习题2：基本不等式

§基本不等式1.设0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()\f(1,2)B．a2＋b2C．2ab D．a2．已知x＜eq\f(5,4)，则函数y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值是()A．2B．3C．1 \f(1,2)3．设a、b是正实数，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A、B的大小关系是()A．A≥BB．A≤BC．A＞B D．A＜B4．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则()A．x＝eq\f(a＋b,2)B．x≤eq\f(a＋b,2)C．x＞eq\f(a＋b,2) D．x≥eq\f(a＋b,2)5．设a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8B．4C．1 \f(1,4)6．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一个是()A．a2＋b2B．2eq\r(ab)C．2ab D．a＋b7．若0<x<1，则x(1－x)的最大值为________．8．已知a是正实数，x＝eq\f(1,2\r(a))，y＝eq\f(1,2\r(a＋1))，z＝eq\f(1,\r(a)＋\r(a＋1))，则x、y、z从大到小的顺序是__________．9.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．10.某商场预计全年分批购入每台2000元的电视机共3600台．每批都购入x台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元．现在全年只有24000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．详解答案1.[答案]B[解析]∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜eq\f(1,2)，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2eq\r(ab)，∴ab＜eq\f(1,4)，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，即a2＋b2＞eq\f(1,2)..解法2：特值检验法：取a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，则2ab＝eq\f(4,9)，a2＋b2＝eq\f(5,9)，∵eq\f(5,9)＞eq\f(1,2)＞eq\f(4,9)＞eq\f(1,3)，∴a2＋b2最大．2.[答案]C[解析]∵x＜eq\f(5,4)，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝4x－5＋eq\f(1,4x－5)＋3＝3－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))≤3－2＝1，等号在5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时成立，故选C.3.[答案]C[解析]∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝(a＋b＋2eq\r(ab))－(a＋b)＝2eq\r(ab)＞0，∴A2＞B2，∵A>0，B>0，∴A＞B.[点评]可取特值检验．4.[答案]B[解析]∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.∴1＋x＝eq\r(1＋a1＋b)≤eq\f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq\f(a＋b,2)，∴x≤eq\f(a＋b,2)，等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．5.[答案]B[解析]根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4.当a＝b＝eq\f(1,2)时“＝”成立．6.[答案]D[解析]解法1：∵0<a<1,0<b<1，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2eq\r(ab)，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.解法2：取a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，则a2＋b2＝eq\f(13,36)，2eq\r(ab)＝eq\f(\r(6),3)，2ab＝eq\f(1,3)，a＋b＝eq\f(5,6)，显然eq\f(5,6)最大．7.[答案]eq\f(1,4)[解析]∵0<x<1，∴1－x>0，∴x(1－x)≤[eq\f(x＋1－x,2)]2＝eq\f(1,4)，等号在x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)时成立，∴所求最大值为eq\f(1,4).8.[答案]x>z>y[解析]∵a>0，∴2eq\r(a)<eq\r(a)＋eq\r(a＋1)<2eq\r(a＋1)∴eq\f(1,2\r(a))>eq\f(1,\r(a)＋\r(a＋1))>eq\f(1,2\r(a＋1))，即x>z>y.9.[解析]不对．设左右臂长分别为l1，l2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b，真实重量为G，则由杠杆平衡原理有：l1·G＝l2·a，①l2·G＝l1·b，②①×②得G2＝ab，∴G＝eq\r(ab)，由于l1≠l2，故a≠b，由均值不等式eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数.10.[解析]设总费用为y元(y＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k，则y＝eq\f(3600,x)×400＋k(2000x)，依条件，当x＝400时，y