《高等数学》知识在物理学中应用举例

《高等数学》学习知识在物理学中的应用举例《高等数学》学习知识在物理学中的应用举例10/10《高等数学》学习知识在物理学中的应用举例《高等数学》知识在物理学中的应用举例一导数与微分的应用解析利用导数与微分的看法与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵便运用各样导数和微分公式解决详尽问题。例1如图，曲柄OAr,以均匀角速度饶定点O转动.此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动.求连杆上C点的轨道方程及速度.设ACCBa,AOB,ABO.y解1)如图，点C的坐标为：xrcosacos，(1)Ayasin.(2)C由三角形的正弦定理，有Br2a,oxsinsin故得sin2asin2y.(3)rr由(1)得cosxacosxa2y2(4)rr由(3)2(4)2sin2cos21,得4y2x2a2y22xa2y2r2r21,化简整理,得C点的轨道方程为:4x2(a2y2)(x23y2a2r2)2.要求C点的速度,第一对(1),(2)分别求导,得xrsinrcossin,yrcos,2cos2其中.1又由于rsin2asin,对该式两边分别求导,得cos.2acos因此C点的速度Vx2y2(rsinrcossin)2r22co2s2cos4rco2s4sincossin().2cos例2若一矿山起落机作加速度运动时,其加速度为ac(1sint),式中c及2TT为常数,已知起落机的初速度为零,试求运动开始t秒后起落机的速度及其所走过的行程.解:由题设及加速度的微分形式adv,有dtdvc(1sint)dt,2T同等式两边同时积分vctsint)dt,dv(1002T得:vctc2TcostD,2T其中D为常数.由初始条件:v0,t0,得D2Tc,于是vc[t2T(cost1)].2T又由于vds,得dtdsc[t2T(cost1)]dt,2T同等式两边同时积分,可得:sc[1t22T(2Tsintt)].22T2例3宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c.一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。解以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴，如图成立坐标系。因此水流速度为yky,0yd,v2ddk(dy),yd.2ox由河流中心处水流速度为c，故ckdk(dd)，因此k2c.22d当0yd时，v2cy，即2ddx2cy,yut,(1)dtd得dx2cutdt.d两边积分，有xt2cudxtdt,00dxcut2,(2)d由(1)-(2)，得xcy2,0yd.(3)ud2同理，当dyd时，v2c(dy)，即2ddx2c(dy)2c(dut),dtdddx2c(dut)dt，dx2cycy2D，(4)uud3其中D为一常数。由(3)知，当yd时，xcd，代入(4)，得Dcd，于是24u2ux2cycy2cd,dyd.uud2u2xcy2,0yd,因此船的轨迹为ud22cycy2cd,dxyd.uud2u2船在对岸的靠拢地点，即yd时有xcd.2u例4将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即Rmk2gv2.如上掷时的速度为v0，试证此质点又落至扔掷点时的速度为v1v0.k2v021解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为：vR上升：mymgmk2gy2,。。下降：mymgmk2gy2.mgv上升时R下降时mg对上升的阶段：dvg(1k2v2)，即dvdyvdvg(1k2v2),dtdydtdyvdvgdy.0vdvh于是1k2v2两边积分v01k2v2gdy，0得质点到达的高度h1ln(122).(1)2gkv02k对下降的阶段：dvdyvdvg(1k2v2),即得v1vdvgdy,得0dydtdy01k2v2hh1ln(1k2v12).(2)2k2g由(1)=(2)得v1v0.1k2v024二积分的应用解析利用积分的看法与运算，可解决一些关于某个地域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个地域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个地域进步行累积。并应充分利用地域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决详尽问题。2例5一半径为R的非均质圆球，在距中心r处的密度为：0(1r),R2式中0和都是常数。试求此圆球饶直径转动时的辗转半径。解：设dm表示距球心为r的一薄球壳的质量，则r2dr0r2(1r2dm2)dr，R因此此球对球心的转动惯量为R2dmR4(1r20R575.(1)Ir0r2)dr00R35在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为I2I，(2)3又因球的质量为RR2(1r20R353(3)mdm0r2)dr.00R15又饶直径的辗转半径kI,(4)m1410.由(1)-(4)，得k21R35例6试证明立方体饶其对角线转动时的辗转半径为kd，式中d为对角32线的长度。解：成立坐标系，设O为立方体的中心，轴Ox,Oy,Oz分别与立方体的边平行。由对称性知，Ox,Oy,Oz轴即立方体中心惯量的主轴。成立方体的边长为a.5由以上所设，平行于Ox轴的一小方条的体积为adydz，于是立方体饶Ox的转动惯量为aamIx22a(y222.aaz)dydza226依照对称性得：IxIyIzma2.6易知立方体的对角线与Ox,Oy,Oz轴的夹角都为,且cos1,故立方体3饶对角线的转动惯量为IIxcos2Iycos2Izcos2ma2.(1)6又由于d3a,(2)饶其对角线转动时的辗转半径为kI,(3)m由(1)-(3)得kd.2例7一个塑料圆盘，半径为R,电荷q均匀分布于表面，圆盘饶经过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为，求圆盘中心处的磁感觉强度。解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不相同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为，圆盘表面上所带的电荷面密度为2盘上取一半径为r，宽度为dr的细圆环，它所带的电量为dq动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为dI2rdrrdr，2它在轴线上距盘心x处的P点所产生的磁感觉强度为dB0r2dI0r2rdr2x2)322(r2x2)322(r0r332dr,2(r2x2)

