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文档简介
第四章、数值微分与数值积分hh0f
'
(x)
lim
f
(x
h)
f
(x)数值微分1、差商型求导公式由导数定义hh2hf
'
(x)
f
(x
h)
f
(x)f
'
(x)
f
(x)
f
(x
h)f
(x
h)
f
(x
h)f
'
(x)
（1）向前差商公式（2）向后差商公式（3）中心差商公式
（中点方法
）x-h
xx+hBCATf(x)差商型求导公式的余项''h
2f
(x
h)
f
(x)f
"
(x
h)f
(x)
hf
(x)
f
(x
h)f
"
(x
h)f
(x)
1
h
O(h)2
2
h
O(h)f
'
(x)
f
(x
h)
f
(x
h)2h
f
(x
1h)
f
(x
2
h)(3)
(3)h2
O(h2
)60
1
,2
1由Taylor公式从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确；从舍入误差的角度来看，步长不宜太小。2、插值型求导公式'''n
(x)
df
(n1)
(
)n1
(x)f(n1)
(
)(
n1)
n1
n1(n
1)!
f
(x)
P
(x)
(x)
f
(
)(n
1)!
(n
1)!
dx若已(i
0,1,
,n)，可用其插值似函数f
(x)的导数。由
Rn
(x)
f
(x)
Pn
(x)
'
''nin
i(n
1)!f
(n1)
(
)
f(n1)
(
)j
0j
if
(x
)
P
(x
)
xj
)对任意x
[a,b]，因未知，故上式很难估计误差，但若只求某个节点上的导数值，误差可估计.因此，插值型求导公式通常用于求节点处导数的近似值.两点公式01010
1'1f
(x
).1hx
x1
x
xP
(x)
f
(x
)
x
xx1
x0
P
(x)
[
f
(x0
)
f
(x1
)]设给出两节点(x0
,
f
(x0
)),(x1,
f
(x1
)),
记x1
x0
h有'1
010'1
110'"1
01'"1
12112h1hhh12hh
),
).
P
(
x
)
[
f
(
x
)
f
(
x
)],P
(
x
)
f
(
x
)
[
f
(
x1
)
f
(
x0
)]
f
(f
(
x
)
[
f
(
x1
)
f
(
x0
)]
f
([
f
(
x
)
f
(
x
)]；带余项的两点公式是：''nif
(
)(n1)j
0j
if
(x
)
P
x
j)三点公式20122
0
2
12
00
12f
(x
)f
(x
),(x
x1
)(x
x2
)P
(x)
(x0
x1
)(x0
x2
)
(x
x0
)(x
x2
)
f
(x
)
(x
x0
)(x
x1
)(x1
x0
)(x1
x2
)
(x
x
)(x
x
)P
(x
th)
1
(t
1)(t
2)
f
(x
)
t(t
2)
f
(x
)x2
x0
2h上的设已给出三个节点x0
,
x1
x0
h,函数值,可构造插值多项式：令x
x0
th,则22
1
t(t
1)
f
(x
),2
002
00
1
22
10
22
20
1
22h2h2h2h
(4t
4)
f
(
x1
)
(2t
1)
f
(
x2
)].
P'
(
x
)
1
[3
f
(
x
)
4
f
(
x
)
f
(
x
)];上式对t求导：
P'
(
x
th)
1
[(2t
3)
f
(
x
)P'(x
)
1
[
f
(x
)
f
(x
)];
（中点公式）P'
(
x
)
1
[
f
(
x
)
4
f
(
x
)＋3f
(
x
)].'"'0'"'1'"'21363h22h1h22h1h22hf
(
).f
(x
)
[3
f
(x0
)
4
f
(x1
)
f
(x2
)]
f
(x
)
[
f
(x0
)
f
(x2
)]
f
(x
)
带余项的三点求导公式：f
(
);
（中点公式）[
f
(x0
)
4
f
(x1
)＋3f
(x2
)]
''nf
(xif
(n1)
(
)j
0j
if
(
);
x
j)可利用插值多项式，建立高阶数值微分公式f
(k
)
(x)
P(k
)
(x),
k
1,
2,m2
002
00
1
22
11
1
1"(4)121122hh2h2h2h(
).
