工程流体力学-第7章-粘性流体绕物体的流动分析课件

教学内容第0章绪论第1章流体的主要物理性质第2章流体静力学第3章流体流动的基本方程第4章旋涡理论和势流理论第5章相似理论与量纲分析第6章粘性流体管内流动第7章粘性流体绕物体的流动教学内容第0章绪论理想流体绕圆柱的定常流动12达朗贝尔佯谬（悖论）任取圆柱面上前后对称的两点1和2，由伯努利方程：第7章粘性流体绕物体的流动任意对称点上压力相等圆柱上阻力为0理想流体绕圆柱的定常流动12达朗贝尔佯谬（悖论）任取圆柱面上实际流体绕物体的流动粘性如何影响流体的运动？第7章粘性流体绕物体的流动实际流体绕物体的流动粘性如何影响流体的运动？第7章粘性流体7.1边界层的概念7.1.1普朗特边界层理论的要点7.1.2

边界层的形成过程7.1.3边界层厚度的定义第7章粘性流体绕物体的流动7.1边界层的概念7.1.1普朗特边界层理论的要点7.11.当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏性作用，在壁面上流速降为零；2.在壁面附近区域存在一极薄的流体层，其内速度梯度很大；7.1.1

普兰德边界层理论的要点3.在远离壁面的流动区域，其速度梯度几乎为零，可视其为理想流体的势流。δu0u0第7章粘性流体绕物体的流动1.当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏性作用，在壁

首先，在壁面附近有一薄层流体，速度梯度很大；在薄层之外，速度梯度很小，可视为零。

壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。x=0xyu0u0u0u01.平板壁面上的速度边界层

7.1.2边界层的形成过程第7章粘性流体绕物体的流动首先，在壁面附近有一薄层流体，速度梯度很大；在薄2.层流边界层和湍流边界层

在板前缘附近，边界层内流速较低，为层流边界层；而后逐渐过渡为湍流边界层。湍流边界层分为3层:

近壁面的薄层流体为层流内层；其次为缓冲层；然后为湍流核心。x=0xyu0u0u0u0层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心第7章粘性流体绕物体的流动2.层流边界层和湍流边界层在板前缘附近，边界层内流速3.临界距离和临界雷诺数：临界距离xc

由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离；平板流动Rex—由平板前沿算起的距离，mu0—主流区流体流速，m/s

。临界Rexcx=0xyu0u0u0u0xc层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心第7章粘性流体绕物体的流动3.临界距离和临界雷诺数：临界距离xc由层流边界层7.1.3边界层厚度的定义平板边界层厚度δ

δ≈10-3md(x)u(x,y)xyU0oU00.99U0U0L第7章粘性流体绕物体的流动7.1.3边界层厚度的定义平板边界层厚度δδ≈10-3m7.2普朗特边界层方程的推导

u0yx0δ(x)

不可压缩流体沿平壁作稳态二维层流流动的变化方程：非线性二阶偏微分方程第7章粘性流体绕物体的流动7.2普朗特边界层方程的推导u0yx0δ(x)不可大Re数下的边界层流动有两个重要性质：2.

边界层内粘性力与惯性力的量级相同。1.边界层厚度δ

<<

物体特征尺寸x

；对平板上流动的变化方程作量阶分析：量阶：指物理量在整个区域内相对于标准量阶而言的平均水平，不是指该物理量的具体数值。第7章粘性流体绕物体的流动大Re数下的边界层流动有两个重要性质：2.边界层内粘性力取如下两个标准量阶：

（1）取坐标x为距离的标准量阶，外流速度u0为流速的标准量阶，即（2）取边界层厚度δ为另一个标准量阶：第7章粘性流体绕物体的流动取如下两个标准量阶：（1）取坐标x为距离的标准量阶，外（1）ux：0→u0，ux=O(1)（2）（3）（4）y：在边界层的范围内，y由0→δ，

（5）uy：由连续性方程（6）第7章粘性流体绕物体的流动（1）ux：0→u0，ux=O(1)（2）（3（7）分析结果：获得边界层流动，流体的粘性要非常低

第7章粘性流体绕物体的流动11δ11/δ21/δ第十四次课（7）分析结果：获得边界层流动，流体的粘性要非常低第7章1δ

δ

1

δ2

δ1/δ分析结果：（2）y方向的运动方程较次要，可忽略不计。第7章粘性流体绕物体的流动1δδ1（3）

沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略，即压力可穿过边界层保持不变。根据理想流体理论，边界层外部边界上的压力分布是确定的。于是边界层内的压力变成了已知函数。第7章粘性流体绕物体的流动（3）沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略，即压力可普朗特边界层方程第7章粘性流体绕物体的流动普朗特边界层方程第7章粘性流体绕物体的流动

