初中数学联赛专题讲座-几何(排班)

初中数学联赛专题讲座—几何(排班)初中数学联赛专题讲座—几何(排班)初中数学联赛专题讲座—几何(排班)初中数学联赛专题讲座几何A1、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，假定AB=6，BC=5，EF=3，那么线段BE的长为〔〕FE〔A〕18〔B〕4〔C〕21〔D〕24555BDC2、在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角均分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，那么〔〕〔A〕BM>CN〔B〕BM=CN〔C〕BM<CN〔D〕BM和CN的N大小关系不确立ADO3、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，BC且AM=5，∠MAN=135°，那么四边形AMCN的面积为。MAE4、如图，圆O与圆D订交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在C圆O上，且AB=BC。ODB

1〕证明：点O在圆D的圆周上；2〕设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。A5、锐角△ABC的极点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，E那么∠A的度数是〔〕O〔A〕30°.〔B〕45°.〔C〕60°.〔D〕75°.HBDC6、设K是△ABC内随意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F，那么S△DEF:S△ABC的值为〔〕〔A〕1.〔B〕2.〔C〕4.〔D〕2.9993.7、已知直角梯形ABCD的四条边长分别为FMABAB2,BCCD10,AD6，过B、D两点作圆,与BA的延伸线交E于点E，与CB的延伸线交于点F，那么BEBF的值为____4_____.NGCD8、如图，四边形ABCD是梯形，点点，CE的延伸线与BA的延伸线交于点F行线交CD的延伸线于点M，BM与AD证明：∠AFN=∠DME.

E是上底边AD上一，过点E作BA的平交于点N.9、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，DP交AC于点Q．假定QPQO，那么QC的值为〔〕QA〔〕231〔〕〔〕32〔〕32AB23CD10、如图，面积为abc的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，此中a，b，c是整数，且b不可以被任何质数的平方整除，那么ac的值等于.b11、△ABC中，B是锐角．从极点A向BC边或其延伸线作垂线，垂足为D；从极点C向AB边或其延伸线作垂线，垂足为E．当2BD和2BE均为正整数时，△ABC是什BCAB么三角形？并证明你的结论．12、如图，锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线订交于点X，连接AX．求证：AMAX

cosBAC．13、圆内接四条边长按序为5、10、11、14；那么这个四边形的面积为( )。

14A、B、C、90D、10251110180-14、图中的三块暗影局部由两个半径为1的圆及其外公切线切割而成，假如中间一块暗影的面积等于上下两块面积之和，那么这两圆的公共弦长是( )。A、5B、6C、125－π2D、1－π222221615、锐角三角形ABC的三个内角A、B、C知足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，那么a的最大值为＿＿＿。16、锐角ABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，CA的延伸线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延伸线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线订交于一点。17、一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，此中a>b，假定两个三角形的最小内角相等，那么a的值等于〔〕b31513252(A)(B)(C)(D)222218、如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的极点称为格点，那么以格点为极点的等腰直角三角形的个数为〔〕(A)24(B)38(C)46(D)50DClEPMFQNADGPHBABC19、如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延伸AP交BC于点N，那么BN=.NC20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直均分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。求证：EP=FQ21、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD1．假定在边上取一点，使四边形DECBAB3ACE的面积为3，那么CE的值为〔〕DC4EAA.1B.1C.1D.1234522、如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．假定AB=4，EBEDE〕AB=5，那么的长为〔ABC15D16B'.3.4.4.5C23、如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的均分线．假定EABDAA'BB'AB，那么∠BAC的度数为_____________．24、在△ABC中，D为AB的中点，分别延伸CA，CB到点E，F，使DEDF；过E，F分别作CA，CB的垂线，订交于P．设A'=线段PA，PB的中点分别为M，N．求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．25、直角三角形ＡBC的面积为120，且∠BAC=90o，AD是斜边上的中线，过D作DE⊥AB于E，连CE交AD于F，那么△AFE的面积为〔〕(A)18(B)20(C)22(D)2426、圆O1与O2圆外切于点A，两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B，假定AB与两圆的另一条外公切线平行，那么圆O1与圆O2的半径之比为〔〕(A)2：5(B)1：2(C)1：3(D)2：3AP'O1AO2RBQ27、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r，那么捆BPC扎这7根筷子一周的绳索和长度为28、如图，等腰三角形ABC中，P为底边BC上随意点，过P作两腰的平行线分别与AB，AC订交于Q，R两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC的外接圆上。29、在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，那么AC的长为〔〕〔A〕23〔B〕23〔C〕03〔D〕3230、如图，在△ABC中，D是边AC上的一点，下边四种状况中，△ABD∽△ACB不必定建立的状况是〔〕〔A〕ADBCABBD〔B〕AB2ADAC〔C〕∠ABD∠ACB〔D〕ABBCACBD=31、半径分别为1和2的两个圆外切于点P，那么点P到两圆外公切线的距离为。32、如图，D，E是△ABC边BC上的两点，F是BC延伸线上的一点，∠DAE∠CAF。〔〕判AEC的外接圆的地点关系，并证明你的结论；〔=1断△ABD的外接圆与△〕假定△ABD的外接圆BC，AB，求BE的长。2的半径的2倍，=6=4FABDEC33、一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，那么此梯形的面积等于〔〕。〔A〕4；〔B〕6；〔C〕；〔D〕。34、ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延伸AB和DC，它们订交于P且BP＝8，∠APD＝60°，那么R等于〔〕。〔A〕10；〔B〕；〔C〕；〔D〕14。35、EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ，且∠BEG与∠CFH都是锐角。EG＝，FH＝，四边形EFGH的面积为。〔1〕求证：；〔2〕试用表示正方形ABCD的面积。初中数学联赛专题讲座几何一、比赛大纲领求:1．三角形中的边角之间的不等关系。2．面积及等积变换。3．三角形的心〔心里、外心、垂心、重心〕及其性质。4．相像形的观点和性质。5．圆，四点共圆，圆幂定理。6．四种命题及其关系。二、历届联赛几何试题状况剖析：2021年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2007年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。

