步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习26对数与对数函数(含答案详析)

第6讲对数与对数函数一、填空题logx，x>0，11．已知函数f(x)＝2则ff4＝________.3x，x≤0，111剖析因为f4＝log24＝－2，因此ff4＝－21f(－2)＝3＝9.1答案92．函数y＝ln(1－x)的图象大体为________．剖析由1－x>0，知x<1，消除①、②；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝lnt为增函数，因此y＝ln(1－x)为减函数，应选③.答案③3．若实数x满足log3x＝1＋sinθ，则|x－1|＋|x－9|的值为________．剖析log3x＝1＋sinθ∈[0,2]，x＝31＋sinθ∈[1,9]，|x－1|＋|x－9|＝x－1＋9－x＝8.答案84．已知函数1f(x)＝log2x＋1，x≥0，a的取值范围为1x若f(3－2a2)＞f(a)，则实数2－1，x＜0.________．剖析画图象可得f(x)是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f(3－2a2)f(a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－32或a＞1.3答案－∞，－2∪(1，＋∞)5．已知函数f(x)＝lgx．若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.剖析∵f(x)＝lgx，f(ab)＝1，∴lg(ab)＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2lga＋2lgb＝2lg(ab)＝2.答案26．已知a＝5b＝10，则1＋1＝________.2ab剖析∵2a＝5b＝10，∴a＝log2，＝，利用换底公式可得：1＋10blog510a1＝log10＋10＝10＝2.b2log5log10答案27．设a>0且a≠1，函数f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式loga2(x5x＋7)>0的解集为________．剖析∵函数y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0<a<1.∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0<x2－5x＋7<1，解得2<x<3.∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集为(2,3)．答案(2,3)8．定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是________．剖析由已知条件可知，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－log2(－x)．当x∈(0，＋∞)时，f(x)<－1，1即为log2x<－1，解得0<x<2；当x∈(－∞，0)时，f(x)<－1，即为－log2(－x)<－1，解得x<－2.1因此f(x)<－1的解集为(－∞，－2)∪0，2.1答案(－∞，－2)∪0，2．函数12f(x)＝log2(x－2x－3)的单调递加区间是________．921剖析设t＝x－2x－3，则y＝log2t.由t＞0解得x＜－1或x＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，1在(3，＋∞)上为增函数．而函数y＝log2t为关于t的减函数，因此函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)．答案(－∞，－1)10．已知表中的对数值有且只有一个是错误的.x

3

5

6

8

9lgx

2a－b

a＋c－1

1＋a－b－c

3(1－a－c)

2(2a－b)试将错误的对数值加以改正为

________．剖析

由2a－b＝lg3，得

lg9＝2lg3＝2(2a－b)，从而

lg3和

lg9正确，假设lg5＝a＋c－1错误，由1＋a－b－c＝lg6＝lg2＋lg3，31－a－c＝lg8＝3lg2，lg2＝1－a－c，得因此lg5＝1－lg2＝a＋c.lg3＝2a－b，因此lg5＝a＋c－1错误，正确结论是lg5＝a＋c.答案lg5＝a＋c二、解答题11．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)可否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，若是存在，试求出a的值；若是不存在，请说明原由．解(1)由题设知3－ax>0对所有x∈[0,2]恒成立，又a>0且a≠1，故g(x)＝3ax在[0,2]上为减函数，3从而g(2)＝3－2a>0，因此a<2，3因此a的取值范围为(0,1)∪1，2.(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，333即loga(3－a)＝1，得a＝2，此时f(x)＝log23－2x，当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．12．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)若是对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(x)>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．解(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，因此log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]．2(2)由f(x)·f(x)>k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，令t＝log2x，因为x∈[1,4]，因此t＝log2x∈[0,2]，因此(3－4t)(3－t)>k·t对所有t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；3－4t3－t9②当t∈(0,2]时，k<t恒成立，即k<4t＋t－15，因为4t＋9≥12，当且仅当4t＝9，即t＝3时取等号，tt29因此4t＋t－15的最小值为－3，综上，k∈(－∞，－3)．13．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a>1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象．(1)写出函数g(x)的剖析式；(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．解(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．x＋1(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga1－x≥m.1＋x设F(x)＝loga1－x，x∈[0,1)，由题意知，只要F(x)min≥m即可．F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．1－x14．已知函数f(x)＝－x＋log21＋x.11(1)求f2014＋f－2014的值；(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)可否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明原由．解(1)由f(x)＋f(－x)＝log21－x＋log21＋x＝log2＝0.1＋x1－x