P"
(x
)
1
[
f
(x
h)
2
f
(x
)
f
(x
h)],f
(x
)
[
f
(x1
h)
2
f
(x1
)
f
(x1
h)]
f例：对
P'
(x
th)
1
[(2t
3)
f
(x
)(4t
4)
f
(x1
)(2t
1)f
(x2
)].再对t求导，有
P"
(x
th)
1
[(
f
(x
)
2
f
(x
)
f
(x
)],带余项的二阶三点公式：同样，针对m也可扩展，如五点插值求积公式。3、样条求导k
jmj
1
2mj
jmj
1
g
j(
j
1,
2,
,
n
1);三次样条函数S
(x)及其一、二阶导数均一致收敛于导数近似函数导数f
(
k
)
(x)
S
(
k
)
(x)
(k
1,
2,
)不仅可靠性好，且可计算非节点处导数的近似值.其截断误差为：f
(k
)(x)
S
(k
)(x)
O(h4k
).对等距划分a
x0
x1
xn
b,
且xk
1
xk
h,三次样条S3
(x)在节点上的导数值S
(xk
)
mk
满足下列连续性方程组在给定一类边界条件下，求解方程组得出的mk即可作为导数f
'
(x
)的近似值.数值积分fn
(x)
常取插值或分段插值多项式.En
(
f
)
f
(x)的原函数不存在或不适宜计算;只有f
(x)的离散数据点b求
I
(
f
)
f
(x)dx的近似数值.a简单想法：用简单函数fn的积分bI
(
fn
)
fn
(x)dxa作为
I
(
f
)
的近似值，误差：baf
(x)
fn
(x)
dx.§1.插值型求积公式P(x)是f
(x)的插值多项式：b
bP(x)
f
(x)
f(x)dx
P(x)dxa
a12b
ab
ab
x
-
a
x
ba
b(f(a)
f(b))a
I
(
f
)
b
-
a
f(b)
a
b
f(a)dx
(
一)
过
a,b
两点: f(x)
P(x)
x
a
f(b)
x
b
f(a)y=P1(
)直边梯形代替曲边梯形y=f(
)称梯形公式
y0(二)
抛物型求积公式222a
b(x
a
b)(x
b)(x
a)(x
b)f
(
a
b)P(x)
2
f(a)
(a
a
b)(a
b)(
a
b
a)(
a
b
b)2
22(x
a)(x
a
b)
2
f(b)(b
a)(b
a
b)2(x
a
b)(x
b)
f
(a)
2(x
a)(x
b)
f
(
a
b)(b
a)2
2
2[a,b]
区间二等分：a,, b,
作抛物线2
(x
a)(x
a
b)
f
(b)262bab
a
a
bI
(
f
)
P
(x)dx
f
(a)
4
f
f
(b)y=P2(x)y=f(x)称Simpson公式a（a+b）/2
b(三.1)
Newton-Cotes求积公式inh
b
a将[a,
b]
n
等分:
x
a
ih,
i
0,1, ,
n,0niw(x)P
(x)
f(x ),
w(x)
(x
x
)
(x
xn
)(x
xi
)w'(xi
)i0则
n
1
个节点的插值多项式为：n)nnw(x)i
i
bbI(f)
Pai0
ai0称n阶
Newton-Cotes
求积公式.(a
th
a
nh)(三.2)计算系数Ai作变换x
a
th,
0
t
n,
由于w(x)
(a
th
a)(a
th
a
h)(a
th
a
2h)
th(t
1)h (t
n)h
hn1t(t
1) (t
n),w'(xi
)
ihi1
h
(
1)h
(
(
hni
!
(n
-
i)
!
