高等数学复习提纲同济大学下册

高等数学复习大纲一、考试题型1．填空题

6题2．计算题

8题二、知识点1．平面及其方程。例题：一平面过点(101)且平行于向量a(211)和b(110)试求这平面方程解所求平面的法线向量可取为ijknab211ij3k110所求平面的方程为(x1)(y0)3(z1)0即xy3z402．空间直线及其方程。例题：求过点(203)且与直线x2y4z70垂直的平面方程3x5y2z10解所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量即ijkn(1,2,4)(3,5,2)12416i14j11k352所平面的方程为16(x2)14(y0)11(z3)0即16x14y11z650例题：求过点(312)且经过直线x4y3z的平面方程521解所求平面的法线向量与直线x4y3z的方向向量s1(525211)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上因此所求平面的法线向量与向量s2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为ijkns1s25218i9j22k142所求平面的方程为8(x3)9(y1)22(z2)0即8x9y22z5903．旋转曲面。例题：将zOx坐标面上的抛物线z25x绕x轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的z换成y2z2得旋转曲面的方程y2z25x例题：将zOx坐标面上的圆x2z29绕z轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的x换成x2y2得旋转曲面的方程x2y2z29多元复合函数求导，隐函数求导。y例题：求函数zex的全微分解dzzdxzdyyxy1eyxdyxyx2edxx例题：设zu2lnv而uxv3x2y求zzyxy解zzuzvxuxvx2ulnv1u232xln(3x2y)3x2yvy2(3x2y)y22ulnv(x)u2(2)2x2ln(3x2y)2x2y2vy3(3x2y)y2x2y3dz例题：设ze而xsintyt求dt解dzzdxzdyx2ycostx2y(2)3t2dtxdtydteex2y(cost6t2sint2t36t2)e)e(cost例题：设sinyexxy20求dydx解令F(xy)sinyexxy2则Fxexy2Fycosy2xydyFxe2y2y2exdxFycosy2xycosy2xy例题：设lnx2y2arctany求dyxdx解令F(x,y)lnx2y2arctany则xFx12x1(y)xyx2y22x2y2yx2x2y21()2xFy12y11yxx2y22x2y21(y)2xx2y2xdyFxxydxFyxy5.重积分（直角坐标，极坐标）。例题：(x2y2)d其中D{(xy)||x|1|y|1}D解积分地域可表示为D1x11y1于是1(2x21)dx[2x32x]11813333例题：xcos(xy)d其中D是极点分别为(00)(0)和()的三角形闭地域D解积分地域可表示为D0x0yx于是x(1cos2xcosx)|00(1cos2xcosx)dx3222例题：利用极坐标计算以下各题2exyd，其中D是由圆周x2y24所围成的闭地域D解在极坐标下D{()|0202}因此22221(e41)(e41)ded002(3)arctanyd其中D是由圆周x2y24x2y21及直线y0yx所围成的第一象x限内的闭地域解在极坐标下D{(,)|0,12}因此44d2d4d2331d001645．求曲顶柱体体积。例题：求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积解由zx22y2y2消去z得x2+2y2=62x2y2即x2y2=2故立z62x2体在xOy面上的投影地域为x2y22因为积分地域关于x及y轴均对称并且被积函数关于xy都是偶函数因此1222x22(2x2)3dx6dx0(2x2y2)dy800例题：计算以xOy平面上圆域x2y2ax围成的闭地域为底而以曲面zx2y2为顶的曲顶柱体的体积解曲顶柱体在xOy面上的投影地域为D{(xy)|x2y2ax}在极坐标下D{(,)|2,0acos}因此2V(x2y2)dxdy2dacosda42cos4d3a42x2y2ax204232常数项级数的审敛法。例题：判断以下级数的收敛性(1)1112536(n1)(n4)1lim(n1)(n4)limn221解因为n1nn5n4n21而级数n1n2收敛故所给级数收敛(2)sin2sin22sin23sin2nsinnsinnlim2lim21解因为nn2n2n1而级数n12n收敛故所给级数收敛332333n(1)12222323n2nun3n解级数的一般项为n2n因为limun1lim3n1n2nlim3n31un(n1)2n13n2n12nnn因此级数发散n2n13n解因为limun1lim(n1)23nlim1(n1)211nunn3n1n2n3n3因此级数收敛2nn!n1nn解因为limun1lim2n1(n1)!nn2lim(n)n21un1nnenn(n1)2n!n1n因此级数收敛(3)ntan2n1n1解因为limun1lim(n1)tan2n2limn12n2nunnntann1nnn122

12因此级数收敛例题：判断以下级数可否收敛？若是是收敛的是绝对收敛还是条件收敛？(1)1111234解这是一个交叉级数(1)n1un(1)n11其中un1n1n1nn因为显然unun+1并且limun0因此此级数是收敛的n又因为|(1)n1un|1是p1的p级数是发散的n1n1n因此原级数是条件收敛的(2)(1)n1nn13n1解|(1)n1n|n3n1n1n1n13n11n因为lim3n1因此级数是收敛的nn3n13n13n1从而原级数收敛并且绝对收敛7．幂级数。例题：求以下幂级数的收敛域1xx2(1)nxn22n2lim|an1|lim1解(n1)2limn21故收敛半径为R1nann1n(n1)2n2因为当x1时幂级数成为(1)n1是收敛的当x1时n2n2幂级数成为11n1n2也是收敛的因此收敛域为[11]解这里级数的一般项为u(1)nx2n1n2n1因为lim|un1|lim|x2n32n1x2由比值审敛法当x21un2n3x2n1|nn即|x|1时幂级数绝对收敛当x21即|x|1时幂级数发散故收敛半径为R1因为当x1时幂级数成为n1(1)n11是收敛的当x12n时幂级数成为(1)n111也是收敛的因此收敛域为[1n12n1]8．函数张开成幂级数。例题：将以下函数张开成x的幂级数并求张开式成立的区间(1)sin2x解因为sin2x11cos2x22cosx(1)nx2n)n0(2n)!x(因此sin2x11(1)n(2x)2n(1)n22n1x2nx()22n0(2n)!n1(2n)!例题：将函数f(x)cosx张开成(x3)的幂级数解cosxcos[(x)]cos(x)cossin(x3)sin333331(1)n[1(x)2n3(x3)2n1](x)5例题：2n0(2n)!3(2n1)!将函数f(x)1张开成(x3)的幂级数x解11111nnx3n(1x31)x3x331x3(1)()3n0333即11n(1)n(x3)n(0x6)x3n03例题：将函数f(x)x21张开成(x4)的幂级数3x2解f(x)1113x2x1x2x2而11111(x4)n(|