壁圆筒筒的扭转实验验可以得到材材料在纯剪应应力状态下应应力与应变间间的关系。从零开始，逐逐渐增加外力力偶矩Me(其在数值上等等于扭矩T)，并记录相对对应的相对扭扭转角，，可以发现当当外力偶矩在在一定范围内内时，相对扭扭转角与与扭矩T之间成正比，，如图3.8(a)所示。利用式式(3.6)和式(3.7)，可以得到切切应变和和切应力之之间的线性性关系，如图图3.8(b)所示，其表达达式为(3.8)上式称为材料料的剪切胡克定律律(Hookelawinshear)。式中的比例例常数G称为材料的切变模量(shearmodulus)，也称剪切弹弹性模量，其其量纲与弹性性模量E的量纲相同，，在国际单位位制中，单位位常取为MPa或GPa。图3.8曲线与曲曲线(a)曲线(b)曲线3.4.1剪切胡克定律律在上一章曾提提到各向同性性材料的两个个弹性常数——弹性模量E与泊松比，可可以证明E、和G之间存在以下下关系(3.9)上式表明，各各向同性材料料的三个弹性性常数只有两两个是独立的的。表3-1给出了一些常常用材料的E、、G值。在―曲线上，当切切应力达达到材料的剪剪切比例极限限后也会会出现屈服现现象，即扭矩矩不变而相对对扭转角继续续增大。屈服服终止后，也也会出现强化化现象(要注意防止薄薄壁发生皱褶褶)。也就是说，，剪切胡克定定律式(3.8)只有在切应力力不超过材料料的比例极限限值才是适用用的。3.4剪切胡克定律律与切应力互互等定理3.4剪切胡克定律律与切应力互互等定理表3-1常用材料的E、、G值材料名称E(GPa)G(GPa)碳钢196～2060.24～0.2878.5～79.4合金钢194～2060.25～0.3078.5～79.4灰口铸铁113～1570.23～0.2744.1青铜1130.32～0.3441.23.4剪切胡克定律律与切应力互互等定理材料名称E(GPa)G(GPa)硬铝合金69.6—26.5混凝土15.2～35.80.16～0.18—橡胶0.007850.461—木材(顺纹)9.8～11.80.0539—木材(横纹)0.49～0.98——3.4剪切胡克定律律与切应力互互等定理3.4.2切应力互等定定理在承受扭转的的薄壁圆筒上上，用两个横横截面、两个个径向截面和和两个圆柱面面截取一微小小的正六面体体，称为单元元体，其边长长分别为dx、dy及dz，如图3.9(a)所示。现在分析此单单元体各侧面面上的应力。。在其左、右右两侧面(即圆筒的横截截面)上只有切应力力，方向向平行于y轴，而在其前前、后两平面面(即与圆筒表面面平行的面)上无任何应力力。由于单元元体处于平衡衡状态，故由由平衡方程可可知知，其左、右右两侧面作用用的剪力大大小相相等、方向相相反，并组成成一个力偶，，其矩为，，使单单元体有转动动的趋向。因因此为满足另另外两个平衡衡条件和和，，在单元元体的上、下下两平面(即圆筒的径向向截面)上必有大小相相等、方向相相反的一对剪剪力，，并组成矩矩为的的力偶。由平平衡条件，有有3.4剪切胡克定律律与切应力互互等定理于是可得(3.10)上式表明，在在两个相互垂垂直的平面上上，切应力必必然成对存在在，且数值相相等，两者都都垂直于两平平面的交线，，其方向均共共同指向或背背离该交线。。这就是切应力互等定定理(theoremofconjugateshearingsress)。该定理在有有正应力存在在的情况下同同样适用，具具有普遍意义义。3.4剪切胡克定律律与切应力互互等定理图3.9(a)所示的单元体体在其两对相相互垂直的平平面上只有切切应力而无正正应力，这种种应力状态称称为纯剪切应力状状态(shearingstateofstresses)，简称纯剪应应力状态。薄薄壁圆筒和等等直圆杆在发发生扭转时均均处于纯剪应应力状态。由由于这种单元元体的前、后后两平面上无无任何应力，，故可将其改改用平面图加加以表示，如如图3.9(b)所示。图3.9切应力互等(a)单元体纯剪应应力状态；(b)平面图表示3.5等直圆杆的扭扭转3.5.1横截面上的应应力1.横截面上的应应力如前所述，等等直圆杆在发发生扭转时处处于纯剪应力力状态，横截截面上只有切切应力而无正正应力。