q2，在圆Rrdr，圆盘转6故P点处的总磁感觉强度为0Rr3B20(r2x2)32dr,变换积分(r2r32)32dr(r2r2)12drx2(r2r2)32drxxx因此B0[R2x2x22x]0qR22x22R2x22R2[2x]，R2x2B的方向与方向相同(q0)或(q0).于是在圆盘中心x0处，磁感觉强度B0q.2R例8雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。解：设雨滴的本体为m.由物理学知d(mv)F.(1)dt在办理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。关于雨滴，我们常将它看作球形，设其半径为r,则雨滴质量m是与半径r的三次方成正比，密度看成是不变的，于是mk1r3，(2)其中k1为常数。由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即dmk4r2k2r2,(3)dt其中k2为常数。由(2)，得dmk13r2dr.(4)dtdt由(3)=(4)，得drk2.(5)dt3k17对(5)两边积分：rtdrdt,得a0rta,(6)将(6)代入(2)，得mk1(ta)3.(7)3）以雨滴下降的方向为正，解析(1)式d[k1(ta)3v]k1(ta)3g,(8)dtvta)3v]tta)3gdt,d[k1(k1(00k1(ta)3v1k1g(ta)4k3,（k3为常数）4当t0时，v0，故k3k1ga4,vg[taa4a)3].44(t三曲线、曲面积分的应用解析曲线、曲面积分的看法与运算在物理学中应用特别广泛，灵便应用曲线、曲面积分，常常能使问题获取简化。在求磁感觉强度、磁通量这类问题时，高斯公式常常是有效的。例9设力FFxiFyjFzk,其中Fx6abz3y20bx3y2,Fy6abxz310bx4y,Fz18abxyz2,考据F为保守力，并求出其势能。解：为考据F可否为保守力，将题设中力F的表达式代入F，得ijkFxyzFxFxFxFzFyFxFz)jFyFx)k(z)i(x(yyzx(18abxz218abxz2)i(18abz2y18abz2y)j(6abz340abx3y6abz340abx3y)k0,于是F是保守力。故其势能为8(x,y,z)(FxdxFydyFzdz)VFdr(0,0,0)(x,0,0)(x,y,0)10bx4y)dy(6abz3y20bx3y2)dx(6abxz3(0,0,0)(x,0,0)(x,y,z)6abxyz3.18abxyz2dz5bx4y2(x,y,0)例10一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度kr,式中r是径向距离，k是常量。求空间的场强分布，并求E与r的关系。解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因此可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。1)当rR时，Eds1q,而0Eds1q0由(1)=(2)，得E(r)

E4r2，(1)1dv1r2drkr4,(2)kr4r0000r2,方向为径向方向。402)当rR时，由高斯定理E1q,有ds0EdsE4r2,(3)1q1dv1Rkr4r2drkR4,(4)00000由(3)=(4)，得E(r)kR4,方向沿径向方向。40r2例11一根很长的铜导线，载有电流10A，在导线内部经过中心线作一平面S试计算经过导线1m长的S平面内的磁感觉通量。解：由电流分布拥有轴对称性可知，其产生的磁场也拥有轴对称性，以下用安培环路定理求解。取以轴线为圆心的半径为r的同心圆环为积分环路，由安培环路定理Bdl0I，有Bdl2rB,(1)9(rR):0I01r2,(2)R2由(1)=(2)，因此有B0Ir.2R2在剖面上取面积微元dsldr，有dBds0I2rldr.2R因此单位长(l1m)的导线内经过剖面的磁通量为0Ir0I47106R10ddr4410Wb.s02R2例12在半径为R的金属球之外包有一层均匀介质层，外半径为R.设电介质的相对电容率为r,金属球的电荷量为Q,求：介质层内、外的