习题椭圆的标准方程

椭圆的标准方程一、选择题1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件解析：若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，P点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．答案：B2．设P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2为直角三角形．答案：B3．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是()A.(±3,0) B.(±eq\f(1,3)，0)C.(±eq\f(3,20)，0) D.(0，±eq\f(3,20))解析：椭圆的标准方程为eq\f(x2,\f(1,25))＋eq\f(y2,\f(1,16))＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝eq\f(1,16)，b2＝eq\f(1,25)，所以c2＝a2－b2＝eq\f(1,16)－eq\f(1,25)＝eq\f(9,400)，故c＝eq\f(3,20).所以所求焦点坐标为(0，±eq\f(3,20))．答案：D4．若方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是()A.(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) B.[eq\f(π,3)，eq\f(π,2))C.(eq\f(π,6)，eq\f(π,2)) D.[eq\f(π,6)，eq\f(π,2))解析：∵方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴8sinα>4，sinα>eq\f(1,2).∵α为锐角，∴eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).答案：C二、填空题5．一个焦点坐标是(0,4)，过点B(1，eq\r(15))的椭圆的标准方程为__________．解析：设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∴a2－b2＝16，①又过点B(1，eq\r(15))，∴eq\f(15,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，②∴由①②知，a2＝20，b2＝4，∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.答案：eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝16．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2eq\r(15)，则此椭圆的标准方程为________．解析：本题考查椭圆的标准方程．由已知，2a＝8,2c＝2eq\r(15)，∴a＝4，c＝eq\r(15)，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋x2＝1.答案：eq\f(y2,16)＋x2＝17．已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m)＝1(m>0)并且焦距为6，则实数m的值为__________．解析：∵2c＝6，∴c＝3.当焦点在x轴上时，a2＝25，∴m＝16.当焦点在y轴上时，b2＝25，∴m＝34.答案：16或34三、解答题8．求经过点A(eq\r(3)，－2)和点B(－2eq\r(3)，1)的椭圆的标准方程．解：法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝15，,b2＝5.))所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15.))因为a<b，所以方程无解．故所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.9．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，∴|C