为推推导圆杆扭转转时横截面上上的切应力公公式，可以从从三方面着手手分析：先由由变形几何关关系找出切应应变的变化规规律，再利用用物理关系找找出切应力在在横截面上的的分布规律，，最后根据静静力学关系导导出切应力公公式。1)变形几几何关关系为研究究圆杆杆横截截面上上切应应变的的变化化规律律，在在其表表面画画上纵纵向线线和圆圆周线线，如如图3.10(a)所示。。当杆杆的两两端施施加外外力偶偶矩Me后，可可以发发现图图3.10(b)所示的的现象象：各各圆周周线的的形状状和间间距均均保持持不变变；在在小变变形条条件下下，各各纵向向线仍仍近似似为直直线，，但都都倾斜斜了一一微小小的角角度。。根据据以上上观察察到的的现象象，可可以合合理假假设：：在扭扭转时时横截截面如如同刚刚性平平面一一样围围绕杆杆的轴轴线转转动，，也就就是说说，圆圆杆的的横截截面变变形后后仍保保持为为平面面，其其形状状、大大3.5等直圆圆杆的的扭转转小不变变，半半径也也保持持为直直线，，且相相邻两两横截截面间间的距距离不不变。。这一一假设设称为为平面假假设(planeassumption)。实验验表明明，在在杆扭扭转变变形后后只有有等直直圆杆杆的圆圆周线线才仍仍在垂垂直于于轴线线的平平面内内，故故平面面假设设仅适适用于于等直直圆杆杆。由由此假假设推推导出出的应应力、、变形形公式式已得得到实实验和和理论论的证证实。。图3.10等直圆圆杆的的扭转转变形形(a)画网格格的圆圆杆；；(b)受外力力偶矩矩后圆圆杆的的变形形3.5等直圆圆杆的的扭转转现在假假设从从圆杆杆上截截取一一段长长为的的杆杆段进进行分分析。。由平平面假假设可可知，，杆段段变形形后的的情况况如图图3.11(a)所示：：截面面n-n相对于于截面面m-m转过的的角度度为，，故故其上上的半半径O2B也转动动了同同一角角度；；同同时由由于截截面转转动，，圆杆杆表面面上的的纵向向线AB倾斜了了一微微小角角度，，即即A点处的的切应应变(参阅3.3节)，过半半径上上一点点D的纵向向线CD也倾斜斜了一一微小小角度度，，即C点处的的切应应变。。由图图3.11(a)所示的的几何何关系系，有有即（a）3.5等直圆圆杆的的扭转转式中，，为为D到圆心心O2的距离离，表表示相相对扭扭转角角沿沿轴线线的变变化率，在在同一一截面面上为为常量量。上上式表表明等等直圆圆杆横横截面面上各各点处处的切切应变变正比比于该该点到到圆心心的距距离。。2)物理关关系在线弹弹性范范围内内，剪剪切胡胡克定定律成成立，，切应应力与与切应应变成成正比比。将将式(a)代入剪剪切胡胡克定定律式式(3.8)，即可可得到到横截截面上上距圆圆心处处的的切应应力变变化化规律律的表表达式式上式表表明，，在同同一半半径的的圆圆周上上各点点处的的切应应力值值相相等，，并与与半径径成成正比比。由由于切切应变变垂直直于半半径的的平面面内，，故切切应力力的方方向垂垂直于于半径径。切切应力力沿任任一半半径的的变化化规律律如图图3.11(b)所示。。(b)3.5等直圆圆杆的的扭转转(a)(b)图3.11等直圆圆杆扭扭转时时的切切应变变和切切应力力3.5等直圆圆杆的的扭转转(3)静力学学关系系横截面面上切切应力力变化化规律律表达达式(b)中尚尚未确确定，，需要要进一一步考虑虑静力力学关关系，，才能能求出出切应应力。。在圆圆杆的的横截截面上上取微微面积积dA，如图图3.11(b)所示，，其上上的切切向力力为，，整整个截截面上上的切切向力力对圆圆心的的力矩矩之和和，就就是该该横截截面上上的扭扭矩T，即将式(b)代入式式(c)，整理理后可可得(d)(c)(3.13)3.5等直圆圆杆的的扭转转若定义义则有称为横横截面面对圆圆心的的极惯性性矩(polarmomentofinertiaofanarea)，只与与横截截面的的几何何量有有关，，其单单位为为m4。将式式(3.12)代入式式(b)，即得得(3.11)(3.12)上式即即等直直圆杆杆在扭扭转时时横截截面上上任一一点处处切应应力的的公式式。式中，，Wp称为扭转截截面系系数(sectionmodulusoftorsion)，单位位为m3。