A2006年，选择题1个，填空题1个，解答题2个。2005年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2004年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。

F

E2003年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2002年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2001年，选择题2个，填空题1个，解答题1个。2000年，选择题2个，填空题0个，解答题1个。

BDC三、例题剖析(08)如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，假定AB=6，BC=5，EF=3，那么线段BE的长为〔〕〔A〕18〔B〕4〔C〕21〔D〕24555【解】因为AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，于是△AEF∽△ABC，故AF=EF=3，即cos∠BAC=3，所以sin∠BAC=4。ACBC555Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6×4=24；55(08)在△ABC中，∠ABC=12°，∠ACB=132°，BM和CN分别是这两个角的外角均分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，那么〔〕A〕BM>CN〔B〕BM=CN〔C〕BM<CN〔D〕BM和CN的大小关系不确立【解】∵∠ABC=12°，BM为∠ABC的外角均分线，∴∠MBC=1(180°N2–12°)=84°，AD又∠BCM=180°–∠ACB=180°–132°=48°，∴∠BCM=180°O–84°–48°=48°，∴BM=BC，又∠ACN=1(180°–∠ACB)BC2M1(180°–132°)=24°，∴∠BNC=180°–∠ABC–∠BCN=180°–12°–(∠ACB+∠CAN)212°=∠ABC，∴CN=CB，所以，BM=BC=CN；(08)如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM=5，∠MAN=135°，那么四边形AMCN的面积为。【解】设BD中点为O，连AO，那么AO⊥BD，AO=OB=2，MO=AM2AO2=32，22∴MB=MO–OB=2。又∠ABM=∠NDA=135°，NAD=∠MAN–∠DAB–∠MAB=135°–90°–∠MAB=45°–∠MAB=∠AMB，所以△ADN∽△MBA，故AD=DN，进而DN=AD?BA=1×1=2，依据对称性可知，MBBAMB22四边形AMCN的面积S=2S=2×1×MN×AO=2×1×(2+2+2)×2=5；△MAN22222如图，圆O与圆D订交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB=BC。〔1〕证明：点O在圆D的圆周上；〔2〕设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值。AEC【解】〔1〕连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，AB=BC，所以△OBA∽DO△OBC，进而∠OBA=∠OBC，因为OD⊥AB，DB⊥BC，所以∠DOB=90°–∠OBAB90°–∠OBC=∠DBO，所以DB=DO，所以点O在圆D的圆周上；〔2〕设圆O的半径为a，BO的延伸线交AC于点E，易知BE⊥AC。设AC=2y〔0<y≤a〕，OE=x，AB=l，那么a2=x2+y2，S=y(a+x)，l2=y2+(a+x)2=y2+a2+2ax+x2=2a2+2ax=2a(a+x)=2aS。y因为∠ABC=2∠OBA=2∠OAB=∠BDO，AB=BC，DB=DO，所以△BDO∽△ABC，所以BD=BO，即r=a，故r=al，所以r2=a2l2=a2?2aS=S?(a)3≥S，即r≥2S，其ABACl2y2y4y24y2y2y22中等号当a=y时建立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值2S。A为E2锐角△ABC的极点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，OH(07)那么∠BCA的度数是〔〕D〔A〕30°.〔B〕45°.〔C〕60°.〔D〕75°.【解】锐角△ABC的垂心在三角形内部，如图，设△ABC的外心为O，D为BC的中点，BO的延伸线交⊙O于点E，连CE、AE，那么CE//AH，AE//CH，那么OBAHCE2OD，所以∠OBD＝30°，∠BOD＝60°，所以∠A＝∠BOD＝60°.应选〔C〕.(07)设K是△ABC内随意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F，那么S△DEF:S△ABC的值为〔〕〔A〕1.〔B〕2.〔C〕4.〔D〕2.9993【解】分别延伸KD、KE、KF，与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P，因为D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心，易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点，所以S△MNP1S△ABC.4易证△DEF∽△MNP，且相像比为2:3，所以S△DEF(2)2S△MNP41S△ABC1S△ABC.13949所以△:△.应选〔A〕.SDEFSABC9(07)直角梯形ABCD的四条边长分别为AB2,BCCD10,AD6，过B、D两点作圆,与BA的延伸线交于点E，与CB的延伸线交于点F，那么BEBF的值为____4_____.【解】延伸CD交⊙O于点G，设BE,DG的中点分别为点M,N知AMDN.因为BCCD10，由割线定理，易证BFDG