1ni
,0bnaw(x)hdtxi
)w'(xi
)dt.ni
n(xi
xk
(i
hn1t(t
1) (t
n)0
(1)
h
(i!)(n
i)!h(t
i)(1)ni
h
n
t(t
1) (t
n)dx
i!(n
i)! (t
i)故有Ai
(x
0iiidtA
(1)ni
n
t(t
1) (t
n)C(n)
b
a n(i!)(n
i)!(t
i)记C(n)是不依赖于
f(x)
与
[a,b]
的常数，只与n
有关.(三.3)
Newton-Cotes系数(n)ii0C
(n)
C(n)可以证明
1,
由此可以推出当
C(n)
0
时插值型求积公式有数值稳定性.i当
n
8
时出现负数,
n
8
时不常用.n
4
时成
Cotes
求积公式.n)C(n)i0b
Pan(
n
)iCn12345678kCn1112
1(n)(1)niCi
n(i!)(n
2b
aI
(
f
)
(f(a)
f(b)6I
(
f
)
b
,nn(n)k(n)k
kk(n)kknn(n)k
kk
kkC
(
n)
Ck
0k
0
k
0[
f
(xk
)
f
(xk
)]C
(b
a)(b
a)
(b
a).
C
(b
a)
Newton-Cotes公式的稳定性系数C(n)及节点值x
可以精确给出,误差来k
k自函数值f
(xk
)的计算.设f
(xk
)为准确值，f
(xk
)为计算值，令
k
f
(xk
)
f
(xk
)，则（b
a)记
max
,
若C均为正数，则得若C(n)有正负（n
8),稳定性没有保证.k
0ni=0(n)Ci
1§2.梯形、抛物线公式的误差估计n
n(n)k
k
i
iak
0
i0f
(x)dx
A f
(x
)=(b
a)
f
(x
)C
b定义（代数精确度）对一个一般的求积公式：其中Ak
是不依赖于
f
(x)
的常数.若
f
(x)
为任意一个次数不高于
n
的代数多项式时，式中等号成立；而对f
(x)
是
n
1
次多项式时不全精确成立，则称该求积公式有
n
次代数精确度.衡量插值型求积公式的精度,可以用多项式的次数作为标准.12!f
(x)
P
(x)
f
''(
)
(x
a)(x
b),
a
b梯形求积公式的代数精确度由梯形公式的误差：b
I
(
f
)
P1(x)dx.a当
f
(x)
是一次多项式时，132a
aab3
a3b
af
(x)dx
x2dx
P
(x)dx
(a2
b2
),bb
bf
'(x)
0
f
(x)
P1(x)但当
f
(x)
x2
时，因此代数精确度是1.f
(x)
Pn
(x)
a
b.(n
1)!
w(x),Newton
Cotes
求积公式有误差：f
(n1)
(
)bnf
(n1)
(x)
0
I(f)
P
(x)dx
,当f
(x)为n
次多项式时a从而至少有
n
次代数精确度.Newton-Cotes求积公式的代数精确度a
aaa0n/2nnn2n/2
j
0n
1)!(t
n)dt
hn2
j)du
0.n
hn2
t(t
1)
(u
(令x
a
th)(令t
u
)2b
b从而，
q(x)dx
Pn
(x)dx，a
a即Newton
Cotes
求积公式当n
为偶数时至少有n
1次代数精确度.n=偶数时，考虑n+1次多项式q(x)
xn1,则q(n1)
(x)
(n
1)!,
积分误差为b梯形公式的截断误差212f''
(),b
a(b
a)3[
f
(a)
f(b)]
(a,b).bR(
f)
f(x)dx
a定理:
若
f(x)
C2[a,
b],
则：则积分值小于计算值;注意：当
f''(x)
0,
x
[a,b],反之类似.12R(x)
f(x)
P(x)
f''(
)
(x
a)(x
b)ξ
(a,b)证明：由插值公式余项：2b
bf
''
(
)(x
a)(x
b)dx,
R(f)
[
f
(x)
P1
(x)]dx
a
af
''
(
)
在[a,b]上连续
m
f''()
M
,由于
x
(a,b)
时(x
a)(x
b)
0b
b
M(x
a)(x
b)dx
