南通市海门区2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案

南通市海门区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.在以下图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.反比例函数y＝的图象在（）A.第一、三象限 B.第二、四象限C.第一、二象限 D.第三、四象限3.如图，点A、B、D都在⊙O上，若∠ABD=40°，则∠AOD度数为（）A.40° B.80° C.100° D.140°4.抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A.（3，5） B.（﹣3，5） C.（3，﹣5） D.（﹣3，﹣5）5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则sinA的值为（）A. B. C. D.6.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB=2，OC=5，AB=4，则CD的长为（）A.7 B.8 C.9 D.107.用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1＝0时，下列变形正确的为（）A.（x﹣4）2＝17 B.（x+4）2＝17 C.（x﹣4）2＝15 D.（x+4）2＝158.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球．每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定于0.4，则n的值为（）A.6 B.10 C.14 D.189.已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y3＞y1 C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y210.如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是（）A.4 B.4 C.8 D.8二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11.点M（－3，2）关于原点对称点的坐标是__________________．12.方程x2＋10x＝0的解是______．13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC的长为______．14.已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm．15.如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为______m．16.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得△A′BC′，点A旋转后的对应点为点A′，连接AA′．若BC=3，AC=4，则AA′的长为______．17.如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____．

18.如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：（1）；（2）（m＋2）．20.解方程：（1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；（2）．21.有四张仅正面分别标有1，2，3，4的不透明纸片，除所标数字不同外，其余都完全相同，将四张纸片洗匀后背面向上放在桌上，现一次性从中随机抽取两张，用树状图法成列表法，求所抽取数字之和为5的概率．22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．​23.已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．

（1）求∠AOB度数；（2）若⊙O的半径为2cm，求∠ODB的正切值．24.某汽车油箱的容积为70L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300km远的省城接客人，接到客人后立即按原路返回请回答下列问题：（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？（2）小王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小王始终以此速度行驶，不需要加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？25.如图，已知∠ABP＝15°，AB＝4，C射线BP上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是；（填写所有符合条件的序号）①；②：③．（2）根据（1）中选择的条件，画出草图，求BC的长；（3）若点A关于BP的对称点是点A1，且△AA1C是等边三角形，求BC的长（直接写出结果）．26.定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”．（1）下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是（只填序号）；（2）直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值；（3）抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.在以下图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据中心对称图形的定义依次判断即可．【详解】解：由图可知A、C、D均不是中心对称图形，B是中心对称图形故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形．解题的关键在于正确判断图形的对称性．2.反比例函数y＝的图象在（）A.第一、三象限 B.第二、四象限C.第一、二象限 D.第三、四象限【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的性质作答．【详解】解：∵，

