高中数学幂函数指数函数与对数函数(经典练习题)

高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)23/23高中数学幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)高中数学-幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)高中数学精英讲解幂函数、指数函数、对数函数【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一：幂函数例1、比较大小例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，则m=A．0B．1C．2D．3解析：函数在

(0，＋∞)上是减函数，则有

，又

，故为偶函数，故

m为1．例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)谈论的奇偶性．∵幂函数在区间∴．又

上是减函数，∴是偶数，∴

，∴

，解得．

，∵

，(2)，．当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．例4、下面六个幂函数的图象以下列图，试建立函数与图象之间的对应关系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).变式训练：1、以下函数是幂函数的是（）A．y=2xB．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y=2、以下说法正确的选项是（）A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数3、以下函数中，定义域为R的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=x－14、函数的图象是（）A．B．C．D．5、以下函数中，不是偶函数的是（）A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－16、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（）A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)7、若y=f(x)是奇函数，则以下坐标表示的点必然在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))8、已知，则以下正确的选项是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）A．－2B．－1C．0D．110、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（）A．B．(0，1)C．D．11、若幂函数的图象过点，则_____________．12、函数的定义域是_____________．13、若，则实数a的取值范围是_____________．14、是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．DACADABACD9、，函数为偶函数，则有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2ax，所以有a=0．10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递加，则当x<－1时，f(x)<0，当－1<x<0时，f(x)>0，又f(1)=－f(－1)=0，故当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0．则满足f(x)>0的．11、解析：点代入得，所以．12、解：13、解析：，解得．14、解：则有，又为偶函数，代入考据可得整数a的值是5．考点二：指数函数例1、若函数y=ax＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（）A.a>1B.a>1且m<0C.0<a<1且m>0D.0<a<1例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．例3、若关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围．例4、已知函数．(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域．例5、若是函数（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必定将y=ax向下搬动．而当0<a<1时，图像向下搬动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有当a>1时，图像向下搬动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下搬动不高出一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下搬动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必定向下平移高出一个单位，故m－1<－1，∴m<0．应选B．答案：B例2、解析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分.依照指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．解答：令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]．小结：当遇到y=f(ax)类的函数时，用换元的思想将问题转变成较简单的函数来办理，再结合指数函数的性质获取原问题的解．例3、解析：求参数的取值范围题，要点在于由题设条件得出关于参数的不等式．解答：因为方程有负实数根，即x＜0，所以，解此不等式，所求a的取值范围是例4、解析：关于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；关于(2)，可用反解法求得函数的值域．解答：(1)，设x1＜x2，则．因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋10,＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数．(2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．例5、解析：考虑换元法，经过换元将函数化成简单形式来求值域．解：设t=ax>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．若a>1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈，∴当t=a时，ymax=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5(舍去)．若0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=ax∈．∴当时，．解得（舍去）．∴所求的a值为3或．变式训练：1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．2、函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数3、函数的值域是（）A．B．C．D．4、已知,则函数的图像必然不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、函数的定义域为（）A．B．C．D．6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（）A．B．C．D．7、函数的单调递加区间是（）A．B．C．D．8、已知，则以下正确的选项是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10、以下说法中，正确的选项是（）①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有；③是增函数；④的最小值为1；⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤11、若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围__.12、函数的定义域是______________．13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=ax－2＋1的图象恒过定点________．14、函数y=的递加区间是___________.15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=( )x－1－4( )x＋2的最大值和最小值．16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．17、设a是实数，．(1)试证明关于a取任意实数，f(x)为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒建立．18、已知f(x)＝（a>0且）．1）求f(x)的定义域、值域．（2）谈论f(x)的奇偶性．（3）谈论f(x)的单调性．答案及提示：1-10DADADDDACB1、可得0<a2－1<1，解得.2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<－1.4、经过图像即可判断.5、.6、由，由，综合得x>1或x<－1.7、即为函数的单调减区间，由，可得，又，则函数在上为减函数，故所求区间为.8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数.9、可得.10、①中当x=0时，两式相等，②式也相同，③式当x增大，y减小，故为减函数．11、0＜a＜提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．13、(2,2)提示：当x=2时，y=a0＋1=2．14、(－∞，1]提示：∵y=( )x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区间是(－∞，1］，∴原函数的递加区间是(－∞，1］．15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2，令( )x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.16、解法一：设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转变成方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．17、(1)设，即f(x1)＜f(x2)，所以关于a取任意实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(－x)=f(x)．18、解：（1）定义域为R．．．∴值域为（－1，1）．（2），∴f(x)为奇函数．（3）设，则当a>1时，由，得，，∴当a>1时，f(x)在R上为增函数．同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数．考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.例3、已知的最大值和最小值以及相应的x值.例4、已知