f''(
)(x
a)(x
b)dxa
ab
m(x
a)(x
b)dx,ab
m
a
M
f''(
)(x
a)(x
b)dxb(x
a)(x
b)dx612aaf''
()f''().(b
a)3(b
a)3b
f''()(x
a)(x
b)dx
a
存在
η
[a,
b]
使
(积分中值定理):b
f''
(
)(x
a)(x
b)dx故，R(f)
(4)622880b
a
a
b
f(a)
4
f()
f(b)a
(b
a)5f
(
),
ξ
(a,b).bR(f)
f(x)dx
抛物求积(Simpson)公式的截断误差定理 若
f(x)
C
4
[a,
b],
则:证明思路:用插值多项式表示，且与抛物公式值相同，2,
用插值余项公式求出
R(x)
f(x)
n(x),b3,
利用积分中值定理求出
R(x)dx的表示.a1,将f
(3
322
2
2P
(
a
b
)
f(
a
b
)
, P
'(
a
b
)
f
'(
a
b
)由于抛物公式代数精确度是3.可构造一个f
(x)的三次插值多项式,与抛物公式值相等.
而且:
P3(a)
f(a)
,
P3(b)
f(b)抛物求积公式误差证明(1)224!212b(
4
)af
(
4)
(
)a
bR(x)
f(x)
P3
(x)
(x
a)(x
)
(x
b)
(a,b)a
b(
)(x
a)(x
)
(x
b)dx
R(x)dx
4!b
fa则可以证明，插值余项：62bab
aa
bP3
(x)dx
[P3
(a)
4P3
(b)
P3
(b)]
P2
(x)dxa6
2baab
aa
b[
f
(a)
4
f
(
)
f
(b)]bf
(x)dx
P2
(x)dx
证明:求积公式抛物求积公式误差证明(2)12a4!a
R(f)
)2
(x
bb
f
(4)
(
)(x
a)(x
由于三次2由：f
(4)
(
)
在
[a,
b]上连续，当
x
(a,b)
时:(x
a)(x
a
b
)2
(x
b)
0222880af
(4)
(),a
b)2
(x
b)dxa
b(b
a)5)2
(x
b)dx
(a,
b)b
f
(4)
(
)(x
a)(x
b
f
(4)
()
(x
a)(x
a由积分中值定理.存在η
(a,b)使§3.
复化公式及其误差估计误差公式:
区间越小,
误差更小——复化。k k
1(一).
复化梯形公式.[a,b]
n
等分,
节点
xk
a
kh
, k
0,1,
,n,h
b
a
对每个小区间
[
x
,x]用梯形公式,n然后累加.12f''
()
,(b
a)3R(
f
)
(4)2880(b
a)5R(
f
)
f
(
)222kbaxkknkf(x)dxf
(x
))f
(x
))xk
1n1k
0xk
1k
1n1k
1k
0k
0k
0
k
1I
f
(x)
dx
xk(
f
(x
)
f
(x
))n1
k
0n1
h
(
f
(x
)
n1
h
(
f
(x
)
k
nk
12
h
f(a)
f(b)
2
f(a
kh)
Tn1—复化梯形公式.[a,
b]2n等分,可得T2n
:复化梯形公式的分半加密算法T2n2n1k
11
h
2
2(
)
f(a)
f
(b)
2
f
(a
kh
/
2)nhn1k
1k
1h
f
(a)
f
(b)
2f
a
2k
2f(a
(2k1)h
/
2)2
4
2nn
n
n1
hn1k
1f
(a)
f
(b)
2f
(a
kh)
hf
a
(2k
1)
h
k
12
2
2
2n
1
(T
H
),
H
h
f
a
(2k
1)
b
a
Hn为所有新增分点函数值之和乘步长.2nn1k
1h
T
f(a)
f(b)
2f(a
kh)复化抛物型公式由于抛物线公式用到区间中点，故可将区间看作等分偶数份.22hnx2
k
2f
(x)dx
[
f
(x
)
4
f
(x
)
f
(x
)],6
2k
2
2k
1
2k
x2k
2
.则有x2
k其中，h
b
a
x2k62I
(
f
)
b
a
f
(a)
4
f
a
b
f