边界层外为理想流体的势流，可用Bernolli方程描述。在流动的同一水平高度上，有

考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。

边界层内：7.3

普朗特边界层方程的解

p1p2u0yx0δp3p4第7章粘性流体绕物体的流动略边界层外为理想流体的势流，可用Bernolli方程描流函数沿平板流动的边界层方程第7章粘性流体绕物体的流动略流函数沿平板流动的边界层方程第7章粘性流体绕物体的流动略作相似变换令

将流函数转变为无量纲形式的流函数：第7章粘性流体绕物体的流动略作相似变换令将流函数转变为无量第7章粘性流体绕物体的流动略第7章粘性流体绕物体的流动略级数解：布拉休斯第7章粘性流体绕物体的流动略级数解：布拉休斯第7章粘性流体绕物体的流动略无量纲流函数及其导数

0000.332060.20.006640.066410.331991.00.165570.329790.323015.03.283290.991550.01591第7章粘性流体绕物体的流动略无量纲流函数及其导数0边界层内的速度分布

对于给定的位置（x，y）→η，f，f’→ux，uy第7章粘性流体绕物体的流动略边界层内的速度分布对于给定的位置（x，y）→η，f，f’边界层厚度

当时，壁面的法向距离y即为边界层厚度，此时第7章粘性流体绕物体的流动略边界层厚度当局部摩擦曳力系数

第7章粘性流体绕物体的流动略局部摩擦曳力系数第7章粘性流体绕物体的流动略

流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面的总曳力平均曳力系数

第7章粘性流体绕物体的流动略流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面的总曳力平均曳力系数7.4

边界层积分动量方程的推导

普朗特边界层方程虽然比一般化的N—S方程简单，但仍然只有在少数几种简单的流动情形例如平板、楔形物体等才能获得精确解。工程实际中，许多较复杂的问题直接求解普兰德边界层方程相当困难。本节介绍一种计算量较小、工程上广泛采用的由卡门（Karman）提出的积分动量方程法。第7章粘性流体绕物体的流动7.4边界层积分动量方程的推导普朗特边界

基本思想是：在边界层内，选一微分控制体作微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方程；然后用一个只依赖于单参数的速度剖面近似代替真实速度侧形，将其代入边界层积分动量方程中积分求解，从而可以得到若干有意义的物理量如边界层厚度、曳力系数的表达式。第7章粘性流体绕物体的流动基本思想是：在边界层内，选一微分控制体作微分动量衡算，导

在距壁面前缘x

处，取一微元控制体

将动量守恒原理应用于微元控制体dV，得x方向：（1）yxu0δ0dx1423第7章粘性流体绕物体的流动将动量守恒原理应用于微元控制体dV，得x方向：（1）1-2截面：流入3-4截面：流出yxu0δ0dx1423第7章粘性流体绕物体的流动1-2截面：流入3-4截面：流出yxu0δ0dx1423第2-3截面：流入

1-4截面：无对流

yxu0δ0dx1423第7章粘性流体绕物体的流动2-3截面：流入1-4截面：无对流yxu0δ0dx142

整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即（2）u0yxδ0dx1423第7章粘性流体绕物体的流动整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即（u0yxδ0dx1423

作用在控制体x方向上的力（取x坐标方向为正号）1-4截面（壁面剪应力）1-2截面（压力）：

第7章粘性流体绕物体的流动u0yxδ0dx1423作用在控制体x方向上的力（取u0yxδ0dx14233-4截面（压力）：2-3截面（压力）因该截面与理想流体接壤，故无剪应力，仅存在着流体的压力

第7章粘性流体绕物体的流动u0yxδ0dx14233-4截面（压力）：2-3截面（压力作用在整个微元控制体上的x方向的合外力为

（3）将式（2）和（3）代入（1）中，得仅沿x方向流动Karman边界层积分动量方程第7章粘性流体绕物体的流动作用在整个微元控制体上的x方向的合外力为（3）将式（2

适用条件:（1）对于层流边界层和湍流边界层均适用；（2）可用于曲面物体边界层。对于平板壁面的层流边界层，

第7章粘性流体绕物体的流动适用条件:对于平板壁面的层流边界层，第7章粘性流体绕物7.5

平板层流边界层的近似解

平板层流边界层内的速度分布可近似表示为——待定系数，由以下B.C.

