线性代数定义在mn矩阵中任取行列kmkn

§21定义：m×nAkk列(k≤m，k≤n)，k2A中所处kAk阶子式显然，m×nAk

CkCk 概念辨析：k阶子式、矩阵的子块、式、代数 2

a14aa aa

a24a34与元素a12相对应 矩阵A的一个2阶子

式

A2 (1)12

a13

23 3PAGEPAGE5定义：ArD，且所有r+1阶子式（如果存在的话）D称为矩阵A的最高阶非零子式r称为A的秩规定：A

a14 24aa

a34

矩阵A2阶子

A23定义：ArD，且所有r+1阶子式（如果存在的话）D称为矩阵A的最高阶非零子式r称为A的秩规定：根据行列式按行（列）A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表Ar+1rr+1阶的子式（如果存在的话）AA6PAGEPAGE9AAAsR(As；AtR(A)<t．An阶矩阵，则An阶子式只有一个，即|A|当|A|≠0R(An当|A|=0R(A)<n;Am×n0≤R(A)≤min(mnR(AT)=R(A)

a31

A

AT

32

24

a33

34

34矩阵A的一个2阶子 矩阵AT的一个2阶子DTATAR(ATR(A例：AB 3

2

5A 5

B 1

3 0 解：A中，2

2 A3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0R(A2例：AB 3

A 5 B 1

解（续）：B343 24

0R(B3它3它3例：AB 3

2

5A 5

B 1

3 0解（续）：B3203220010350150040000205020503601564 例：求矩阵A的秩，其中A 分析：A中，2

0120 C A的3阶子式共 C 要从40定理：A~BR(AR(BABR(A)≤R(B BAR(B)≤R(A)，于是R(A)=R(B)．A经过初等列变换B，AT经过初等行变换BTR(ATR(BTR(AR(AT，R(BR(BT)R(AR(B1AB，则R(A)≤R(BR(ArArD0当

B

A~BBDrD1由于D1DD1－DD1kDD10R(B)≥r当

~

B

A

Bri

,

,r1

,rr

13323a33 a 433

4

a

a23

a43 33DD1aaD17 a13a23aaa4333rk

31A 1

a ~

kkDaa1D1AB，则R(A)≤R(BDr1DBrR(BrDr1BDrD1r1 D1

k

Dr1 D1r

rp

kr

D

若p2D20，DD1≠0R(Br若p≠2D1－kD2D≠0k都成立，所以D1、D2不同时等于零，BrD1D2，R(Br，即R(A)≤R(B)．定理：A~BR(AR(B205020503601564

A

A

3个非零行，故R(A3

,A

1A

1

4 0 5 A ~ 5

1 R(A03A03 A00 1 0例：

A

A 3 6 BA,b)分析：BB形矩阵为BAb)AA中同时看出R(A)R(B解：B

R(A)=R(B)= ①Am×n0≤R(A)≤min(mn R(AT)=R(A)③A~BR(AR(B④P、QR(PAQR(B max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)BbR(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1 R(A＋B)≤R(A)＋R(B) R(AB)≤min{R(A),R(B)}⑧Am×nBn×l=OR(A)＋R(B)≤n例：AnR(A＋E)＋R(A－E)≥n例：Am×nBn×lCR(An，则R(B)R(C．矩阵COABOABO例：AnR(A＋E)＋R(A－E)≥n证明：(A＋E)(E－A由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(BR(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)=n又因为R(E－AR(A－E)R(A＋E)＋R(A－E)≥n例：Am×nBn×lCR(An，则R(B)R(C解：R(AnA

EnO nmP

PA

EnO n

于是

EnBB

O O R(C)=R(PC)，而R(B

RBOO

，故R(B)R(C12112111100100000r

400300

401 301

行最简形矩阵 3 0

例：Am×nBn×lCR(An，则R(B)R(C分析：R(AnAn1An1 0 00