(b)
2令n
2m,
m是整数,在每个[x2k
2
上用抛物线公式：32km2k2k2k2kf
(x)dxk
1
x2
k
22k
22k
1k
12k
1k
12k
1k
1k
1)
4
f
(x)
f
(x
))3
k
0
k
1)3
SnI
m
h
f
(x
h
m1
mf
(x
)
4mf
(x
)
f
(x
h
f
(a)
f
(b)
4mm1f
(x
)
2
f
(x称复化Simpson
公式''2
''12121212nka[a,b]bnnh3nh3nnf
''
(
)h
f
()
)n1n1k
0k
0f
(
))
b
aR(
f
,
T
)
f
(x)dx
T
h2
f
''(),
(a,b)h
b
a(R(
f
,
T
)
(
k
定理1
：
若
f
(x)
C2
，则其中复化公式误差2880[a,b]anh4
f
(4)
(),b
a
(a,b)h
b
a
.bR(
f
, Sn
)
f
(x)dx
Sn
定理2: 若
f
(x)
C4
，则其中12b
af''
()R(f)
(ba)311212bkaf
"(x)dxh2
h2h2n1k
0R(
f
,
T
)
I
T
1
n
n
[
f
"'(b)
f
"'(a)],180
24
h
f
'(
)
12
当h
0时，
I
Tn
1
［f
'
(b)
f
'
(a)］.类似地，对于复化的Simpson法I－Sn
1h4若步长h减半(n加倍），则梯形法、Simpson法与Cotes法的误差分别减至原误差的1／4，1／16与1／64.hp定义:如果一种复化求积公式In
,当h
0时成立I－In渐近关系式
C
(C
0定数），则称求积公式In是p阶收敛的.n1计算积分
I
exdx0T
计算n
?，复化求积例保留五位有效数字.试用x
(0,1)
:用
Sn
计算
n
?解.
f
(x)
f
'(x)
f
(4)
(x)
exf
'(x)
f
(4)
(x)
e12
12
2nR(
f
,
T
)
b
a
h2
f
"
()
1
eh2
1
104则
lg
1
4
lge
lg6
1.82807
1
n
68.h
2
h112880
2nR(
f
,
S
)
eh
4
1
104lg
1
4
lge
lg1440
0.318983
1
n
3.h1
4
h1自动选步长计算12n
nnR(
f
,T
)
b
a
h f
''(
),
(a,b)由误差要求可定出n，但事先难估计：应边算边估计进而加密，n
等分计算Tn
:12
22n2n2nR(
f
,T
)
b
a
(
h
)2
f
'(
),
(a,
b)取
2n
等分计算
T2n
:2n2n(
)
[4
f
'(12
2b
a
h
T2n
Tn
)
f
'
(
)]2n2nf
'(T2n
Tn
b
a
(
h
)212
2)
3
3(I
T
).若
n
充分大
f''
(
)
在
(a,
b)
上连续且
f''(n
)
f''
(2n
),
则32n2nn
I
T
1
(T
T
)T2n当
Tn
3
时，
I
T2n
(要求误差)24
22
41nb2n2ni1n
2,n
4,T
1
T
b
aT2n
2
Tn
f
a
(2i
1)计算过T2
n
Tn
3
?每次检验自动分半的
Simpson公式4
(4)4
(4)2880288016nnn2nn2nhhf
(
)b
aR(
f
,
S
)
b
aR(
f
,
S
)
f
(
)
1152n2n2nnS2n16(I
I
S
1
S
S
15
当
Sn时
I
S2n
(要求只要利用公式不断计算新分点之函数值，S2
，
S4
…，
Sn
，
S2n
…
/2用
Tn
,
Sn
及
Newton-Cotes
公式计算I
sin
xdx.0复化求积例（3）Tn
.99429
,Sn
1.00003
,填上值：x0122123124125122sin00.2580.50.7070.8660.9651Cn
1.000003
,
0.0057
0.00003
0.000003§4.Richardson外推算法Tn与Sn关系的启发:233