确定：（1）在y=δ(边界层外缘）第7章粘性流体绕物体的流动7.5平板层流边界层的近似解平板层流边界层内的速度分布（2）在y=0(壁面处）

采用线性多项式

第7章粘性流体绕物体的流动（2）在y=0(壁面处）采用线性多项式第7章粘性流2.采用二次多项式

第7章粘性流体绕物体的流动2.采用二次多项式第7章粘性流体绕物体的流动3.采用三次多项式

4.采用四次多项式

第7章粘性流体绕物体的流动3.采用三次多项式4.采用四次多项式第7章粘性流体绕物以最常用的三次多项式为例求解平板层流边界层：积分得第7章粘性流体绕物体的流动以最常用的三次多项式为例求解平板层流边界层：积分得第7章粘联立得一阶常微分方程

第7章粘性流体绕物体的流动联立得一阶常微分方程第7章粘性流体绕物体的流动局部曳力系数

平均曳力系数第7章粘性流体绕物体的流动局部曳力系数平均曳力系数第7章粘性流体绕物体的流动

平板层流边界层近似解与精确解的比较

3.460.2891.1555.480.3651.4604.640.3231.2925.830.3431.3725.00.3321.3284.790.3271.310精确解第7章粘性流体绕物体的流动平板层流边界层近似解与精确7.6平板壁面上湍流边界层的近似解边界层积分动量方程也适用于平板壁面上的湍流边界层求解。（1）湍流边界层的速度剖面与层流不同；（2）不能通过直接微分湍流速度分布求出，因为是在层流内层区，而速度剖面是在湍流核心区。因此必须采用经验的或半经验的公式。第7章粘性流体绕物体的流动7.6平板壁面上湍流边界层的近似解边界层积分动量方程也适用（1）速度分布—经验的布拉修斯的1/7次方定律

：u0yx0δ（2）壁面剪应力—采用如下经验公式：适用范围：第7章粘性流体绕物体的流动（1）速度分布—经验的布拉修斯的1/7次方定律：u0yx0B.C.

边界层厚度第7章粘性流体绕物体的流动B.C.边界层厚度第7章粘性流体绕物体的流动壁面剪应力

摩擦曳力平均曳力系数第7章粘性流体绕物体的流动壁面剪应力摩擦曳力平均曳力系数第7章粘性流体绕物体的层流边界层和紊流边界层的比较层流

湍流速度分布：较瘦丰满边界层厚度：摩阻系数：第7章粘性流体绕物体的流动层流边界层和紊流边界层的比较层流7.7

平板混合边界层

平板混合边界层是指在边界层中一部分是层流，而另一部分是湍流，即平板雷诺数，或者平板度。层流过渡流湍流OB实际流动：前段层流，中间过渡区，后段湍流—混合边界层。

第7章粘性流体绕物体的流动7.7平板混合边界层平板混合边界层是指在边界层平板混合边界层计算原则

由于平板混合边界层相对较复杂，为计算平板的阻力，使问题简化，普朗特作出如下假定:（1）边界层内不存在过渡区，层流边界层在某一处（如图中A点）突然全部转捩为湍流边界层；（2）湍流界层厚度的变化不是从A点起始，而是从平板前端O点开始。OA

B层流过渡流湍流(a)层流湍流(b)OB第7章粘性流体绕物体的流动平板混合边界层计算原则由于平板混合边界层相对较复杂根据上述假定，用下列方法计算平板的摩擦阻力：整个平板的摩擦阻力是由OA段层流边界层和AB段湍流边界层这两部分摩擦阻力所组成，即

在计算上式各段摩擦阻力时，分别用层流和湍流边界层的摩擦阻力因数公式。第7章粘性流体绕物体的流动OA

B层流湍流xcrlFdmOB——混合边界层OB长的阻力FdtOB

——湍流边界层OB长的阻力FdtOA

——湍流边界层OA长的阻力FdlOA

——层流边界层OA长的阻力根据上述假定，用下列方法计算平板的摩擦阻力：在计算上【例】一平板长5m，宽0.5m，以速度U0=1m/s在温度为15ºC的水中运动，试分别按平板横向（宽度方向）和纵向运动（长度方向）来计算平板的摩擦阻力。【解】首先判断流动的状态第7章粘性流体绕物体的流动当平板作纵向运动时，由于，边界层可视为湍流边界层。【例】一平板长5m，宽0.5m，以速度U0=1m/s在温度为当平板作横向运动时，由于，边界层可视为层流边界层。（1）平板作横向运动时，按层流边界层计算：平板雷诺数平板单面摩擦阻力第7章粘性流体绕物体的流动摩擦曳力系数当平板作横向运动时，由于（2）平板作纵向运动时，按湍流边界层计算：平板单面摩擦阻力第7章粘性流体绕物体的流动（2）平板作纵向运动时，按湍流边界层计算：平板单面摩擦阻力若按混合边界层来计算，则层流和湍流在xcr=0.573m处突然转捩，则层流摩擦阻力部分：