∴反比例函数y＝的图像分布在第一、三象限．

故选A．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题关键是熟记反比例函数图像得性质．3.如图，点A、B、D都在⊙O上，若∠ABD=40°，则∠AOD的度数为（）A.40° B.80° C.100° D.140°【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半求解．【详解】解：∵∠ABD=40°，∴∠AOD=2∠ABD=2×40°=80°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是掌握据同弧所对圆周角与圆心角的关系．4.抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A.（3，5） B.（﹣3，5） C.（3，﹣5） D.（﹣3，﹣5）【答案】B【解析】【分析】抛物线的顶点式是y=a(X-h)2+k，它的顶点是P(h,k)【详解】解：抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B．【点睛】本题考查抛物线的顶点式.掌握抛物线的顶点式的形式是解题的关键.5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则sinA的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，∴sinA=，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．6.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB=2，OC=5，AB=4，则CD的长为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【解析】【分析】利用8字模型的相似三角形证明△AOB∽△DOC，然后利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴CD=10，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型的相似三角形是解题的关键．7.用配方法解一元二次方程x2﹣8x+1＝0时，下列变形正确的为（）A.（x﹣4）2＝17 B.（x+4）2＝17 C.（x﹣4）2＝15 D.（x+4）2＝15【答案】C【解析】【分析】把一元二次方程左边变成完全平方式即可．【详解】解：x2﹣8x+1＝0，移项得：x2﹣8x＝﹣1，配方得：x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程的求解，熟练掌握配方法的原理及变形步骤是解题关键．8.在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球．每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定于0.4，则n的值为（）A.6 B.10 C.14 D.18【答案】B【解析】【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，∴n=4÷0.4，解得：n=10．故选B．【点睛】此题考查利用频率估计概率，掌握运算法则是解题关键．9.已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A.y3＞y2＞y1 B.y2＞y3＞y1 C.y1＞y2＞y3 D.y1＞y3＞y2【答案】D【解析】【分析】把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y1、y2、y3的值，然后比较它们的大小．【详解】解：∵反比例函数y=-图象上三个点坐标分别是A（-1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3），∴y1=-=2，y2=-=-1，y3=-．∵-1＜-＜2，∴y2＜y3＜y1．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点坐标都满足该函数解析式．10.如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠CAB=60°，点E是对角线AC上的一个动点，连接DE，以DE为斜边作Rt△DEF，使得∠DEF=60°，且点F和点A位于DE的两侧，当点E从点A运动到点C时，动点F的运动路径长是（）A4 B.4 C.8 D.8【答案】B【解析】【分析】当E与A点重合时和E与C重合时，根据F的位置，可知F的运动路径是FF'的长；证明四边形FDAF'是平行四边形，即可求解．【详解】解：当E与A点重合时，点F位于点F'处，当E与C点重合时，点F位于点F处，如图，∴F的运动路径是线段FF'的长；∵AB=4，∠CAB=60°，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB=8，AD=BC==4，当E与A点重合时，在Rt△ADF'中，AD=4，∠DAF'=60°，∠ADF'=30°，AF'=AD=2，∠AF'D=90°，当E与C重合时，∠DCF=60°，∠CDF=30°，CD=AB=4，∴∠FDF'=90°，∠DF'F=30°，CF=CD=2，∴∠FDF'=∠AF'D=90°，DF=2，∴DF∥AF'，DF=AF'2，∴四边形FDAF'是平行四边形，∴FF'=AD=4，故选：B．【点睛】本题考查点的轨迹；能够根据F点的运动情况，分析出F点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键．二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11.点M（－3，2）关于原点对称的点的坐标是__________________．【答案】(3,-2)【解析】【详解】试题解析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），∴点M（-3，2）关于原点中心对称的点的坐标是（3，-2）．12.方程x2＋10x＝0的解是______．【答案】x1=0，x2=-10【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】解：x2+10x=0，x（x+10）=0，∴x=0或x+10=0，∴x1=0，x2=-10；故答案为：x1=0，x2=-10．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝，则BC的长为______．【答案】1【解析】【分析】由锐角三角函数定义可知，在直角三角形中，余弦是该角的邻边与斜边的比．因此在本题中cosA＝，可通过已知条件求出AB，由勾股定理即可求出另一直角边BC的长．详解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，，又根据勾股定理，，．故答案为：1．【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题的关键．14.已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为_____cm．【答案】5【解析】【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可．【详解】设圆锥的母线长为Rcm，圆锥的底面周长＝2π×2＝4π，则×4π×R＝10π，解得，R＝5（cm）故答案为:5【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15.如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为______m．【答案】【解析】【分析】由题意知，有，，可得，，根据计算求解即可．【详解】解：由题意知∴解得∴∴解得故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于确定线段的数量关系．16.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°得△A′BC′，点A旋转后的对应点为点A′，连接AA′．若BC=3，AC=4，则AA′的长为______．【答案】【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AB=5，再利用旋转的性质得BA′=BA=5，∠A′BA=90°，则可判断△A′BA为等腰直角三角形，即可求出答案．【详解】解：△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△BA′C′，∴BA′=BA=5，∠A′BA=90°，∴△A′BA为等腰直角三角形，∴A′A=，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，熟练应用勾股定理．17.如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____．

【答案】【解析】【详解】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，∴a==5，∵PH⊥x轴于H，∴PH=5，OH=12，∴tan∠POH=，故答案为．18.如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________【答案】【解析】【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【详解】∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=1，设AD=x，则FD=x−1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，解得x1=，x2=(负值舍去)，经检验x1=是原方程的解，即．故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：（1）；（2）（m＋2）．【答案】（1）；（2）2m+6．【解析】【分析】（1）原式利用负整数指数幂法则，二次根式性质，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【小问1详解】解：=；【小问2详解】解：（m＋2）=2（m+3）=2m+6．【点睛】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.解方程：（1）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2；（2）．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）先移项，用平方差公式进行因式分解，然后求解即可；（2）先配方，然后直接开平方计算求解即可．【小问1详解】解：∴或解得或∴方程的解为或．【小问2详解】解：∴或解得或∴方程的解为或．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方式进行求解．21.有四张仅正面分别标有1，2，3，4的不透明纸片，除所标数字不同外，其余都完全相同，将四张纸片洗匀后背面向上放在桌上，现一次性从中随机抽取两张，用树状图法成列表法，求所抽取数字之和为5的概率．【答案】【解析】【分析】应用列表法列出表格，找出所有等可能的情况，再找出和为5的所有情况，即可以求出所抽取数字和为5的概率是多少．【详解】解：12341——(1，2)(1，3)(1，4)2(2，1)——(2，3)(2，4)3(3，1)(3，2)——(3，4)4(4，1)(4，2)(4，3)——共有12种等可能性的结果，其中数字和为5的有4种可能性，分别是：(2，3)、(3，2)、(1，4)、(4，1)；抽取数字和为5概率为：P（和为5）=，【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．22.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．​【答案】90米【解析】【分析】根据相似三角形的性质得出,进而代入求出即可．【详解】解答：根据题意得出：QR∥ST，