3nnnn1k
11
h
Sn
3
2
1
T
2
H
f
(a)
f
(b)
2
f
(x2k
)
h
f
(x2k
1
)k
12
23
32n
nnn
2nnT
1
T
1
H
S
4
T
1
T
4T2n
Tn4
1又T
~
O(h2
)
S
~
O(h4
),n
nT
的线性组合就能提高收敛阶数!(3m2kf
(x
)
)m12k
1k
1k
1h
f
(a)
f
(b)
2f
(x
)
41kR(
F
*
)
F
*
F
(h)
a
hP1
a
hP2
a
hPk
一个数值积分值F
*，用步长h
的复化求积公式F
(h)误差公式:1
1
2其中
0
P1
P2
Pk
,
ai
是与
h
无关的常数,i
1,2,
.称
F
(h)
是
hP1
阶1函数如何仅通过构造
的F1
线性组合产生更高阶
近F呢2
(？kF*
F
(qh)
a
(qh)P1
a
(qh)P21
1
2
a
(qh)Pk
改变步长 h
qh
:
111
1
21
12kP
*PkqP1P1
)hP2
a
hPk(1
q
)F
F
(qh)
q
F
(h)
a
(
a
(P1
)hPk
乘F
*
F
(h)
a
hP1
a
hP2
与上式减12*
1
1
2PP
)PP1a
2
hF
(qh)
q
F
(h)
F
a(2)
hP2其中，
1
qP1
0.2F
*~ O(hP2
).F
(qh)
qP1
F
(h)1
qP1令
F2
(h)
1
1
则
F
(h)
PmmmmF
(qh)
qPm1
F
(h)F
(h)
m1
m1
,m
2,
31
qPm1
a(m)hPm
~
O(hPm
).依次类推，只要取
0,
则则
F
*
F
(h)通过适当线性组合就可以明显提高 近阶!§5.Romberg求积法1hO(h4
),4T0
(
)
T0
(h)T(h)
2
4
12hO(h6
),16T1
(
)
T1
(h)T
(h)
2
16
122
mm22mhTm1
()
Tm1
(h)1m
1,
2,一般
T
(h)
2
近阶为O(h2(m1)),取
q
1
,
P
2
,
P
4,
P
6,2
0
1
2同样可继续推广(Richardson外推算法)：)3
3n
2nn(
S
4
T
1
T
4T2n
Tn4
1mm1F (qh)
qP
F
(h)F
(h)
m1
m1
,m
2,
31
qPm1两个步长分别为
h
,
0.5h
的低级计算值的线性组合产生一个高级计算值，因此不断地分半计算是必须的：2km2k22m
Tm1m12k
1(
h
)
T
(
h
)1m
1,2,
,22mk
0,1,
2,一般
T
(
h
)
近阶为O(h2(m1)),22nn
1
T
1
H
)Romberg算法(只表示梯形公式：T0
h
Tn
,T2n248161
1
12423210242321022101
h1
h21
h
(
1
h)
(
1
h)
(
1
h)
(
1
h)3
(h)2
(
2
h)1
(
4
h)0
(
8
h)
(h)
(
1
h)
(
1
h)
(h)
(
1
h)32100
(h)步长h1
hm2kk
可以证明：1，
固定m: lim
T
(
h
)=I.Romberg求积法的收敛性m2km2，
固定
k:
lim
T
(
h
)=I.2(
1)2(m1)T
(
h
)
T
(
h
),m
2k
m1
2k
1注意：当m
充分大时,近的改善变慢,一般只使用到因此随m
增Romberg
值.2km2k
22m
0,
从而
hh22m
Tm1m12k
1(
)
T
(
)T
(
h
)
102222kkk
1
T
1
H
)1,
k
等分[a,b]T
(h)
b
a
[f
(a)
f
(b)],(只表示梯形公式：TRomberg算法333(2km2k22m2k2k22m
Tm1m1h2k
1h2k
1)
T
(
h
)2,
T
(
h
)
,
m
1,2,3,13,
k
0,1,T
(
h
)
T()
计算则停机，输出
T
(
h
)
的值.§6.