其中代入上式，得第7章粘性流体绕物体的流动OA

B层流湍流xcrl若按混合边界层来计算，则层流和湍流在xcr=0.573m处突其中故故整个平板（单面）的摩擦阻力为湍流摩擦阻力部分：第7章粘性流体绕物体的流动其中故故整个平板（单面）的1.流动分离及其产生原因123S5边界层外缘E边界层流动的动力学过程：惯性力、压力梯度、粘性力之相对平衡。

（动能）（层外主流）（阻滞）

1－3：顺压梯度区3－5：逆压梯度区S：分离点S点后：分离区边界层分离的条件：①存在逆压梯度区；②壁面或粘性对流动的阻滞。

7.8

沿曲面的边界层及其分离现象第7章粘性流体绕物体的流动1.流动分离及其产生原因123S5边界层外缘E边界层2.边界层分离的判别准则

——Plandtl分离判据（二维定常边界层流动）确定分离点S的位置

在分离点处

123S5边界层外缘E其他判据：

第7章粘性流体绕物体的流动2.边界层分离的判别准则——Plandtl分离判据（分离点S的位置xs与物体形状和边界层的流动状态有关:

层流边界层容易分离；湍流边界层不易分离，分离点将后移、尾迹变窄。3.

分离后的流场

边界层离体，形成尾流（尾迹）第7章粘性流体绕物体的流动分离点S的位置xs与物体形状和边界层的流动状态有关:3.分离的结果：产生压差阻力（形状阻力）尾迹旋涡相互掺混并消耗能量，在物体尾部产生了压力基本均布的低压区。流动的分离情况与物体的形状关系很大，故压差阻力又称形状阻力。第7章粘性流体绕物体的流动分离的结果：产生压差阻力（形状阻力）尾迹旋涡相互掺混并消耗能

主要是由粘性（摩擦）作用产生的。计算摩擦阻力可从边界层微分方程或边界层动量积分方程出发，求出w后沿物面积分得到。摩擦阻力形状阻力

主要是由(粘性效应引起的)流动分离引起的。分离区域越大（或尾迹越宽），形状阻力越大。当流动严重分离时，形状阻力是阻力的主要成分。7.9

物体的阻力（Drag）第7章粘性流体绕物体的流动主要是由粘性（摩擦）作用产生的。计算摩擦阻力可从边界阻力系数：式中

FD——物体受到的绕流阻力；

CD——绕流阻力因数；

U∞——未受干扰时的来流速度；

——流体的密度；

A——物体与来流垂直方向的迎流投影面积。第7章粘性流体绕物体的流动阻力系数：式中第7章粘性流体绕物体的流动典型的二维和三维物体的阻力系数宽圆柱半管半管方柱平板椭柱椭柱球半球半球方块方块矩形板(长/宽=5)二维物体

104～1051.2

4×1041.2

4×1042.3

3.5×1042.0

104

～1061.98

1×1050.46

2×1050.20三维物体

104～1050.47

104～1050.42

104～1051.17

104～1051.05

104～1050.80

103～1051.208:12:1第7章粘性流体绕物体的流动典型的二维和三维物体的阻力系数宽圆柱半管半

CD主要由以下因素决定：Re数、物体的形状、物体表面粗糙度等，多由实验确定。层流边界层容易分离，湍流边界层不易分离（分离点后移）。3.分离流动的特性

光滑圆柱粗糙圆柱光滑圆球极慢流动低Re数中Re数层流BL高Re数湍流BL阻力危机第7章粘性流体绕物体的流动CD主要由以下因素决定：Re数、物体的形状、物体表面圆柱绕流:Re＜1，无分离，只有摩擦阻力2＜Re＜30，对称尾迹区，摩擦阻力、压差阻力相当(c)

40＜Re＜90，对称涡摆动，摩擦阻力、压差阻力相当(d)

90＜Re＜300，卡门涡街，尾涡处与向湍流过渡状态，压差阻力为主(e)300＜Re＜2×105，边界层为层流，尾迹为湍流状态，分离点前移(f)Re>3.0×105，边界层转变为湍流，分离点后移至±110，尾迹为浑沌状态，涡街不明显。(a)(b)(d)(f)(e)第7章粘性流体绕物体的流动(c)圆柱绕流:Re＜1，无分离，只有摩擦阻力(a)(b)涡激振动第7章粘性流体绕物体的流动涡激振动第7章粘性流体绕物体的流动【例】圆柱形烟囱，高H=20m，直径d=0.6m，当风以速度U0=18m/s横向吹过时，求烟囱受到的总推力。设空气的密度=1.21kg/m3，运动黏度v=15.7×10-6m2/s。【解】绕圆柱形烟囱流动的雷诺数烟囱受到的总推力，即为绕流阻力查得绕流阻力系数第7章粘性流体绕物体的流动【例】圆柱形烟囱，高H=20m，直径d=0.6m，当风以速度【例】气球质量为0.32kg，直径d=1m，以U0=3.7m/s的速度在静止空气中上升，（1）试确定它的阻力系数；（2）若用绳子固定此气球于空中，气流水平速度为3.5m/s，试确定绳子的张力和斜角。设空气的密度=1.25kg/m3