3.5等直圆圆杆的的扭转转由图3.11(b)及式(3.13)可知，，在横横截面面周边边各点点处，，即处处，切切应力力达到到最大大值，，即若定义义(3.14)(3.15)则有(3.16)3.5等直圆圆杆的的扭转转切应力力公式式的推推导主主要依依据平平面假假设，，且材材料符符合胡胡克定定律，，因此此公式式只适适用于于在线线弹性性范围围内的的等直直圆杆杆，包包括实实心圆圆截面面杆和和空心心圆截截面杆杆。对于实实心圆圆截面面，如如图3.12(a)所示，，其极极惯性性矩(参阅附附录1)为将上式式代入入式(3.15)，得实实心圆圆截面面的扭扭转截截面系系数为为(3.18)(3.17)3.5等直圆圆杆的的扭转转对于空空心圆圆截面面，如如图3.12(b)所示，，可将将空心心圆截截面设设想为为大圆圆面积积减去去小圆圆面积积，利利用式式(3.17)可得空心圆圆截面面的扭扭转截截面系系数为为式中，，，为为空心心圆截截面内内外直直径之之比。。(3.20)(3.19)3.5等直圆圆杆的的扭转转图3.12圆截面面与空空心圆圆截面面上的的切应应力分分布3.5等直圆圆杆的的扭转转图3.13例3.3图【例3.3】长度都都为l的两根根受扭扭圆轴轴，一一为实实心圆圆轴，，一为为空心心圆轴轴，如如图3.13所示，，两者者材料料相同同，在在圆轴轴两端端都承承受大大小为为Me的外力力偶矩矩，圆圆轴外外表面面上纵纵向线线的倾倾斜角角度也也相等等。实实心轴轴的直直径为为D1；空心心轴的的外径径为D2，内径径为d2，且。。试求求两杆杆的外外径之之比以以及两两杆的的重量量比。。3.5等直圆圆杆的的扭转转解：圆圆轴外外表面面上纵纵向线线的倾倾斜角角度相相等，，也就就是两两轴横横截面面外边边缘处处的切切应变变相等等，即即两轴的的材料料相同同，故故G1=G2，由剪剪切胡胡克定定律式式(3.8)，可得得和两轴的的扭转转截面面系数数分别别为根据上上面求求得的的，并将T1=T2=Me和=0.9代入，，经整整理可可得3.5等直圆圆杆的的扭转转和将上两两式分分别代代入式式(3.16)，可得得两轴轴的最最大切切应力力为3.5等直圆圆杆的的扭转转因为两两轴的的材料料和长长度均均相同同，故故两轴轴的重重量比比即为为其横横截面面面积积之比比。于于是有有由此可可见，，在最最大切切应力力相等等的情情况下下，空空心圆圆轴比比实心心圆轴轴节省省材料料。因因此，，空心心圆轴轴在工工程中中得到到广泛泛应用用。例例如，，汽车车、飞飞机的的传动动轴就就采用用了空空心轴轴，可可以减减轻零零件的的重量量，提提高运运行效效率。。3.5等直圆圆杆的的扭转转2.强度条条件受扭杆杆件的的强度条条件(strengthcondition)是：杆杆件横横截面面上的的最大大工作作切应应力不不能能超过过材料料的许许用切切应力力，，即对于等等直圆圆杆，，其最最大工工作切切应力力发生生在扭扭矩最最大的的横截截面(即危险险截面面)上的边边缘各各点(即危险险点)处。依依据式式(3.16)，强度度条件件表达达式可可写为为3.5等直圆圆杆的的扭转转而对于于变截截面圆圆杆，，如阶阶梯状状圆轴轴，其其最大大工作作切应应力并并不一一定发发生在在扭矩矩最大大的截截面上上，需需要综综合考考虑扭扭矩T和扭转转截面面系数数Wp才能确确定。。利用强强度条条件表表达式式(3.22)，就可可以对对实心心(或空心心)圆截面面杆进进行强强度计计算，，如强强度校校核、、截面面选择择和许许可荷荷载的的计算算。实验表表明，，在静静荷载载作用用下，，材料料的扭扭转许许用切切应力力和许许用拉拉应力力之间间存在在着一一定的的关系系，例例如钢钢材有有，，铸铁铁有。。也也就是是说，，通常常可以以根据据材料料的许许用拉拉应力力来确确定其其许用用切应应力。。对于于像传传动轴轴之类类的构构件，，由于于作用用于其其上的的并非非静荷荷载，，而且且还要要考虑虑其他他因素素(如忽略略次要要影响响进行行简化化计算算)，故其其许用用切应应力的的值较较静荷荷载下下的要要略低低。3.5等直圆圆杆的的扭转转【例3.4】例题3.2中的传传动轴轴(图3.6(a))是空心心圆截截面轴轴，其其内、、外直直径之之比=0.6，材料料的许许用切切应力力，，试按按强度度条件件选择择轴的的直径径。解：例例题3.2中已经经求得得Tmax=8.02kN·m。