精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结-培优1

全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如全等，记作≌（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．ABCDEF4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”ABCDEF如图，在和中≌【典型例题】ABDC例1．如图，≌，点B与点D是对应点，，且，，求的度数及的面积．ABDCABECFD例2．如图，≌，，求ABECFD例3．如图，已知：AB=AD，AC=AE，BC=DE，求证：AABECD例4．如图AB=DE，BC=EF，AD=CF，求证：ABCDFABCDFE（2）AB//DE，BC//EF全等三角形（二）【知识要点】定义：SASABCEDF两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”ABCEDF如图，在和中，≌ADBEADBEC【例1】已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.【例2】如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.AABDEC12【例3】如图已知：AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度数.BBEAFCO【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，EABCD求证：①CE=AC+DC；EABCD【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。DDABCE全等三角形（三）ASAABABCASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．如图，在与中DEFDEFASA公理推论（AAS公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．【典型例题】【例1】下列条件不可推得和全等的条件是（）A.AB=AB，，B.AB=AB，AC=AC，BC=CC.AB=AB，AC=AC，D.AB=AB，，ADBEADBECFABDEABDECABCDABCDP1234【例5】如图，，AC=AE，求证：DE=BC112A43BCDEO全等三角形（四）强化训练1、如图，△是等边三角形，点、、分别是线段、、上的点，（1）若，问△是等边三角形吗？试证明你的结论；（2）若△是等边三角形，问成立吗？试证明你的结论．2、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）3、△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在AC、AB上，且DE⊥DF，试判断DE、DF的数量关系，并说明理由．4、已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点．（1）求证：；（2）求证：；5、如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？6、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC，在AM上取点D，使BD=BC，且DB与AC所在直线交于E，求证：CD=CE。7、Rt△ABC，AB=AC,BM是中线，AD⊥BM交BC于D，求证：∠AMB=∠CMD。8、如图，已知△ABC是等边三角形，∠BDC＝120º，说明AD=BD+CD的理由。9、已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。10、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN易证△BCD≌△ACE所以∠DBC=∠EAC再证△BCN≌△ACM(ASA)∴CM=CN第五章全等三角形拓展延伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于“把相等的边（角）放入正确的三角形中”，去说明“相等的边（角）所在的三角形全等”，利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是初中里面一个非常常见而又重要的方法。例1：已知AE既是∠BAC的平分线，也是∠BDC的平分线，试说明AB=AC思路：AB在△ABD中，AC在△ACD中，要说明AB=AC，尝试说明△ABD与△ACD全等。观察图形发现两个三角形存在公共边AD题目所给条件可以得到两组角相等，再根据三个条件的位置，利用ASA，可得三角形全等再利用全等三角形的对应边相等，得到AB=AC例2：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，BD⊥AE，CE⊥AE，如果CE=5，BD=11，请你求出DE的长度。思路：抓住题目中所给的一组相等线段AB=AC进行分析，对它们的位置进行分析，发现AB、AC分别位于一个Rt△中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个Rt△全等。那么：已经存在了两组等量关系：AB=AC，直角=直角.可以求证△ABD≌△ACE。练习1.小明说：“三角形一边的两个端点到这边上的中线所在直线的距离相等。”你认为小明的话有道理吗？为什么？分析：如图，题目的意思是要你说明哪两条线段相等呢?_______＝_______∴我们只需要说明________≌________解：练习2．在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，△A