复合材料结构及其力学

复合材料结及其力孟松哈尔滨工业大学复合材料与结重点内经典层合理

层合板的宏力学性层合板的应应变关

刚度特殊情

强度问

强度分析方

层间应

层合板复合材料的尺复合材料的尺Strain-StressStrain-StressPlane-StressPlane-StressConstitutiveStrain-StressRelationsinReferenceStrain-StressRelationsinReference引各单层的材料主方向的布置应使结构元件能承方向引引层合板不一定有确定的主方这种层合板在厚度方向具有客观的非均匀性和质的不连续对层合板的力学分析就变得更为复单层板的应力-应变关

2

21

12 12

x

y

22 xy

第k

沿厚度方向的积分经典层合理（ClassicalLaminatePlate层合板各单层之间粘合层非常薄，单层边界两边的位移是连续的层间不能滑移，无相对位

0,zy假设垂直于层合板中面的一根初始直线，在层合板受到拉伸和弯曲后，仍保持直线并垂直于中面；变形前垂直与板中面的直线在变形后仍保持垂直，且长度不板的 假设壳的 -勒普假设(Kirchhoff-

z在上述假设基础上建立的层合板理论称为经典经典层合理也可以是曲面或壳另–单层平面应力状态假设：层合板中各单层都可近似地认为处于平面应力状态在厚度方向上的正应力于其它应力相比很小，可忽略不计经典层合理经典层合理ABAxBCzDCD变形前的横截 变形后的横截XZ平面内的变形几经典层合理A

uC

zc

D

是层合板中面在方向上的斜BC

w0层合板厚度上任意一点z的位移u为

u

zw0同样，在yz平面内，y方向上的位移v为

vv0

zw0经典层合理板内任一点的位移分量可表uu(x,y,z)vv(x,y,z)ww(x,y,z)由直法线不变假设，

zzxzyww0(x,uvv

zw0zw0经典层合理ClassicalplateFirst-orderplateThird-orderplateDisplacementFieldsofVariousLaminateTheoriesClassicalplateFirst-orderplateThird-orderplate经典层合理Classicalplateww0(x,uvv

zw0zw0经典层合理应变

x

uv

u0v0

2wz x2

00

xy

y

2z 若用矩阵形式表

{}

{0}

z{k}{0}

u0 v0

{k}

2wx2 2wy2 u0

v0

2w

x

2xy经典层合理

{0

{ 0, 0,( 0 0)}T

x2

,

,2 分别称为中面面内应变列阵和中面弯曲应变列kx

x2

ky(

y2

称为曲

kx

2xy)称 zzxuzzxu不为zyz

w

w0(x,uu0 zx

vv

zy

x x

0

z

{k}

y y

yzz

x yxy

u

z(

y

经典层合理{}

{0}

z{k}

x

11 12

x

x

zk y 21 22

xy

16 26

kxyk xy k每一层的Qij是不同经典层合理

经典层合理经典层合理经典层合理NiMiNi

h/h/

Mi

h/h/

izdz

z

xzMxzMMxyy层合平板的力经典层合理经典层合理NNNi

t/ t/

Nx

t/

x

x Ny

t/2

z

k

y Mi

t/ t/

xy

xy

xy

t/

x

x

t/2y

zdz

k1

k1

y

xy

xy

xyk经典层合理

0

x

N 11 12

x

Q

0 dz

k zdzz z

y

y 0 k0

k1

k1 xy

k

xy

xy

0

x

N 11 12

x

Q

0 zdz

k z2dzz z

y

y 0 k0

k1

k1 xy

k

xy

xy 经典层合理 Q QN N xy

k1

A

A21 16经典层合理 Q

Q k1 xy

B

B21 16经典层合理NijBijDijN

子矩阵[A]、[B面内刚度矩 耦合刚度矩Aij

经典层合理NNBij Dij 11Q1111

cos4Q Q66 EFFECTOFTHELAMINATIONSCHEMEONBENDINGDEFORMATIONConsequencesofStackingConsequencesofStackingStackingsequencedoesnotaffectthe[A][B]=0aslongassymmetryis[D]matrixmostaffectedbystackingForbalancedlaminatesA16=A26=Generally,D16andD26areinsignificantwithrespecttoD11for>16plies经典层合理化简问题：ABLAMINATEWITHGENERALSTACKINGSEQUENCEACROSS-PLYASYMMETRICANANTISYMMETRICANANTISYMMETRIC层合板刚度的特殊情同，也不同于层合板轴的方各向同各向异称于中面的层合NAijNBij Dij 11Q1111

cos4Q Q66 层合板刚度的特殊情 Et 2A

各向同性单

D11

Et12(1A 1

Bij

12D22D16

D26)

