上海市长宁区2022届高三上学期高考一模数学试题 带详解

长宁区2021-2122学年高三年级第一学期教学质量检测试卷2021.12.14考生注意：1.答题前，务必在答题纸上将姓名，学校，班级等信息填写清楚，并贴好条形码；2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷，草稿纸上的答案一律不予评分；3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，则____________2.的二项展开式中的系数为____________3.____________4.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则____________5.在直角坐标系中，角的始边为正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点，则____________6.位同学被推荐担任进博会个指定展馆服务志愿者，每人负责个展馆，每个展馆只需位同学，则共有____________种不同的安排方法.7.已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为____________8.在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）9.设，若，则的最大值为____________10.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________11.已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________．12.设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（）A. B.C D.15.已知平面经过圆柱旋转轴，点是在圆柱的侧面上，但不在平面上，则下列个命题中真命题的个数是（）①总存在直线且与异面；②总存在直线且；③总存在平面且；④总存在平面且.A.l B.2 C.3 D.416.若函数的值域为，则的取值范围为（）A. B.C. D.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.在直三棱柱中，.（1）求四棱锥体积；（2）求直线与平面所成角的正切值.18.已知三个内角所对的边分别为（1）若，求的面积；（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值.19.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.（1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；（2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）20已知函数.（1）求证：函数是上的减函数；（2）已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.21.城市道路大多是纵横交错的矩形网格状，从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离，而是沿着网格走的直角距离，在直角坐标系中，定义点的“直角距离”为：，设.（1）写出一个满足的点的坐标；（2）过点作斜率为的直线，点分别是直线上的动点，求的最小值；（3）设，记方程的曲线为，类比椭圆研究曲线的性质（结论不要求证明），并在所给坐标系中画出该曲线；

长宁区2021-2122学年高三年级第一学期教学质量检测试卷2021.12.14考生注意：1.答题前，务必在答题纸上将姓名，学校，班级等信息填写清楚，并贴好条形码；2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷，草稿纸上的答案一律不予评分；3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合，则____________【答案】【解析】【分析】直接根据集合运算求解即可.【详解】解：因为，所以故答案为：2.的二项展开式中的系数为____________【答案】【解析】【分析】根据二项式定理计算即可.【详解】解：展开式的通项公式为，故当时，的二项展开式中的项为，其系数为.故答案为：3.____________【答案】【解析】【分析】由于，进而根据极限法则求极限即可得答案.【详解】.故答案为：4.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则____________【答案】【解析】【分析】本题可先根据增广矩阵还原出相应的线性方程组，然后将解代入线性方程组即可得到、的值，最终可得出结果．【详解】解：由题意，可知：此增广矩阵对应的线性方程组为：，将解代入上面方程组，可得：．所以故答案为：．5.在直角坐标系中，角的始边为正半轴，顶点为坐标原点，若角的终边经过点，则____________【答案】##【解析】【分析】结合三角函数的定义、诱导公式求得正确答案.【详解】.故答案为：6.位同学被推荐担任进博会个指定展馆服务志愿者，每人负责个展馆，每个展馆只需位同学，则共有____________种不同的安排方法.【答案】【解析】【分析】利用排列计算出正确答案.【详解】位同学被推荐担任进博会个指定展馆服务志愿者，每人负责个展馆，每个展馆只需位同学，则共有种不同的安排方法.故答案为：7.已知双曲线的左，右焦点为，过的直线与双曲线的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则的边长为____________【答案】【解析】【分析】根据题意，结合双曲线的定义求解即可.【详解】解：如图，设的边长为，，因为为等边三角形，所以，由双曲线的方程知，所以由双曲线的定义得，即，解得，.所以的边长为.故答案：.8.在复平面内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）【答案】（2）（3）【解析】【分析】结合复数运算对四个式子进行分析，由此确定正确答案.【详解】，所以（1）错误.，，所以（4）错误.设，.，所以（2）正确.，所以（3）正确.故答案为：（2）（3）9.设，若，则的最大值为____________【答案】【解析】【分析】由指对互化对数换地公式得，再根据基本不等式得，进而得.【详解】解：因为，所以，所以，因为，所以，故，所以故的最大值为.故答案为：.10.已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________【答案】【解析】【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值.【详解】取得最小值，则公差，或，（1）当，，所以的最小值为.（2）当，不合题意.综上所述：的最小值为.故答案为：11.已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】设，进而根据题意得是方程的两个实数根，故，进而得，再根据直线与轴交于点得，最后结合对勾函数求解即可.【详解】解：设所以的中点坐标为，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的两个实数根，所以，所以，故由于直线与轴交于点所以，即，因为对勾函数的取值范围是，所以，故答案为：12.设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________【答案】【解析】【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案.【详解】解：设是在点处切线，因为曲线与函数的图像关于直线对称，所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，所以的方程为故联立方程得，即，所以，解得所以的取值范围为故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先利用分式不等式的解法将解得或，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为，所以，所以，即，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B14.给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得平均数、中位数、众数，由此确定正确选项.【详解】，平均数，中位数，众数，所以故选：B15.已知平面经过圆柱的旋转轴，点是在圆柱的侧面上，但不在平面上，则下列个命题中真命题的个数是（）①总存在直线且与异面；②总存在直线且；③总存在平面且；④总存在平面且.A.l B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据空间位置关系可直接判断.【详解】解：由已知得直线与平面可能平行，也可能相交，所以一定存在直线，且与异面，故①正确；一定存在直线，且，故②正确；一定存在平面，且，故③正确；当直线与平面相交时，不存在存在平面，且，故④错误；所以4个命题中真命题的个数是3个.故选：C16.若函数的值域为，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题知，再结合函数值值域得，再结合余弦函数的单调性求解即可得答案【详解】解：，，令，则，因为，所以，因为函数的值域为，则所以，即，因为，函数单调递减，所以的取值范围为故选：A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.在直三棱柱中，.（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得平面，进而根据体积公式计算即可；（2）由题可证平面，进而是直线与平面所成角，再计算即可得答案.【小问1详解】解：因为直三棱柱中，平面，所以，因为，所以平面，因为，所以所以四棱锥的体积.【小问2详解】解：因为直三棱柱中，平面，所以因为，所以平面，因为在直三棱柱中，，所以平面，故连接，，则是直线与平面所成角，所以，所以直线与平面所成角的正切值为.18.已知三个内角所对的边分别为（1）若，求的面积；（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题知，进而根据余弦定理，结合已知得，，再根据三角形面积公式计算即可；（2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可.【小问1详解】解：因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以的面积为.【小问2详解】解：因为线段的中点为，，，所以在中，由，解得（舍），所以在中，，即，因为，所以，所以由正弦定理得外接圆半经满足，所以外接圆半径19.随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.（1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；（2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得；（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得.【小问1详解】解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元，所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为，所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元，所以.【小问2详解】解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加，所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，所以从第七年起，第年的养护保险费用为，所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为.经计算器计算得时，最小.20.已知函数.（1）求证：函数是上的减函数；（2）已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）2

【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）假设函数的图像存在对称中心，进而根据题意将问题转化为恒成立，进而得，解方程即可得答案；（3）根据题意