人教A版必修五 应用举例 作业

双基限时练(五)1．如图，B，C，D三点在地面同一直线上，CD＝a，从C，D两点测得A点仰角分别为β，α(β＞α)，则点A离地面的高度等于()\f(asinαcosβ,cosα－β) \f(acosαsinβ,cosα－β)\f(asinαcosβ,sinβ－α) \f(asinαsinβ,sinβ－α)解析在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AC,sinα)＝eq\f(CD,sinβ－α)，∴AC＝eq\f(asinα,sinβ－α).在Rt△ABC中，AB＝ACsinβ＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α).答案D2．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高度为()A．20(1＋eq\r(3))m B．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))mC．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m D．10(eq\r(6)＋eq\r(2))m解析如图所示，易知AD＝CD＝AB＝20(m)，在Rt△ADE中，DE＝ADtan60°＝20eq\r(3)(m)．∴塔吊的高度为CE＝CD＋DE＝20(1＋eq\r(3))(m)．答案A3．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()\f(400,3)m \f(400\r(3),3)m\f(200\r(3),3)m \f(200,3)m解析由山顶看塔底的俯角为60°，可知山脚与塔底的水平距离为eq\f(200,\r(3))，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为xm，则200－x＝eq\f(200,\r(3))×eq\f(\r(3),3)，∴x＝eq\f(400,3)m.答案A4．如图，一船从C处向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里解析由题意知AB＝BD＝10，所以CD＝eq\f(1,2)BD＝5.故这只船的速度是10海里/答案C5．如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D同在水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为()A．18eq\r(3)m B．20eq\r(3)mC．32m D．24eq\r(3)m解析在Rt△ACD中，∠DAC＝60°，∴CD＝ADtan60°＝eq\r(3)AD.在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝eq\r(3)AD.在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即242＝AD2＋3AD2－2×eq\r(3)AD2×eq\f(\r(3),2)，∴AD＝24.故CD＝24eq\r(3)(m)．答案D6．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝旋转后的方向走3km后他离最开始的出发点恰好为eq\r(3)km，那么x的值为________．解析如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理，得(eq\r(3))2＝32＋x2－2×3×xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x1＝eq\r(3)，x2＝2eq\r(3)，经检验都适合题意．答案eq\r(3)或2eq\r(3)7．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．解析由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°.由正弦定理BC＝eq\f(AB,sin∠ACB)·sin∠BAC＝eq\f(30,sin15°)·sin30°＝eq\f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))．在Rt△BDC中，CD＝eq\f(\r(2),2)BC＝15(eq\r(3)＋1)>38.答案无8．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲梯顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝________解析在Rt△ABD中，AB＝24，∠BAD＝30°，∴BD＝ABtan30°＝8eq\r(3).在△ACE中，CE＝AE·tanα＝BDtan30°＝8.∴CD＝CE＋DE＝24＋8＝32(米)．答案329．甲船自某港出发时，乙船在离港7海里的海上驶向该港，已知两船的航向成120°角，甲、乙两船航速之比为2：1，求两船间距离最短时，各离该海港多远？解如图所示，甲船由A港沿AE方向行驶，乙船由D处向A港行驶，显然∠EAD＝60°.设乙船航行到B处行驶了s海里，此时A船行驶到C处，则AB＝7－s，AC＝2s，而∠EAD＝60°，由余弦定理，得BC2＝4s2＋(7－s)2－4s(7－s)cos60°＝7(s－2)2＋21(0≤s<7)．∴s＝2时，BC最小为eq\r(21)，此时AB＝5，AC＝4.即甲船离港4海里，乙船离港5故两船间距离最短时，甲船离港4海里，乙船离港510.如图，甲船在A处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，则甲船应朝什么方向航行才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？解设到C点甲船遇上乙船，则AC＝eq\r(3)BC，B＝120°，由正弦定理，知eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，sin∠CAB＝eq