D66

Et24(1层合板刚度的特殊情面的曲率有关

0

x

x

x

x

0

y

1

1 Nxy

A

Mxy

Dkxy xy 各向同性层板的拉伸与弯曲之间没有耦合影响耦合At2D层合板刚度的特殊情特殊正交各向异性单厚度为t，单层刚度Qij有如下公式给出正交各向单 S22 2S2 12

Q11

11221 S12

11S22 12

Q12

2112212

11221 2 2

11S22 12

Q22

11221Q66

S66

Q66

G12层合板刚度的特殊情

t特殊正交各向异性单

D11

11 tA11

D12

12 Q

t

B

D22

22 A22

Q22t

ijD16D

D26A16

A26

tA66

Q66t

D66

66 合力仅仅与层合板中面内的应变有关，合力矩仅与中面的曲率有

0

Mx

0kx x

x

00

D22

0ky y 12 22

y

Nxy

A66

xy

Mxy

66kxy拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内没有耦层合板刚度的特殊情AijBij

Qi0

一般正交各向异性单 Qijt3ij t3

0

x 11 12

16x

11 12

16 yy

A22

A26

0

D22

D26

ky

A26

66

xy

xy

xy

66

xy拉伸与弯曲之间没有耦合影响，面内有耦层合板刚度的特殊情况—对称几何和材料性能都对称于中面的层合刚度方程可以大大简对称层合板通常比有耦合影响的层合板容易分 实际工程中通常采层合板刚度的特殊情况-对称对称层合板的合力和合力

0

Mx

kx x 11 12

16x

16

0

My

D12

D22

D26

ky y 12 22

26y

Nxy

A26

A66

xy

Mxy

D26

多层各向同性的对称层合

Nx

00 yx yx

A12

A11

00

0k22 12k

xy

66xy 2612

k12k

D D

D12D11

0kx 0ky66

2(1k

M xyM

D66

xy对称层合11

11QQ11 11

NAijN分析为零的可能

BijDij对称层合N N

1

2

1

3

k

k

zk1

2k

k

zk1

3k

k

zk1BijDij：Q11、Q12、Q22和Q66为正定的，几何相总是正值，因D11、D12、D22和D66为正定对称层合多层特殊正交各向异性层组成的对称层合板：材料主方向与层合板轴一

A16

A26

6

D26

B16

ij相当于特殊正交各向异性单层正规对称正交铺层层合板：厚度和材料性能相同，材料主方向层和板轴交替成0和90角，必须是奇数ClassicalOrthotropic对称层合多层一般正交各向异性层组

0

11 12

16

11 12

16 yy

A12

A22

A26

0

D22

D26

ky

A26

66

D26

D66 xy

xy

xy

xy正规对称角铺设层合厚度相邻单层的材料性能主方向与层合板轴成相反的角必须是奇数Bij为零且A16、A26、D16、D26很小，简比简单正交各向异性铺设层合板有较大的剪切ClassicalAnisotropicPseudoOrthotropicRatiosRatiosofBending对称层合多层各向异性层组成的对称

0 11 12

16 yy

A12

A22

A26

0

A26

66 xy

xyBij

x x

D12

D16kx

D22D26

D26ky D66 xy xy称层合需要耦合影响——涡轮叶增加层合板的剪切刚一般要求每一层的厚度相NA16N

16

(zk

zk1 k1

16 1

(z

z

N16 N

k1

16

k1

26称层合

A y

21 xy

B11B B 21 xy称层合称正交铺设层合 A

00

0 11 12

11

xxxx

A21

A22

00

B11

0ky

0y66y

xy

xy

xy

00

0 11

11 12

yxxyxx

B11

00

D21

D22

0ky66 66

0

xy

xy

xy 称层合

A A A0

xy

16随着层数的增加，耦合刚度B16和B26趋于不对称层合多层

k

k

k

A

00

0 11 12

11

12 xxx

A21 A22

00

B11

0ky

0y66y

xy

xy

xy

00

0 x 11 12 11 12x

y B11y

00

D22

0ky66 0 066

xy

xy

xyUnsymmetricUnsymmetricCross-PlyUnsymmetricUnsymmetricAnglePlyGeneralGeneral层合板的简单0[0/ 0