将已已知数数据代代入式式(3.20)，可得得将上式式代入入式(3.22)，经整整理后后可得得空心心圆轴轴按强强度条条件所所需的的外直直径为为3.5等直圆圆杆的的扭转转图3.14例3.5图【例3.5】有一阶阶梯形形圆轴轴，如如图3.14(a)所示，，轴的的直径径分别别为d1=50mm，d2=80mm，扭转转力偶偶矩分分别为为Me1=0.8kN··m，Me2=1.2kN··m，Me3=2kN··m。若材材料的的许用用切应应力，，试校校核该该轴的的强度度。解：用用截面面法求求出圆圆轴各各段的的扭矩矩，并并做出出扭矩矩图，，如图图3.14(b)所示。。3.5等直圆圆杆的的扭转转由扭矩矩图可可见，，CD段和DB段的直直径相相同，，但DB段的扭扭矩大大于CD段，故故这两两段只只要校校核DB段的强强度即即可。。AC段的扭扭矩虽虽然也也小于于DB段，但但其直直径也也比DB段小，，故AC段的强强度也也需要要校核核。AC段DB段计算结结果表表明，，该轴轴满足足强度度要求求。3.5等直圆圆杆的的扭转转3.5.2斜截面面上的的应力力在圆杆杆的扭扭转实实验中中，可可以发发现这这样一一种现现象：：低碳碳钢试试件的的破坏坏是沿沿杆件件的横横截面面断开开的，，如图图3.15(a)所示；；而铸铸铁试试件的的破坏坏则是是沿着着与杆杆轴线线约成成45°°角的螺螺旋形形曲面面断开开的，，如图图3.15(b)所示。。为了了分析析这种种现象象的成成因，，有必必要研研究圆圆杆扭扭转时时斜截截面上上的应应力。。图3.15扭转破破坏(a)低碳钢钢的扭扭转破破坏；；(b)铸铁的的扭转转破坏坏(a)(b)3.5等直圆圆杆的的扭转转在3.4节中曾曾讨论论过，，纯剪剪应力力状态态下的的单元元体可可以采采用平平面图图表示示(图3.9(b))。现在在在此此单元元体内内任取取一垂垂直于于前后后平面面的斜斜截面面ef，其外外法线线n的方向向与x轴成角角，，如图图3.16(a)所示。。角角的的符号号规定定如下下：从从x轴方向向至外外法线线n为逆时时针方方向转转动时时取正正值，，顺时时针方方向转转动时时取负负值。。为求斜斜截面面ef上的应应力，，应用用截面面法，，假想想沿ef面截开开，对对其左左边部部分edf进行分分析，，如图图3.16(b)所示。。在fd、de面上作作用有有已知知切应应力和和，，ef面上作作用有有未知知的正正应力力和和切应应力。。选选取参参考坐坐标轴轴和，，分别别平行行和垂垂直于于ef面。设设ef面的面面积为为dA，则fd面和de面的面面积分分别为为dAcos和dAsin。由平平衡方方程和和分分别可可得3.5等直圆圆杆的的扭转转和(a)(b)图3.16斜截面面上的的应力力(a)纯剪应应力状状态下下任取取一斜斜面；；(b)斜截面面上的的应力力分析析(b)3.5等直圆杆的的扭转利用切应力力互等定理理，整理上上两式，即即可得到任任一斜截面面上的正应应力和切应应力的计算算公式和由式(b)可知，在=0°和=90°的截面(即单元体的的四个侧面面)上切应力达达到极值，，其大小均均为，，而在=±45°°的斜截面上上切应力则则为0。由式(a)可知，在=±45°°的斜截面上上正应力达达到极值，，有和(a)3.5等直圆杆的的扭转也就是说，，该两截面面上的正应应力分别为为中的的最大值和和最小值，，一为拉应应力，一为为压应力，，其绝对值值都等于，，如图图3.17所示。必须说明的的是，以上上结论并不不仅限于等等直圆杆扭扭转的情况况，而是在在纯剪应力力状态下的的普遍特点点。根据以上分分析，即可可解释不同同材料试件件在扭转实实验中出现现的不同结结果：低碳碳钢等塑性性材料的剪剪切强度低低于拉伸强强度，其试试件的扭转转破坏是最最大切应力力作用的结结果；铸铁铁等脆性材材料的拉伸伸强度低于于剪切强度度，其试件件的扭转破破坏是最大大拉应力作作用的结果果。图3.17正应力与切切应力的极极值3.5等直圆杆的的扭转对于用铸铁铁等脆性材材料制成的的杆件，本本应依据斜斜截面上的的最大拉应应力来建立立其强度条条件，但考考虑到斜截截面上的最最大拉应力力与横截面面上的最大大切应力之之间的固定定关系，故故工程上仍仍习惯采用用式(3.21)进行强度计计算。这在在形式上虽虽然模糊了了材料强度度破坏的实实质，但实实际上是一一样的。