，运动黏度v=14.7×10-6m2/s

。0UDFG

bFT

θx

z

第7章粘性流体绕物体的流动【例】气球质量为0.32kg，直径d=1m，以U0=3.7m【解】（1）当气球在静止空气中上升时，它受到的三个力大小分别是重力（方向向下）浮力（方向向上）阻力（方向与运动方向相反）

当气球作匀速运动时，以上三个力在铅垂方向的投影之和等于零，即FDGbFx

z

第7章粘性流体绕物体的流动【解】（1）当气球在静止空气中故阻力因数此时流动雷诺数第7章粘性流体绕物体的流动故阻力因数此时流动雷诺数第7章粘性流体绕物体的流动（2）将气球用绳子固定，气球受到的力大小为浮力（方向向下）（方向向上）重力0UDFG

bFT

θx

z

风的推力由于流动的雷诺数此时的雷诺数同(1)相近，CD取0.488。第7章粘性流体绕物体的流动（2）将气球用绳子固定，气球受到的力大小为浮力（方向向下）故列x方向的投影式与水平方向的夹角解得绳子张力列z方向的投影式即第7章粘性流体绕物体的流动故列x方向的投影式与水平方向的夹涡激振动流场模型物体运动模型第7章粘性流体绕物体的流动略涡激振动流场模型第7章粘性流体绕物体的流动略流线涡量等值线流场压力分布St——Strouhal数，是Re数的函数，中高Re数时，圆柱绕流St=0.2~0.22f——涡脱落频率；D——圆柱直径；U——来流速度第7章粘性流体绕物体的流动略流线涡量等值线流场压力分布St——Strouhal数，是结束第7章粘性流体绕物体的流动结束第7章粘性流体绕物体的流动第7章作业7-1,3,5～9第7章粘性流体绕物体的流动第7章作业第7章粘性流体绕物体的流动教学内容第0章绪论第1章流体的主要物理性质第2章流体静力学第3章流体流动的基本方程第4章旋涡理论和势流理论第5章相似理论与量纲分析第6章粘性流体管内流动第7章粘性流体绕物体的流动教学内容第0章绪论理想流体绕圆柱的定常流动12达朗贝尔佯谬（悖论）任取圆柱面上前后对称的两点1和2，由伯努利方程：第7章粘性流体绕物体的流动任意对称点上压力相等圆柱上阻力为0理想流体绕圆柱的定常流动12达朗贝尔佯谬（悖论）任取圆柱面上实际流体绕物体的流动粘性如何影响流体的运动？第7章粘性流体绕物体的流动实际流体绕物体的流动粘性如何影响流体的运动？第7章粘性流体7.1边界层的概念7.1.1普朗特边界层理论的要点7.1.2

边界层的形成过程7.1.3边界层厚度的定义第7章粘性流体绕物体的流动7.1边界层的概念7.1.1普朗特边界层理论的要点7.11.当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏性作用，在壁面上流速降为零；2.在壁面附近区域存在一极薄的流体层，其内速度梯度很大；7.1.1

普兰德边界层理论的要点3.在远离壁面的流动区域，其速度梯度几乎为零，可视其为理想流体的势流。δu0u0第7章粘性流体绕物体的流动1.当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏性作用，在壁

首先，在壁面附近有一薄层流体，速度梯度很大；在薄层之外，速度梯度很小，可视为零。

壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。x=0xyu0u0u0u01.平板壁面上的速度边界层

7.1.2边界层的形成过程第7章粘性流体绕物体的流动首先，在壁面附近有一薄层流体，速度梯度很大；在薄2.层流边界层和湍流边界层

在板前缘附近，边界层内流速较低，为层流边界层；而后逐渐过渡为湍流边界层。湍流边界层分为3层:

近壁面的薄层流体为层流内层；其次为缓冲层；然后为湍流核心。x=0xyu0u0u0u0层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心第7章粘性流体绕物体的流动2.层流边界层和湍流边界层在板前缘附近，边界层内流速3.临界距离和临界雷诺数：临界距离xc

由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离；平板流动Rex—由平板前沿算起的距离，mu0—主流区流体流速，m/s

。临界Rexcx=0xyu0u0u0u0xc层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心第7章粘性流体绕物体的流动3.临界距离和临界雷诺数：临界距离xc由层流边界层7.1.3边界层厚度的定义平板边界层厚度δ

δ≈10-3md(x)u(x,y)xyU0oU00.99U0U0L第7章粘性流体绕物体的流动7.1.3边界层厚度的定义平板边界层厚度δδ≈10-3m7.2普朗特边界层方程的推导

u0yx0δ(x)

不可压缩流体沿平壁作稳态二维层流流动的变化方程：非线性二阶偏微分方程第7章粘性流体绕物体的流动7.2普朗特边界层方程的推导u0yx0δ(x)不可大Re数下的边界层流动有两个重要性质：2.