公式Newton-Cotes求积公式是封闭型的（区间[a,b]的两端点a,b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，它的代数精确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数).而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅Ak而且xk也加以选取,这就可以增加 度，从而可提高求积公式的代数精确度.nbak
0求积公式f
(x)dx
Ak
f
(xk
)含有2n
2个待定参数xk
,
Ak
,
k
0,1,
,
n,
适当选择这些参数使其具有2n+1次代数精度.这类求积公式称为
公式.xk
(k
0,1,
,
n)是
点.nbanaP(x)(x)dx
0.f
(x)dx
Ak
f
(xk
)定理：插值型求积公式其节点xk
(k
0,1,k
0,
n)是
点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式(x)
(x
xk
)k
0与任意次数不超过n的多项式P(x)均正交：bnbaa(k
0,1,P(x)(x)dx
0.P(x)(x)dx
Ak
P(xk
)(xk
)必要性证明：设P(x)是次数不超过n的多项式则P(x)(x)次数不超过2n＋1,
若xk
是又因(xk
)
0bk
0,n),
故有充分性证明：对一次数不超过2n
1的多项数f
(x),用（x)除f
(x)，则有f
(x)
P(x)(x)
Q(x),bbbaaanbabk
kanbaP(x)Q(x)dxAk
Q(xk
)A
f
(x
)k
0k
0k
0f
(x)dx
Q(x)dx
Q(x)dx
f
(x)dx
Ak
f
(xk
)由由于所给求积公式是插值型的，故有又由(xk
)
0,知Q(xk
)
f
(xk
),从而有n于是可见此求积公式对一切次数不超过2n
1的多项式均能准确成立，因此xk为
点。f
(x)
P(x)(x)dx
0
－勒让德公式1nAk
f
(xk
)1f
(x)dx
k
0此为勒让德正交多项式Pn+1
(x)的零点就。2210
11233
31f
(x)dx
A
f
(
1
)
A
f
(
1
)例：取P
(x)
(3x
1),
其两个零点为1
。求积公式为令它对f
(x)
1,x成立，有011
A0
A1
2
A
11
1
A
A
0A
1
10
3
1
3
f
(
x)dx
f
1
f
1
.3
3
两点11133
3111f
(
1
)
f
(
1
)
2f
(x)dx
2
,3f
(x)dx
0,f
(
1
)
f
(
1
)
03
3f
(x)dx
f
(
1
)
f
(
1
)3
3验证：分别令f
(x)
x2
,x3
,x4
,则带权的公式bak
0
(x)
f
(x)dx
Ak
f
(xk
)对于任意次数不超过2n
1的多项式均能准确n成立121nkf
(x)11
x21
xx
cos
2k
1
,k
0,1,
,
n.
2n
2dx
Ak
f
(xk
)称其为带权的当
(x),x
[1,1]时，所建立的公式称为k
0点为n+1次切－切
公式.多项式的零点:11001
0
01
10
01
120
01
132;527x
Ak
0
x2
A
x
f
(x)dx
Ak
f
(xk
)
A0
f
(x0
)
A1
f
(x1
)例：构造下列形式的
公式：解：令它对于f
(x)
1,x,x2
,x3准确成立，得
A
2
;
由于x
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