3.5等直圆杆的的扭转1.扭转变形等直圆杆的的扭转变形形是通过两两横截面的的相对扭转转角来来度量的。。将前面得得到的表表达式式(3.12)改写为3.5.3等直圆杆的的扭转变形形将上式沿杆杆轴线方向向积分，可可得(3.23)3.5等直圆杆的的扭转对于两端承承受一对外外力偶矩Me作用的等直直圆杆，其其任一横截截面上的扭扭矩T均等于Me。若圆杆为为同一材料料制成，则则G和Ip也为常量。。于是由上上式可得相相距l的两端面间间的相对扭扭转角为或的单位是弧弧度(rad)。上式中的的GIp称为等直圆圆杆的扭转刚度(torsionrigidity)，相对扭转转角反反比于扭转转刚度GIp。对于各段段扭矩不等等或横截面面不同的圆圆杆，杆两两端的相对对扭转角为为(3.26)(3.25)(3.24)3.5等直圆杆的的扭转在很多情况况下，由于于杆件的长长度不同，，有时各横横截面上的的扭矩也不不相同，此此时两端面面间的相对对扭转角无无法表表示出圆杆杆的扭转变变形的程度度。因此，，在工程中中通常采用用单位长度扭扭转角(torsionalangleperunitlength)来度量圆杆杆的扭转变变形。单位位长度扭转转角也就是是扭转角沿沿杆长度的的变化率，，用来来表示，其其定义为式中，的的单位是是rad/m。(3.27)3.5等直圆杆的的扭转【例3.6】一实心钢制制圆截面杆杆如图3.18所示。已知知MA=900N·m，MB=1700N·m，MC=800N·m，l1=400mm，l2=600mm，杆的直径径d1=80mm，d2=60mm，钢的切变变模量G=80GPa。试求截面面C相对于截面面A的扭转角图3.18例3.6图3.5等直圆杆的的扭转解：首先用用截面法求求出AB段和BC段的扭矩，，有由于AB段和BC段的扭矩不不同，其横横截面也不不同，故分分别计算截截面B相对于截面面A的扭转角截截面面C相对于截面面B的扭转角。。两两者的代数数和即为截截面C相对于截面面A的扭转角，，扭扭转角的转转向则取决决于扭矩的的转向。于于是有N·mN·m3.5等直圆杆的的扭转因此，截面面C相对于截面面A的扭转角为为其转向与MC相同3.5等直圆杆的的扭转2.刚度条件等直圆杆扭扭转时，除除了要满足足强度条件件外，有时时还需限制制它的扭转转变形，也也就是要满满足刚度条件(stiffnesscondition)。例如机床床主轴扭转转角过大会会影响机床床的加工精精度，机器器传动轴的的扭转角过过大会使机机器产生较较强的振动动。在工程程中，刚度度要求通常常是规定单单位长度扭扭转角的最最大值不不得超超过许用单单位长度扭扭转角，，即(3.28)在实际工程程中的的单位通通常采用°/m，其值根据据轴的工作作要求而定定。例如对对于精密机机器的轴，，其值值一般取取0.15°°/m～0.5°/m；对于一般般传动轴，，其值值一般取取0.5°/m～1.0°/m；至于精度度要求不高高的轴，其其值值则可放宽宽到2°/m左右。各类类轴的许用用单位长度度扭转角的的具具体数值可可参阅有关关的机械设设计手册。。3.5等直圆杆的的扭转必须注意的的是，依据据式(3.27)求得的值值的单单位是rad/m，故此应先先将其单位位换算为°/m，再代入式式(3.28)，即可得利用上式，，就可以对对实心(或空心)圆截面杆进进行刚度计计算，如刚刚度校核、、截面选择择和许可荷荷载的计算算。【例3.7】例题3.4中，材料的的切变模量量G=80GPa，许用单位位长度扭转转角=0.9°°/m。试选择轴轴的直径。。(3.29)3.5等直圆杆的的扭转解：在例题题3.4中按照强度度条件已求求得该空心心圆轴的外外直径不得得小于35mm，现在按照照刚度条件件来计算轴轴的外直径径。在例题3.2中已经求得得Tmax=8.02kNm。将已知数数据代入式式(3.19)，可得将上式代入入式(3.29)，即可得满满足刚度条条件所需的的外直径为为3.5等直圆杆的的扭转虽然空心圆圆轴的外直直径只要大大于35mm就能满足强强度条件，，但考虑到到刚度条件件的要求，，该圆轴的的外直径必必须不小于于93mm。【例3.8】例题3.5中，若材料料的切变模模量G=80GPa，许用单位位长度扭转转角=1°/m，试校核该该轴的刚度度。