[0/45/[0

0

0

[02

/ 0上面 为前一个铺

[(45)

[0

90]

圆括号内为编织层合板的简单0[0/ 0

子[0C/45k0

0Carbon

[0/90/C4

夹芯结C：夹 0小以中以中面为参考详细掌握刚度分析对称情材几耦合作用不层合板刚度的理论和试验比对对预测层合板的刚度与测量层合板的刚度做个比{}[Q]{}

nk1n

zk1

[Q]({0}

z{k})dz

nk1n

zk1

[Q]z({0}

z{k})dzN

[Q]dz

[Q]zdz

0

A ...

B0

...

....

...

[Q]zdz

[Q]z2dzk

...

层合板刚度的理论和试验比N

B0

DkAij

NNk ijkNk1N

(zk

zk2 12

(z2ijk

ij

(z3ij

k1

j 层合板刚度的理论和试验比大多数试验中，变形是因变量，作用了载荷，量由此而起的变N

B0

N

Bk

Dk

M

Dk0

A1N

A1BkMBA1N

0 M

A1

k

DBA

B 0A*N

B*H*MH*ND*k层合板刚度的理论和试验比k

D*1H*N0

B*D*1M

(A*

B*D*1H*0A*

B*D*

B*D*1N

*

* k

0

A'

B'N ' k

DM层合板刚度的理论和试验比正交[t@0/

@90/

@0/

@90/

M@

k奇数tkk偶数Mttt2t 单层主刚度F单层主刚度Q11

E2层合板刚度的理论和试验比NA11

1

A12A2

tQ12 1

A16

A26 tQ66ij 层合板刚度的理论和试验比D12D22

[(1F)PD16

D26 t 66 P (1

层合板刚度的理论和试验比 11A

N=偶数 1MF M 11 A 11B 层合板刚度的理论和试验比D12D22

Q12t[(1F)RF]D16

D26 t

8M(MN2(1

层合板刚度的理论和试验比对于正交对于正交铺设层合板和角对称铺设层合板刚度理论预报和试验值吻合的很方法是有效可层合板强由单层板强度预报层合板强度的需要了解每一单层的应给出的层合板能承受的最大载承受给定载荷所必需的叠合顺序 温温度影响残余应层合板强层合板的最先一层失效强层合板的极限应力为层合板的极限强度层合板的宏观各向异性强单向载荷下的基本力学性能数据层合板强铺铺层在作用应力下，极限应力（或强度）某一分量与其对应的作用应力分量之比值称为强度比，用R表示，即：作用对应与应力分量的极限作用对应与应力分量的极限i各层性各层性能外界载荷之间的比计算和载荷系数关的各层应(k,k,k)/x xy在材料主方向上定相对的各层应(k,k,k)/ 12层合板强度分计计算层合板的刚度如果没如果没有层片破如果层片破计计算一层破坏时的载用于用于给零的性能，从层合板中消去一计算层和板的变形层合板强度分的刚度如果层片破计算最后载荷平下的各层应k,k,k

将各层应力和坏准则进行比如果有层破如果有层破 xy确定材料主方的各层应k,k,

用于给零的性能从层合板中消一

如果没有层片（程序结束 xy

计算层和板变形层合板强比例在开始时规定好，增加载荷参数直至某一层破坏如果有层破坏，重新计算各层的应力，以确定一层破坏以了的应力情况下，在使一层破坏的同样载荷下不破坏，如果没有层破坏，再增加载荷；要注意一层破坏引起的增加应力而不发生连续破坏强度分析的整个程序与破坏载荷无关，但最大载荷和变形取决于特定的破坏准则层合板的强度准单层板的强度准则都可以用于层合板的最大应力准最大应变准蔡-希尔准准蔡胡张量理曾介绍过E玻璃/环氧简单层板二向应力状态以角铺设对成层合板为例看准则的适用三层E-玻璃/环层合板的强度准没没有耦