边界层内粘性力与惯性力的量级相同。1.边界层厚度δ

<<

物体特征尺寸x

；对平板上流动的变化方程作量阶分析：量阶：指物理量在整个区域内相对于标准量阶而言的平均水平，不是指该物理量的具体数值。第7章粘性流体绕物体的流动大Re数下的边界层流动有两个重要性质：2.边界层内粘性力取如下两个标准量阶：

（1）取坐标x为距离的标准量阶，外流速度u0为流速的标准量阶，即（2）取边界层厚度δ为另一个标准量阶：第7章粘性流体绕物体的流动取如下两个标准量阶：（1）取坐标x为距离的标准量阶，外（1）ux：0→u0，ux=O(1)（2）（3）（4）y：在边界层的范围内，y由0→δ，

（5）uy：由连续性方程（6）第7章粘性流体绕物体的流动（1）ux：0→u0，ux=O(1)（2）（3（7）分析结果：获得边界层流动，流体的粘性要非常低

第7章粘性流体绕物体的流动11δ11/δ21/δ第十四次课（7）分析结果：获得边界层流动，流体的粘性要非常低第7章1δ

δ

1

δ2

δ1/δ分析结果：（2）y方向的运动方程较次要，可忽略不计。第7章粘性流体绕物体的流动1δδ1（3）

沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略，即压力可穿过边界层保持不变。根据理想流体理论，边界层外部边界上的压力分布是确定的。于是边界层内的压力变成了已知函数。第7章粘性流体绕物体的流动（3）沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略，即压力可普朗特边界层方程第7章粘性流体绕物体的流动普朗特边界层方程第7章粘性流体绕物体的流动

边界层外为理想流体的势流，可用Bernolli方程描述。在流动的同一水平高度上，有

考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。

边界层内：7.3

普朗特边界层方程的解

p1p2u0yx0δp3p4第7章粘性流体绕物体的流动略边界层外为理想流体的势流，可用Bernolli方程描流函数沿平板流动的边界层方程第7章粘性流体绕物体的流动略流函数沿平板流动的边界层方程第7章粘性流体绕物体的流动略作相似变换令

将流函数转变为无量纲形式的流函数：第7章粘性流体绕物体的流动略作相似变换令将流函数转变为无量第7章粘性流体绕物体的流动略第7章粘性流体绕物体的流动略级数解：布拉休斯第7章粘性流体绕物体的流动略级数解：布拉休斯第7章粘性流体绕物体的流动略无量纲流函数及其导数

0000.332060.20.006640.066410.331991.00.165570.329790.323015.03.283290.991550.01591第7章粘性流体绕物体的流动略无量纲流函数及其导数0边界层内的速度分布

对于给定的位置（x，y）→η，f，f’→ux，uy第7章粘性流体绕物体的流动略边界层内的速度分布对于给定的位置（x，y）→η，f，f’边界层厚度

当时，壁面的法向距离y即为边界层厚度，此时第7章粘性流体绕物体的流动略边界层厚度当局部摩擦曳力系数

第7章粘性流体绕物体的流动略局部摩擦曳力系数第7章粘性流体绕物体的流动略

流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面的总曳力平均曳力系数

第7章粘性流体绕物体的流动略流体流过长度为L、宽度为b的平板壁面的总曳力平均曳力系数7.4

边界层积分动量方程的推导

普朗特边界层方程虽然比一般化的N—S方程简单，但仍然只有在少数几种简单的流动情形例如平板、楔形物体等才能获得精确解。工程实际中，许多较复杂的问题直接求解普兰德边界层方程相当困难。本节介绍一种计算量较小、工程上广泛采用的由卡门（Karman）提出的积分动量方程法。第7章粘性流体绕物体的流动7.4边界层积分动量方程的推导普朗特边界

基本思想是：在边界层内，选一微分控制体作微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方程；然后用一个只依赖于单参数的速度剖面近似代替真实速度侧形，将其代入边界层积分动量方程中积分求解，从而可以得到若干有意义的物理量如边界层厚度、曳力系数的表达式。第7章粘性流体绕物体的流动基本思想是：在边界层内，选一微分控制体作微分动量衡算，导