解：在例题题3.5中已进行了了强度校核核，计算结结果表明，，该轴满足足强度要求求。现在进进行刚度校校核。例题3.5中已求出圆圆轴各段的的扭矩，其其扭矩图如如图3.14(b)所示。由扭矩图可可见，CD段和DB段的直径相相同，但DB段的扭矩大大于CD段，故这两两段只要校校核DB段的刚度即即可。AC段的扭矩虽虽然也小于于DB段，但其直直径也比DB段小，故AC段的刚度也也需要校核核。AC段3.5等直圆杆的的扭转DB段计算结果表表明，该轴轴也满足刚刚度要求。。3.5等直圆杆的的扭转【例3.9】一两端固定定的圆截面面杆AB如图3.19(a)所示，在截截面C、D处分别作用用有扭转力力偶矩M1和M2。已知杆的的扭转刚度度为，，试求A、B两端的支反反力偶矩。。解：本题只只有一个独独立的静力力学平衡方方程，，但却却有两个未未知的支反反力偶MA和MB，故为扭转转的一次超静定问题题(staticallyindeterminateproblem)。对于扭转转超静定问问题，可综综合运用变变形的几何何相容条件件、力与变变形间的物物理关系和和静力学平平衡条件来来求解。解除固定端端B的多余约束束，加上相相应的未知知力偶MB，如图3.19(b)所示。从图图3.19(a)可以看出，，B作为固定端端，其扭转转角应为0。因此，可可得到变形形几何方程程为固定端B的扭转角可可看作是由由M1、M2和MB分别引起的的，故上式式可写为(a)3.5等直圆杆的的扭转当杆处于线线弹性范围围时，扭转转角与力偶偶矩间的物物理方程为为(b)(c)(d)3.5等直圆杆的的扭转将式(b)、式(c)和式(d)代入式(a)，即得补充充方程，并并由此得到到(e)最后由静力力学平衡方方程，有将式(e)代入式(f)，可得(f)3.6非圆截面等等直杆的自自由扭转图3.19例3.9图3.6非圆截面等等直杆的自自由扭转图3.20矩形截面杆的的自由扭转3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转非圆截面等直直杆的扭转可可分为自由扭转(freetorsion)和约束扭转(constrainedtorsion)。若杆件各横横截面可自由由翘曲时，称称为自由扭转转，也称纯扭转(puretorsion)，此时，杆件件任意两相邻邻横截面的翘翘曲情况将完完全相同，纵纵向纤维的长长度保持不变变，因此横截截面上只有切切应力而无正正应力。若杆杆件受到约束束而不能自由由翘曲时，称称为约束扭转转，此时各横横截面的翘曲曲情况各不相相同，将在横横截面上引起起附加的正应应力。对于一一般实心截面面杆，由约束束扭转引起的的正应力很小小，可忽略不不计；对于薄薄壁截面杆，，由约束扭转转引起的正应应力则不能忽忽略。本节将将简单介绍矩矩形截面杆和和薄壁截面杆杆的自由扭转转问题。3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转弹性力学的分分析结果表明明，矩形截面面杆在自由扭扭转时，其横横截面上的切切应力分布具具有以下特点点：(1)截面周边各点点处的切应力力方向必定与与周边相切，，且截面顶点点处的切应力力必定为0。此结论亦可可由切应力互互等定理推出出。(2)最大切应力发发生在长边的的中点处，而而短边中点处处的切应力则则为该边上切切应力的最大大值。如图3.21所示，最大切切应力、、单位长度度扭转角和和短边中中点处的切应应力可可根据以下公公式计算：(3.30a)(3.30b)(3.30c)3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转图3.21矩形截面杆扭扭转时的切应应力分布3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转式中，Wt称为扭转截面面系数，It称为截面的相相当极惯性矩矩(equivalentpolarmomentofanarea)，GIt则称为非圆截截面杆的扭转转刚度。Wt、It与圆截面的和和量量纲相同同，但在几何何意义上则完完全不同。矩矩形截面的Wt、It与截面尺寸之之间的关系为为(3.31a)(3.31b)系数、和与矩矩形截面的边边长比h/b有关，其值可可查表3-2。