习题余弦定理

余弦定理►基础达标1．△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为()A．5B．8C．5或－8D．－5或8解析：由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0.∵b＞0，∴b＝8.选B.答案：B2．在△ABC中，已知三边a＝3，b＝5，c＝7，则三角形ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定解析：何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)＜0，所以C为钝角，故选C.答案：C3．在△ABC中，有下列结论：①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＜0，∴A为钝角，正确；②cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°，错误；③cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＞0，∴C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶eq\r(3)∶2，错误．故选A.答案：A4．在△ABC中，a＝7，b＝8，cosC＝eq\f(13,14)，则最大角的余弦值是()A．－eq\f(1,5)B．－eq\f(1,6)C．－eq\f(1,7)D．－eq\f(1,8)解析：由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝9，所以c＝3，因为b＞a＞c，所以角B最大，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,7)，故选C.答案：C5．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝eq\r(10)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值为()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(2,3)\f(2,3)\f(3,2)解析：由余弦定理得：cos∠CAB＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(1,4)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3×2×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).答案：D►巩固提高6．已知在△ABC中，eq\f(c,b)＝eq\f(cosC,cosB)，则此三角形为()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形解析：由eq\f(c,b)＝eq\f(cosC,cosB)知eq\f(c,b)＝eq\f(\f(a2＋b2－c2,2ab),\f(a2＋c2－b2,2ac))，化简得b＝c.答案：C7．在锐角ABC中，若a＝3，b＝3，则边长c的取值范围是________．解析：因为b＞a，所以只要∠B，∠C为锐角即可，只要cosB＞0，cosC＞0.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)，\r(13)))8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x,5x(x>0)，则cos60°＝eq\f(64x2＋25x2－142,80x2)，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故另两边长分别是16,10.所以这个三角形的面积S＝eq\f(1,2)×16×10·sin60°＝40eq\r(3).答案：40eq\r(3)9．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝eq\r(3)sinAsinC，求B的度数．解析：因为sin2B－sin2C－sin2A＝eq\r(3)sinAsinC，由正弦定理得：b2－c2－a2＝eq\r(3)ac，由余弦定理得：cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝－eq\f(\r(3),2)，又0°＜B＜180°，∴B＝150°.10．已知△ABC的顶点为A(1，eq\r(3))，B(－2,2eq\r(3))，C(0,0)，求∠ACB.解析：由两点间距离公式得：AB＝eq\r(1＋22＋\r(3)－2\r(3)2)＝eq\r(12)，AC＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，BC＝eq\r(－22＋2\r(3)2)＝4.在△ABC中由余弦定理得：cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(1,2).∴∠ACB＝60°.1．余弦定理是三角形边角