在距壁面前缘x

处，取一微元控制体

将动量守恒原理应用于微元控制体dV，得x方向：（1）yxu0δ0dx1423第7章粘性流体绕物体的流动将动量守恒原理应用于微元控制体dV，得x方向：（1）1-2截面：流入3-4截面：流出yxu0δ0dx1423第7章粘性流体绕物体的流动1-2截面：流入3-4截面：流出yxu0δ0dx1423第2-3截面：流入

1-4截面：无对流

yxu0δ0dx1423第7章粘性流体绕物体的流动2-3截面：流入1-4截面：无对流yxu0δ0dx142

整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即（2）u0yxδ0dx1423第7章粘性流体绕物体的流动整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即（u0yxδ0dx1423

作用在控制体x方向上的力（取x坐标方向为正号）1-4截面（壁面剪应力）1-2截面（压力）：

第7章粘性流体绕物体的流动u0yxδ0dx1423作用在控制体x方向上的力（取u0yxδ0dx14233-4截面（压力）：2-3截面（压力）因该截面与理想流体接壤，故无剪应力，仅存在着流体的压力

第7章粘性流体绕物体的流动u0yxδ0dx14233-4截面（压力）：2-3截面（压力作用在整个微元控制体上的x方向的合外力为

（3）将式（2）和（3）代入（1）中，得仅沿x方向流动Karman边界层积分动量方程第7章粘性流体绕物体的流动作用在整个微元控制体上的x方向的合外力为（3）将式（2

适用条件:（1）对于层流边界层和湍流边界层均适用；（2）可用于曲面物体边界层。对于平板壁面的层流边界层，

第7章粘性流体绕物体的流动适用条件:对于平板壁面的层流边界层，第7章粘性流体绕物7.5

平板层流边界层的近似解

平板层流边界层内的速度分布可近似表示为——待定系数，由以下B.C.

确定：（1）在y=δ(边界层外缘）第7章粘性流体绕物体的流动7.5平板层流边界层的近似解平板层流边界层内的速度分布（2）在y=0(壁面处）

采用线性多项式

第7章粘性流体绕物体的流动（2）在y=0(壁面处）采用线性多项式第7章粘性流2.采用二次多项式

第7章粘性流体绕物体的流动2.采用二次多项式第7章粘性流体绕物体的流动3.采用三次多项式

4.采用四次多项式

第7章粘性流体绕物体的流动3.采用三次多项式4.采用四次多项式第7章粘性流体绕物以最常用的三次多项式为例求解平板层流边界层：积分得第7章粘性流体绕物体的流动以最常用的三次多项式为例求解平板层流边界层：积分得第7章粘联立得一阶常微分方程

第7章粘性流体绕物体的流动联立得一阶常微分方程第7章粘性流体绕物体的流动局部曳力系数

平均曳力系数第7章粘性流体绕物体的流动局部曳力系数平均曳力系数第7章粘性流体绕物体的流动

平板层流边界层近似解与精确解的比较

3.460.2891.1555.480.3651.4604.640.3231.2925.830.3431.3725.00.3321.3284.790.3271.310精确解第7章粘性流体绕物体的流动平板层流边界层近似解与精确7.6平板壁面上湍流边界层的近似解边界层积分动量方程也适用于平板壁面上的湍流边界层求解。（1）湍流边界层的速度剖面与层流不同；（2）不能通过直接微分湍流速度分布求出，因为是在层流内层区，而速度剖面是在湍流核心区。因此必须采用经验的或半经验的公式。第7章粘性流体绕物体的流动7.6平板壁面上湍流边界层的近似解边界层积分动量方程也适用（1）速度分布—经验的布拉修斯的1/7次方定律

：u0yx0δ（2）壁面剪应力—采用如下经验公式：适用范围：第7章粘性流体绕物体的流动（1）速度分布—经验的布拉修斯的1/7次方定律：u0yx0B.C.

边界层厚度第7章粘性流体绕物体的流动B.C.边界层厚度第7章粘性流体绕物体的流动壁面剪应力

摩擦曳力平均曳力系数第7章粘性流体绕物体的流动壁面剪应力摩擦曳力平均曳力系数第7章粘性流体绕物体的层流边界层和紊流边界层的比较层流

湍流速度分布：较瘦丰满边界层厚度：摩阻系数：第7章粘性流体绕物体的流动层流边界层和紊流边界层的比较层流7.7

平板混合边界层

平板混合边界层是指在边界层中一部分是层流，而另一部分是湍流，即平板雷诺数，或者平板度。层流过渡流湍流OB实际流动：前段层流，中间过渡区，后段湍流—混合边界层。

第7章粘性流体绕物体的流动7.7平板混合边界层平板混合边界层是指在边界层平板混合边界层计算原则

由于平板混合边界层相对较复杂，为计算平板的阻力，使问题简化，普朗特作出如下假定:（1）边界层内不存在过渡区，层流边界层在某一处（如图中A点）突然全部转捩为湍流边界层；（2）湍流界层厚度的变化不是从A点起始，而是从平板前端O点开始。OA