3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转表3-2矩形截面杆在在自由扭转时时的系数h/b1.01.21.52.02.53.04.05.06.08.010.0∞α0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2910.2990.3070.3130.333β0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2910.2990.3070.3130.3331.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.7430.7433.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转由上表可以看看出，对于h/b>10的狭长矩形截截面，有，，。。为了与与一般矩形相相区别，现以以表示狭狭长矩形的短短边长度。将将代代入式(3.31)，有(3.32a)(3.32b)将上式代入式式(3.30)，即可得狭长长矩形截面的的最大切应力力和单位长度度扭转角(3.33a)(3.33b)3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转狭长矩形截面面上的切应力力分布如图3.22所示，切应力力在沿长边各各点处的方向向均与长边相相切，其数值值除靠近两端端的部分外均均相等。图3.22狭长矩形截面面杆的扭转切切应力分布3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转【例3.10】一矩形截面等等直杆，其横横截面长边长长度为400mm，短边长度为为30mm，杆长2m，在杆两端承承受一对大小小为6kN·m的扭转力偶。。若材料的许许用切应力为为[τ]=60MPa，切变模量G=80GPa，许用单位长长度扭转角=1.5°/m，试校核该杆杆的强度和刚刚度。解：该杆横截截面的边长比比h/b=400/30>10，可看作狭长长截面矩形杆杆。将已知数数据代入式(3.33)，有计算结果表明明，该杆满足足强度条件和和刚度条件。。3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转3.6.2开口薄壁截面面杆在工程中，为为了减轻结构构自重，提高高材料的利用用率，常常会会采用一些薄薄壁截面的杆杆件。如果薄薄壁截面杆的的截面的壁厚厚中线是一条条不封闭的曲曲线或折线，，则称为开口薄壁截面面杆(thin-walledbarwithopencrosssection)，如图3.23所示的截面都都是开口薄壁壁截面。工程程上常用的各各类轧制型钢钢(如角钢、工字字钢、槽钢等等)的截面就可以以认为是开口口薄壁截面。。对于开口薄壁壁截面杆，其其横截面可以以看作是若干干狭长矩形的的组合截面。。在自由扭转转情况下，薄薄壁截面发生生转动，但薄薄壁截面在其其变形前的平平面内的投影影形状可以认认为是不变的的。因此，当当杆件扭转时时，截面的各各组成部分的的单位长度扭扭转角与整个个横截面的单单位长度扭转转角相相同，故变形形相容条件为为(i=1,2,……,n)(a)3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转式中是是截面第i个组成部分的的单位长度扭扭转角。再由由式(3.30b)，即可得补充充方程图3.23开口薄壁截面面(i=1,2,……,n)(b)式中，，分别别是截面第i个组成部分的的相当极惯性性矩和承受的的扭矩，则则是整整个截面的相相当极惯性矩矩和承受的扭扭矩。3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转此外，由静力力学关系，有有联立式(b)、式(c)，可求得(c)(d)由于截面的各各组成部分可可看作是狭长长矩形截面，，故可根据式式(3.32b)将上式改写为为式中的、、是第i个狭长矩形的的边长。