，那么易，所以

FEMABBEBFBEDG2(BMDN)2(BMAM)2AB4.NCGD(07)如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延伸线与BA的延伸线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延伸线于点M，BM与AD交于点N.证明：∠AFN=∠DME.【解】设MN与EF交于点P，∵NE//BC，∴△PNE∽△PBC，∴PNPE,PBPC∴PBPEPNPC.又∵ME//BF，∴△PME∽△PBF，∴PMPE,PBPF∴PBPEPMPF.∴PNPCPMPF,故PMPCFPN=∠MPE，∴△PNF∽△PMC，∴∠PNF＝∠PN又∠PFPMC，∴NF//MC∴∠ANF＝∠EDM.又∵ME//BF，∴∠FAN＝∠MED.∴∠ANF＋∠FAN＝∠EDM＋∠MED，∴∠AFN=∠DME.〔06〕如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，DP交AC于点Q．假定QPQO，那么QC的值为〔〕QAA231B23C2D〔〕〔〕〔〕3〔〕32O的半径为r，QOm，那么QPm，QCr【解】如图，设⊙m，QArm．QAQCQPQD．在⊙O中，依据订交弦定理，得即(rm)(rm)mQD，所以QDr2m2．〔第5题答案图〕mQD2DO2QO2，连接DO，由勾股定理，得r2m22即r2m2，m解得m3r．3所以，QCrm3132．应选D．QArm31(06)如图，面积为abc的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，此中a，b，c是整数，且b不可以被任何质数的平方整除，那么ac的值等于.b4【解】设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，那么m2．由△ADG∽△ABC，可3得x3mx2，m3m2解得x(233)m．于是x2(233)2m228348，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以ac20.b3(06)△ABC中，B是锐角．从极点A向BC边或其延伸线作垂线，垂足为D；从极点C向AB边或其延伸线作垂线，垂足为E．当2BD和2BE均为正整数时，△ABC是什么三角形？并证明你的结BCAB论．【解】设2BD,2BEn，m,n均为正整数，那么BCmABmn4BDBE4cos2B4，＝1，2，3．ABBC所以，mn〔1〕当＝1时，cosB1B60，此时mn1．所以AD垂直均分BC，CE垂直均分2AB，于是△ABC是等边三角形．〔2〕当＝2时，cosB2B45，此时m1,n2，或m2,n1，所以点E与点A2重合，或点D与点C重合．故BAC90，或BCA90，于是△ABC是等腰直角三角形．〔3〕mn＝3时，cosB3，B30，此时m1,n3，或2m3,n1．于是AD垂直均分BC，或CE垂直均分AB．故ACB30，或BAC30，于是△ABC是顶角为120的等腰三角形．如图，锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线订交于点X，连接AX．求证：AMBAC．cos【解】设AX与⊙O订交于点A1，连接OB，OC，OA1AX．又M为BC的中点，所以，连接，它过点．OXM因为OBBX,OXBC，所以XB2XMXO．①又由切割线定理得XB2XA1XA．②由①，②得XMXA1，于是△XMA∽△XAO1，XAXO所以AMOA1OBAXOX．OX又BOC2BAC，所以BOXBAC，于是AMOBAXOX

