2019全国卷Ⅱ文 数学

2019年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学本试题卷共5页。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2•选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。232A.-232A.-B.-C.一355在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高，乙：丙的成绩比我和甲的都高，丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.那么三人按成绩由高到低的次5．项是符合题目要求的。1.设集合A={x1x>-1},,B={x1x<-}，则APB=A.(-1,-8)B.(-8,2)C.(—1,2)D.，02.设z=i(-+i),则z=A.1+-iB.-1+-iC.1-2iD.-1-2i3.已知向量a=(-,3)，b=(3,2)，则1a—b1=A•込B.2C.5・-D.504.生物实验室有5只免子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只免子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一D-1序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙6.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=ex-1,则当x<0时，f(x)=A.e-x—1B.e-x+1C.—e-x—1D.—e-x+17•设a,B为两个平面•贝I」a||B的充要条件是A.a内有无数条直线与B平行B.a内有两条相交直线与B平行

C.a,B平行于同一条直线D.a,BC.a,B平行于同一条直线D.a,B垂于同一平面.■冗3冗___•若x=,x=是函数f(x)=sin①x(®>0)两个相邻的极值点，则①=1424A•2B•3C•1D•122•若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆竺+圧=1的一个焦点，则p=3ppC•4C．1A．2B．3D．8•曲线y=2sinx+cosx在点(兀,-1)处的切线方程分为A•x—y—兀—1=0B.2x—y—2兀—1=0C•2x+y—2兀+1=0D.x+y—兀+1=0兀.已知ae(0,-)，2sin2a=cos2a+1,则sina=2TOC\o"1-5"\h\zA.1B.卫C.亘D.埜553511•设F为双曲线乂—兰=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与a2b2圆x2+y2=a2教育P,Q两点.若IPQ1=1OFI，则C的离心率为A•'込B•\：3C•2D•二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2x+3y—6三0,•若变量x,y满足约束条件<x+y-3W0,则z=3x—y的最大值是•、y—2W0,•我国高铁发展迅逃，技术先进•经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99•则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为••△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c•已知bsinA+acosB=0，则B=••中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代装之〜，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)•半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体•半正多面体体现了数学的对称美•图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1•则该半正多面体共有―______个面，其棱长为.(本题第一空2分，第二空3分.)图1图图1图2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(―)必考题：共60分。.(12分)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE1EC1.(1)证明：BE丄平面EB1C1；(2)若AE=AE,AB=3，求四棱锥E-BBCC的正弦值.111.(12分)已知｛a｝是各项均为正数的等比数列，a=2,a=2a+16.n132(1)求｛a｝的通项公式；n(2)设b=loga，求数列｛b｝的前n项和.n2nn(12分)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率尹的频数分布表.y的分组[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企业数22453147(1分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附：、、：74二8.602.20.(12分)已知点F,F是椭圆C:竺+兰=1(a>b>0)的两个焦点，尸为C上的点为坐12a2b2标原点.(1)若公POF为等边三角形，求C的离心率；2(2)如果存在点P，使得PF丄PF，且△FPF的面积等于16,求b的值和a的取值1212范围.21．(12分)已知函数f(x)=(x-l)lnx-x-1.证明：(1)夬朗存在唯一的极值点；(2)f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．［选修4－4：坐标系与参数方程］(10分)极坐标系中Q为极点，点M(p,0)(p>0)在曲线C:p=4sin0上，直线l过点A(4,0)000且与OM垂直，垂足为P.(1)当0=-时，求p及l的极坐标方程；030(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23.［选修4－5：不等式选讲］(10分)已知f(x)=1x-aIx+1x-21(x-a).(1)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若xe(—®1)时，f(x)<0，求a的取值范围.文科数学试题参考答案―、选择题1.C2.D3.A4.B5.A6.D7.B8.A9.D10.C11.B12.A二、填空题13.914.0.9815.迹416.26,<2—1三、解答题17.(12分)(1)由已知得B1C1丄平面ABB1A1,BEu平面ABB^,故BC丄BE.11又BE丄EC，所以BE丄平面EBC.111(2)由(1)知ZBEB1=90°.由题设知RtAABE^RtAA,B,E，所以ZAEB=ZAEB=45。，1111故AE=AB=3，AA=2AE=6.1作EF丄BB，垂足为F,则EF丄平面BBCC，且EF=AB=3111_1所以，四棱锥E—BBCC的体积V=_x3x6x3=18.11318.(12分)(1)设｛a｝的公比为q,由题设得n2q2=4q+16，即q2一2q一8=0.解得q=-2(舍去)或q=4.因此｛a｝的通项公式为a=2x4n—1=22n—1・nn(2)由(1)得b=(2n—1)log2=2n—1，n2因此数列｛b｝的前n项和为1+3+•••+2n—1=n.n.(12分)(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企14+7业频率为14+7=0.21.1002产值负增长的企业频率为丄=0.02.100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.1(2)y=而(-0.10x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7)=0.30，s2=—£n(y—y»100iii=1=盅［(—0.40)2x2+(—0.20)2x24+02x53+0.202x14+0.402x7=0.0296，s=\0.0296=0.02八74〜0.17,所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.20．(12分)(1)连结PF，由APOF为等边三角形可知在'FPF中，ZFPF=90°，\PF|=c，121212|PF|八3c，于是2a=|PF|+|PF|=(再+1)c，故C的离心率是e=匕=石—1.112a(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当*1yI-2c=16，c|y|=16,X2+y2=c2，TOC\o"1-5"\h\zx2y21一+=1，a2b2由②③及a2=b2+c2得y2=—，又由①知y2=16-，故b=4.c2c2由②③得x2=—(c2—b2),所以c2三b2，从而a2=b2+c2三2b2=32,故a三4\'2.c2当b=4，a24込时，存在满足条件的点P.所以b=4，a的取值范围为［4、运,+8).21．(12分)(1)f(x)的定义域为(0，+8).x一11f'(x)=+lnx一1=lnx一.xx因为y=lnx单调递增，y=1单调递减，所以f'(x)单调递增，又f'(1)=—1<0，x广(2)=ln2—1=^^上1>0，故存在唯一xe(1,2)，使得广(x)=0.2200又当x<x时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>x时，f'(x)>0，f(x)单调递增.00因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x)<f(1)=—2，又f(e2)=e2—3>0，所以f(x)=0在(x,+8)内存在00唯一根x=a.1由a>x>1得<1<x.TOC\o"1-5"\h\z0a0又f()=(丄一1)ln一一1==0，故丄是f(x)=0在(0,x)的唯一根.aaaaaa综上，f(x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.22．(10分)(1)因为M(p,0)在C上，当0=时，p=4sin=2\3.000303兀由已知得IOPI=IOAIcos-=2.3设Q(P,0)为l上除P的任意一点•在RtAOPQ中pcos(0-3)=1OP1=2,经检验，点P(2,|)在曲线pcos(0-|)=2上•所以，l的极坐标方程为pcos(0-|)=2.(2)设P(p,0)，在RtAOAP中,IOP1=1OAIcosO=4cos0,即p=4cos0..因为P在线段OM上，且AP丄OM