则△PQR∽△PST，

故，

∵QS=45m，ST=90m，QR=60m，

∴，

解得：PQ=90（m），

∴河的宽度为90米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△PQR∽△PST是解题关键．23.已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB．

（1）求∠AOB的度数；（2）若⊙O的半径为2cm，求∠ODB的正切值．【答案】（1）∠AOB=120°；（2）∠ODB的正切值为：．【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出∠OAD=90°，然后证明OA∥BD，再根据已知OC平分∠AOB，证明△OCB是等边三角形，即可解答；（2）要求∠ODB的正切值，想到构造直角三角形，所以过点O作OE⊥BD，垂足为E，然后利用垂径定理求出BE，再利用勾股定理求出OE，最后证明四边形OADE是矩形，即可解答．【小问1详解】解：∵AM为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAD=90°，∵BD⊥AM，∴∠BDM=90°，∴∠OAD=∠BDM=90°，∴OA∥BD，∴∠AOB+∠B=180°，∠AOC=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠COB，∴∠COB=∠OBC=∠OCB，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=∠OBC=∠OCB=60°，∴∠AOB=120°；【小问2详解】解：过点O作OE⊥BD，垂足为E，

∴BE=EC=BC，∵△OCB是等边三角形，∴OB=BC=2cm，∴BE=1cm，∴OE=(cm)，∵∠OAD=∠OED=∠ADE=90°，∴四边形OADE是矩形，∴OA=DE=2cm，在Rt△OED中，tan∠ODB=，∴∠ODB的正切值为：．【点睛】本题考查了切线性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质，垂径定理是解题的关键．24.某汽车油箱的容积为70L，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到300km远的省城接客人，接到客人后立即按原路返回请回答下列问题：（1）油箱加满油后，汽车行驶的总路程s（单位：km）与平均耗油量b（单位：L/km）有怎样的函数关系？（2）小王以平均每千米耗油0.1L的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍．如果小王始终以此速度行驶，不需要加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？【答案】（1）；（2）不能，到县城至少还需加20L油．【解析】【分析】（1）仔细分析题意即可得到能够行驶的总路程与平均耗油量之间的关系;（2）先求得小王驾驶汽车以此速度行驶所需的油量，即可做出判断.【小问1详解】解：由题意可得；【小问2详解】解：不能，理由如下：0.1×300=30（L），0.2×300=60（L），30+60=90>70，不加油不能回到县城，30+60-70=20（L），到县城至少还需加20L油．【点睛】本题主要考查反比函数的应用、有理数混合运算的应用，理解题意，分析实际问题中的各数量关系，找到等量关系式是解答的关键．25.如图，已知∠ABP＝15°，AB＝4，C是射线BP上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是；（填写所有符合条件的序号）①；②：③．（2）根据（1）中选择的条件，画出草图，求BC的长；（3）若点A关于BP的对称点是点A1，且△AA1C是等边三角形，求BC的长（直接写出结果）．【答案】（1）①③（2）当时，；当时，（3）8或【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，添加或时，可求唯一确定的长；（2）通过条件画出相应的草图，通过构建直角三角形，利用直角三角形的性质即可求出边长；（3）分两种情况讨论，当点C在的右侧时，根据等边三角形的性质和轴对称的性质可以得到的度数，从而计算出结果，再讨论点C在的左侧时，根据的度数可以得到的长度，再计算出的度数，最后得到最终的答案．【小问1详解】解：当添加条件时，已知三角形两个角和其中一条边长，根据全等的判定方法（AAS），可以确定一个三角形，BC长度可确定；当添加时，已知两边和一边的对角（SSA），不能确定BC边的长度；当添加时，已知两边和夹角（ASA），根据全等的判定方法，可以确定一个三角形，BC长度可确定；所以可以唯一确定BC长的是或，故答案为①③；【小问2详解】解：当时，如下图，过点B作，交的延长线与E，∵，，∴，又∵∴，∴，∵，∴，∵，，∴，；当时，如下图，过点B作，交AC的延长线于F，

∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，，综上所述：当时，，当时，；【小问3详解】如下图，当点C在的右侧时，设与的交点为O，∵点A关于的对称点是点