0

0 x 11 12

16x

11yyyy

A12

A22

A26

0

0

A12

A26

66

0

xy0

xy

xy

0A'单向

x

y0y

0 0

A A0

A'xy

x

Q

xy y

xy 层合板的强度——增量各铺层全部退化结束程序首先确定最先一层失效强度，计算此强度下个层的应力，将失效层退化，计算后层合板刚度，按此刚度计算下一层失效时的强度增量最先一层失效强度与所有各层失效时强度增量的总和，为层合板的极限强度铺层铺层铺层铺层角数一般对失效 采用如下假定如果

XX

12Q6622

66铺层铺层角数铺层铺层角数各铺层全部退化结束程序首先进行层合板的各层应力分析，利用强度比方程计算各个铺层的强度比，强度比最小的铺最失效，将最先失效层 然后计算失效后的层合板刚度，以及各层应力，再求各层强度比，强度比最小的层继而失效，再计算二次后的层合板刚度以及各层应力，各层依次失效，可得各层失效时的各个强度比，这些强度比中最大值对应的层合板正则化内力就是层合板的极限强度。层合板的湿、热应力分高 工实际应用环

考虑湿、热影响的本构关可写为e1

L

LT

i

Sijj

e e 2

TC

纵向、横向的热膨胀e0 e012

0

纵向、横向的湿膨胀系温ex

水分含e

热剪系 y

yC

湿剪系

xy

xy xy层合板的热应i

Sijj

i

Cij(j

i,j1

11

12x

Q11Q y

21xyk层合板的热应

11

A21 16 Q x

11y y

21 T QNxy 16只有在总的应变和曲率受到完全约束，即为零才是层合板的热应

11

B21 16 Q x

11y y

21 T QMxy 16层合板的热应

Ny

等效

Nxy

My Mxy xyN B0

0

A'

B'

k

D'M

Dk

例：正交铺设层合板的强外界载荷之间的比

正交铺设比为E玻璃/环氧单层的性能为：(应力单位：磅/英寸

150

420S6例：正交铺设层合板的强一、破坏前的变

计算层合板的刚度1、计算单层的二维刚

Q11

1Q (()Q

21 Q (()Q

1

1221 22

E21表观热膨胀系x

(y

3.5106/0

Q66

21y

(x

11.4106/0xy

(例：正交铺设层合板的强2、层合板的拉伸刚

计算层合板的刚度 Aij

ijNkNk

(zkk Bijk

12k2k

(z2DijQ

1 k(zk(zA12A11A12

3.5401106

层合板的厚

A11 0.2875106/A11 22 22

0.6638106

270106/66A2266

7.0809106

106/AAA66AA

1.2500106

0.8000106/例：正交铺设层合板的强3、计算温度变化引起

计算最后载荷平下的各层应k,k,k xyT xk Q TdzkNT

kxy k

xy

xyMT

x

16 x热力

22

Q26

y

y T y

Q66 Mxy

k

xyk例：正交铺设层合板的强4、计算各层应

Ny

Nxy

0

A'

B'Nk

D'Mx

{}

{0}

z{k} y

xyk例：正交铺设层合板的强外外xy(

应力已经表示为外载和温度梯度的线性函内 t内(

0.02 x

t t ()4大N和T值，就是对每一层分别应用破坏准则判断。对特定的正交铺设层合板，每一层的蔡希尔准则可以表示为：2 x

xy

1 2 2 1 2 212222X2X2Y2S2X2 X2 Y S2xy

2 xxy2XY2 xxy2X例：正交铺设层合板的强对外层t.t.xy00xy

2

X2

X22 2

Y2

Xt

150t

[57.5Y2

YtYc

420S6例：正交铺设层合板的强如 温度为：2700F，工作温度为700F，即计算一层破坏时计算一层破坏时的载 t

如果在室温 ，即

t

对内层

t

如 温度为：2700F，工作温度为700F，即内层将先破△T=-