cosBAC．、圆内接四条边长按序为5、10、11、14；那么这个四边形的面积为( )。A、B、C、90D、102【解】由题意得：1452＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)5221－140cosα＝221＋220cosα∴cosα＝0∴α＝90°11∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90∴选C10180-、图中的三块暗影局部由两个半径为1的圆及其外公切线切割而成，假如中间一块暗影的面积等于上下两块面积之和，那么这两圆的公共弦长是( )。A、5B、6C、12D、12222－π2－π2516【解】由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积∴122AB,AB2由垂径定理得公共弦为212216216222∴选D44(05)、锐角三角形ABC的三个内角A、B、C知足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，那么a的最大值为＿＿＿。【解】minAB,BC,90AAB,BC,90A62ABBC390A270ABC9015另一方面，当ABBC90A15时，有A75,B60,C45知足题设条件，故可获得最大值15、锐角ABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延伸线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延伸线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线订交于一点。【解】证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC与Rt△BDC中，由射影定理得：CE2CN·CB，BD2＝BM·BC∴CNCE2又Rt△CNG∽Rt△DCB，Rt△BMF∽Rt△BEC，BMBD2GNBDCN,FMCEBMCDBE∴GNBDBECNBDBECE2BECE1FMCDCEBMCDCEBD2BDCDRt△BEC与Rt△BDC中，由面积关系得：BE·CE＝EN·BC，BD·CD＝DM·BCBECEENTN2BDCDDMTM由(1)(2)得：GNTN,又GNFM，F、G、T三点共线.FMTMAADDEEFGFHGBMNCTBMRNCT证法2：设CD、BE订交于点H，那么H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R∵DM∥AR∥EN∴DFAHEGFMHRGN由合比定理得：DMEN,GNENTN,故F、G、T三点共线.FMGNFMDMTM证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：BTCEAD1(1)TCEADB设CD、BE订交于点H，那么H为△ABC的垂心，AH⊥BC∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG∴CECG,ADHF,代入1得BTCGHF1EAGHDBFBTCGHFB由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.ADEFHGBMNCTB证法4：连接FT交EN于G’，易知DFEG'FMG'N为了证明F、G、T三点共线，只要证明DFEGFM即可GN∵DFSBDF21BDBFsinABEBDsinABEFMSBMF21BMBFsinCBEBMsinCBEEGSCEG21CECGsinACDCEsinACDGNSCMG21CNCGsinBCDCNsinBCDBDBC,CEBCBMBDCNCE∴DFBCsinABE,EGBCsinACD1FMBDsinCBEGNCEsinBCDCD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆∴∠ABE＝∠ACD(2)

ADEFGG'MNCT又BDCE,BDsinCBECEsinBCD(3)BCsinsinBCDCBE将(2)(3)代入〔1〕得：DFEG，故F、G、T三点共线.FMGN四、专题训练:(04)一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，此中a>b，假定两个三角形的最小内角相等，那么a的值等于〔〕b31(B)513252(A)2(C)(D)222如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的极点称为格点，那么以格点为极点的等腰直角三角形的个数为〔〕(A)24(B)38(C)46(D)50DClEPMFQNADGPHABBC(04)如图ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延伸AP交BC于点N，那么BN=.NC(04)如图，梯形ABCD中，AD∥BC,以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直均分线l交线段EF于点M，EP⊥l于P，FQ⊥l于Q。求证：EP=FQAD13(03)设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AB3．假定在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为4，那么CE的值为〔〕DCEAA.1B.1C.1D.1E2345如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．假定AB=4，BE=5，那么DE的长为〔〕ABA.3B.4C.15D.1645(03)如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠DBC的均分线．假定CB'AA'BB'AB，那么∠BAC的度数为_____________．EABD(03)在△ABC中，D为AB的中点，分别延伸CA