B层流过渡流湍流(a)层流湍流(b)OB第7章粘性流体绕物体的流动平板混合边界层计算原则由于平板混合边界层相对较复杂根据上述假定，用下列方法计算平板的摩擦阻力：整个平板的摩擦阻力是由OA段层流边界层和AB段湍流边界层这两部分摩擦阻力所组成，即

在计算上式各段摩擦阻力时，分别用层流和湍流边界层的摩擦阻力因数公式。第7章粘性流体绕物体的流动OA

B层流湍流xcrlFdmOB——混合边界层OB长的阻力FdtOB

——湍流边界层OB长的阻力FdtOA

——湍流边界层OA长的阻力FdlOA

——层流边界层OA长的阻力根据上述假定，用下列方法计算平板的摩擦阻力：在计算上【例】一平板长5m，宽0.5m，以速度U0=1m/s在温度为15ºC的水中运动，试分别按平板横向（宽度方向）和纵向运动（长度方向）来计算平板的摩擦阻力。【解】首先判断流动的状态第7章粘性流体绕物体的流动当平板作纵向运动时，由于，边界层可视为湍流边界层。【例】一平板长5m，宽0.5m，以速度U0=1m/s在温度为当平板作横向运动时，由于，边界层可视为层流边界层。（1）平板作横向运动时，按层流边界层计算：平板雷诺数平板单面摩擦阻力第7章粘性流体绕物体的流动摩擦曳力系数当平板作横向运动时，由于（2）平板作纵向运动时，按湍流边界层计算：平板单面摩擦阻力第7章粘性流体绕物体的流动（2）平板作纵向运动时，按湍流边界层计算：平板单面摩擦阻力若按混合边界层来计算，则层流和湍流在xcr=0.573m处突然转捩，则层流摩擦阻力部分：

其中代入上式，得第7章粘性流体绕物体的流动OA

B层流湍流xcrl若按混合边界层来计算，则层流和湍流在xcr=0.573m处突其中故故整个平板（单面）的摩擦阻力为湍流摩擦阻力部分：第7章粘性流体绕物体的流动其中故故整个平板（单面）的1.流动分离及其产生原因123S5边界层外缘E边界层流动的动力学过程：惯性力、压力梯度、粘性力之相对平衡。

（动能）（层外主流）（阻滞）

1－3：顺压梯度区3－5：逆压梯度区S：分离点S点后：分离区边界层分离的条件：①存在逆压梯度区；②壁面或粘性对流动的阻滞。

7.8

沿曲面的边界层及其分离现象第7章粘性流体绕物体的流动1.流动分离及其产生原因123S5边界层外缘E边界层2.边界层分离的判别准则

——Plandtl分离判据（二维定常边界层流动）确定分离点S的位置

在分离点处

123S5边界层外缘E其他判据：

第7章粘性流体绕物体的流动2.边界层分离的判别准则——Plandtl分离判据（分离点S的位置xs与物体形状和边界层的流动状态有关:

层流边界层容易分离；湍流边界层不易分离，分离点将后移、尾迹变窄。3.

分离后的流场

边界层离体，形成尾流（尾迹）第7章粘性流体绕物体的流动分离点S的位置xs与物体形状和边界层的流动状态有关:3.分离的结果：产生压差阻力（形状阻力）尾迹旋涡相互掺混并消耗能量，在物体尾部产生了压力基本均布的低压区。流动的分离情况与物体的形状关系很大，故压差阻力又称形状阻力。第7章粘性流体绕物体的流动分离的结果：产生压差阻力（形状阻力）尾迹旋涡相互掺混并消耗能

主要是由粘性（摩擦）作用产生的。计算摩擦阻力可从边界层微分方程或边界层动量积分方程出发，求出w后沿物面积分得到。摩擦阻力形状阻力

主要是由(粘性效应引起的)流动分离引起的。分离区域越大（或尾迹越宽），形状阻力越大。当流动严重分离时，形状阻力是阻力的主要成分。7.9

物体的阻力（Drag）第7章粘性流体绕物体的流动主要是由粘性（摩擦）作用产生的。计算摩擦阻力可从边界阻力系数：式中

FD——物体受到的绕流阻力；

CD——绕流阻力因数；

U∞——未受干扰时的来流速度；

——流体的密度；

A——物体与来流垂直方向的迎流投影面积。第7章粘性流体绕物体的流动阻力系数：式中第7章粘性流体绕物体的流动典型的二维和三维物体的阻力系数宽圆柱半管半管方柱平板椭柱椭柱