根据据式(3.30a)、式(3.32b)和式(b)，可得任一狭狭长矩形截面面上的最大切切应力为(e)3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转由上式可知，，整个横截面面上的最大切切应力发生在在厚度最大的的狭长矩形的的长边中点处处，其值为(f)(3.34)对于中心线为为曲线的开口口薄壁截面杆杆，计算时可可展开截面，，将其作为一一狭长矩形截截面来处理。。3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转3.6.3闭口薄壁截面面杆图3.24箱形和环形薄薄壁截面在工程中还有有另外一类薄薄壁截面杆，，其横截面的的壁厚中线是是一条封闭的的曲线或折线线，称为闭口薄壁截面面杆(thin-walledbarwithclosedcrosssection)，如图3.24所示的箱形和和环形截面就就是闭口薄壁壁截面。例如如箱形截面梁梁在桥梁工程程中就得到了了广泛的使用用。3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转现在分析如图图3.25所示的壁厚可可变的闭口薄薄壁截面杆，，其两端作用用着一对扭转转外力偶。因因为壁厚很薄薄，故可假设设切应力沿壁壁厚均匀分布布，且其方向向与壁厚的中中线相切，如如图3.26(a)所示。图3.25闭口薄壁截面面杆的自由扭扭转3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转用相距dx的两个横截面面以及两个与与壁厚中线相相交的纵截面面从杆壁中切切取单元体abcd，设横截面上上b和c两点处的切应应力分别为和和，，而壁厚则分分别为和和，如图图3.26(b)所示。根据切切应力互等定定理可知，在在上、下两纵纵截面上的切切应力分别为为和。。由平衡方方程可可得得即因为两纵截面面是任意选取取的，故由上上式可知，横横截面上任意意位置处的切切应力与该处处壁厚的乘积积为一常数，，即3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转式中，r是矩心O到微元ds的垂直距离。。由图3.26(c)可知，rds为图中阴影三三角形面积的的两倍，故其其沿壁厚中线线长度s的积分等于该该中线所围面面积A的两倍。于是是可得称为剪力流。。从上式可以以看出，壁厚厚可变的闭口口薄壁截面杆杆在自由扭转转时，横截面面上的切应力力随着壁厚的的不同而发生生改变，壁厚厚最小处的切切应力最大。。现在来推导切切应力的的计算公式。。沿壁厚中线线取微段弧长长ds，在该段上的的内力元素为为，，其方向向与中线相切切，如图3.26(c)所示。由静力力学关系可知知，横截面上上的切应力对对横截面内任任一点O的力矩之和等等于横截面上上的扭矩T，即3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转可改写为(3.35)上式即为闭口口薄壁截面杆杆在自由扭转转时横截面上上任一点处切切应力的计算算公式。从上上面已经知道道，壁厚最小小处的切应力力最大，故可可得横截面上上的最大切应应力为(3.36)3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转(a)(b)(c)图3.26闭口薄壁截面面杆扭转时的的切应力分布布(a)切应力沿壁厚厚的分布；(b)微元段上切应应力分析；(c)切应力分析3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转闭口薄壁截面面杆的单位长长度扭转角可可根据能量原原理来求解：：应变能在数数值上等于外外力所做的功功(应变能的讨论论参阅第11章)，即将式(3.35)代入上式，即即可求得闭口口薄壁截面杆杆的单位长度度扭转角当壁厚相等(即为常数)时，则有(3.37)(3.38)式中，s为壁厚中线的的长度。3.6非圆截面等直直杆的自由扭扭转【例3.11】试比较开口薄薄壁圆管与闭闭口薄壁圆管管的最大切应应力和单位长长度扭转角，，设二者的材材料、长度、、直径d、壁厚以以及承受的扭扭