f(x)=log

a(ax－1)（a＞0，a≠1）.（1）求f(x)的定义域；（2）谈论f(x)的单调性；（3）求函数

y=f(2x)与

y=f－1(x)的图象交点的横坐标

.例

1

解：由－x2＋2x＋3＞0

，得

x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，

定义域为

(

－1，3)；又令

g(x)=

－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当

x∈(－1，3)

时，

0＜g(x)

≤4.∴f(x)≥=－2，即函数f(x)的值域为[－2，＋∞）；g(x)=－(x－1)2＋4的对称轴为x=1.∴当－1＜x≤1时，g(x)为增函数，∴当1≤x＜3时，g(x)为减函数，∴f(x)

为增函数．

为减函数

.即f(x)在（－1，1]上为减函数；在[1，3）上为增函数．例2、解析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转变成g(x)＞0恒建立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B（0，＋∞），经过对a的谈论即可．解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴g(x)＞0恒建立．∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）.若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.若a＞0，则△=4－4a≥0，∴a≤1.综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.例3、解析：题中条件给出了后边函数的自变量的取值范围，而依照对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再依照二次函数在闭区间上的最值问题来求解.解答：当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.∴当x=2时，y有最小值－.当x=8时，y有最大值2.例4、解析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在谈论定义域，谈论单调性时应注意对底数a进行谈论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解．解答：（1）ax－1＞0得ax＞1.∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞），当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）.（2）令g(x)=ax－1，则当a＞1时，g(x)=ax－1在（0，＋∞）上是增函数.即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=logax在（0，＋∞）上是增函数，∴logag(x1)＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)=loga(ax－1)在（0，＋∞）上是增函数；当0＜a＜1时，g(x)=ax－1在(－∞,0)上是减函数.即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．而y=logax在（0，＋∞）上是减函数，∴logag(x1)＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)．f(x)=loga(ax－1)在（－∞，0）上是增函数.综上所述，f(x)在定义域上是增函数．（3）∵f(2x)=log2x－1)，令y=f(x)=logx－1)，(aa(aa则ax－1=ay，∴ax=ay＋1，∴x=loga(ay＋1)(y∈R)．f－1(x)=loga(ax＋1)（x∈R）．由f(2x)=f－1a2x－1)=logax＋1)．(x)，得log(a(aa2x－1=ax＋1，即(ax)2－ax－2=0.ax=2或ax=－1（舍）．x=loga2.即y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标为x=loga2．变式训练：一、选择题1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=logax的图象是（）A．B．C．D．2、将y=2x的图象（），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象．A．先向左平行搬动1个单位B．先向右平行搬动1个单位C．先向上平行搬动1个单位D．先向下平行搬动1个单位3、函数的定义域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2]4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（）A．10x＋3＋1B．10x－3－1C．10x＋3－1D．10x－3＋15、函数的递加区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）6、已知f(x)=|logx|，其中0<a<1，则以下各式中正确的选项是（）aA．B．C．D．7、是（）A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，则以下不等式中正确的选项是（）A．B．C．D．9、函数f(x)的图象以下列图，则y=logf(x)的图象表示图为（）A．B．C．D．10、关于x的方程（a＞0，a≠1），则（）A．仅当a＞1时有唯一解B．仅当0＜a＜1时有唯一解C．必有唯一解D．必无解二、填空题11、函数的单调递加区间是___________.12、函数在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是___________.13、若关于x的方程最少有一个实数根，则a的取值范围是___________.14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范围.15、设函数f(x)=x222a)=b(a>0且a≠1)，－x＋b，已知logf(a)=2，且f(log(1)求a，b的值；(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围．16、已知函数f(x)=loga(x－3a)（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点.1）写出y=g(x)的解析式；2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围.答案及提示：1-10DDDDABBBCC1、当a>1时，y=logax是单调递加函数，是单调递减函数，比较图象可知D正确.∴应选D.2、解法1：与函数y=log(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图2象，为了获取它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D.3、由≥0，得0<x－1≤1，∴1<x≤2.5、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选A.6、不如取，可得选项B正确．7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.8、由ab>1，知，故且，故答案选B.10、当a＞1时，0＜＜1，