2008年全国高中数学联赛预赛

2008年高中数赛江西省预若函数f(x)=lg(ax2-4x+a-3)的值域为R,则实数a的取值范围是( ).(A)(4,+∞) (B)[0,4] (C)(0,4)(D)(-∞,-1)∪(4,+∞)设a2+b2=1(b≠0).若直线ax+by b26+21则的取值b范围是 )

6n3n15n-1皆为完全平方数.对于以下两个命题::7n13必为合数817n23n)必为两个平方数的和你的判断是 )甲对乙 (B)甲错乙 (D)甲乙都不一定(A

-1,

[-11 7P1,1作直线l (-∞,-1]∪[1,+∞)(D)[-2,2]

9+41所截得的弦的中点恰为P.线l的方程 (x-12)2+(x-12)2+18273641,且AB=41.则CD= )

f(x)

x2+1(A) (B) (C) (D)x则k= )(A) (B) (C) (D)

9.在四面体ABCD中,面ABC与面BCD成60的二面角,顶点A在面BCD上的射影H是△BCD的垂心,G是△ABC的重心.若AH=4,AB=AC,则GH= 设a=(2+7)2n+1,b是a的小 20sin40sin 部分.则当n N+时,anbn的值( ). 11.已知数列{an}满足a1=1,且对每个 (B)必为偶 N,a 是方程x2+3nx+b=0 n+ 设(a,b)=d,a=a1d,b=b1d,(a1,b1) 一个除以4余数为

2s+2ab 11是一个奇数

a143x+ a1+ a1=4k-1( N+)

b12s+2整除

因为(a1,a1+b1

=14整除a1b14的13a1b141,

4xy](4k- x+

4xy.x+(提供两个根.

k=

bk

b从前2008个正整数构成的集合M={1,2,⋯,2008}kA,

a

(-∞,-1]∪[1,+差整除k的最大值为ADRt△ABC斜边BC上的高(ABAC,I1I2ABD、△ACD的内△AI1I2OABAC于点EF,EFBC交于M.:I1I2分别是△ODM的内心、旁心.xyzxyyz

CD其余的棱皆与AB相邻接13AB不妨设BC=13.据构成三角形条件知AC{7,18,27}]AC=36]BD=]{AD,CD}={18,于是,在△ABD中,两边之和小于第三边, AB41,CD13 x+y+y+z+z+x≥2对于2n元集合M=1,2,⋯,2nn

ABCD可作出(如取BC=7,AC=36,BD=18,AD=27).kA={a1,a2,⋯,an},B={b1,b2,⋯,bn 则由条件f(x)恒为0,取x ,得k 满足A∪B=M,A∩B=?, ak k= k=

=(-1kk为奇数则称A∪B是集合M的一种“等和划分 设k=2n-1.则上式变M={1,2,⋯,12}共有多少种等和划分?一1.f(x)的值域为R,应使真数ax2-4xa-3可取到一切正数a0;或者a0且42-4aa-3)≥0.将y=2- b(3a2+b2)x2-12ax+12-6b2=因直,,判别式Δ12a2-43a2b212-6b2

=-n2,n为偶数n2n2mk4m-故选择支中只有k3满足题意u2+7,v2-7u+v=4,uv=-uvx24x3的两个根.,u24u3,v24v3.所以当n≥2,un=4un-1+3un-2,vn=4vn-1+3vn-Snunvn则当n≥2,SnSn-1Sn-2,S02,S1Sn为偶数利用a2+b2=1,化简得a2

7+2)2n+1-

7-2)2n+2n+=u2n+1+v2n+2n+

= 8.](7+2)2n+1=2k+

7-22n 如图1,取0<(7-22n+11

-22n+1

7ab=(7-22n+17

12再作ABACBDab=(7+2)2n+1

7-22n n AC=32n1(设3n+1=a2,5n-1=b2(a N+).7n+13=9(3n+1)-4(5n-=(3a)2-(2b)=(3a-2b)(3a+ 故知3a-2b为正整数3a-2b127n+9=(3a)2=(2b+1)2=4b2+4b+即27n4n2n-4|

BD=PAPxf(x)=|CP|+|DP当CPD三点共线时,f值最小.此时,fmin=|CD|=|AE|= 122+52=13.99.49AHDBCABACGAF1GF=3 AFH=60记n=4k.则5n-1=20k-1不为平 则AF=

=8,FH=1AF=4数,,3a-

3GF3

sin60° 833817n2=[(3n+1)+(5n-1)][4(3n+1)+(5n-1)=(a2+b2)[(2a)2+b2=(2a2+b2)2+(ab)2C(65n二7.4x9y设直线lykx-1)(9k2+4)x2+18k(1-k)x+9k2-18k-27=xxx1x21

在△GFH由余410.GH 10.8sin40snco=2(sin100°+sin60)-2sin=2sin60°=11.6对每个 N+,-18k(1-k)=2]k=-4 an+an+1=- nn+ 9k2+ ann+ ly=-4x-1)1,9

343(n+ 344x+9y= an+1 -4= an+2 因此

是一个公比为- 点O在AD上,即O为EF与AD的交点34n+234

设AD与O交于另一点H.的等比数列故a3n

EAI1=I1 HAI2=FAI273=(-1)n- , 7 4an=-3(2n-4

+(-1)n-174

EOI1 1 2=FOan+

=-3(2n+4

+(-1)n74

xyyzzx1xyz三个数中至多有一个为0.则ba

=9

-29+(-1n)

nn+ 8因此,bk=6k=12.670A1,4,7,⋯,2008

x>0,y>0,z≥0,xy,1-x2+2xz=1]z=2x,x2 而x+

+y+

+ =z+

+z+的倍数

=1

M共分为670

1- +

=2x+1+x2 1

4x5A中任取671必有两个数x|x-y|=1x-yxy,(x-y)|(x+y.k

1+ 1+9x2-5x-5x31-x)(5x2-4x1)≥0此为显然.取等号当且仅当x=y1,z0.:xyyzzx1的非负实数xyz,皆有 +

+1≥5 BAC=90,所以,△AI1I2的外接圆圆心O在EF上. .I1OI2= I1AI2=90°=I1D,OI1DI2四点共圆从而 IIO=IIO=45

x+ y+zz+ x>0,y>0,z≥0,、、令x=cotA,y=cotB(A B为锐角).再以 B为内角,构作△ABC.、、cotC=-cot(A+B1-cotA·cot=cotA+cot1-=x+y=2 1 I2DO=I2I1O=45°=I2DA,

于是 ,cotA≤cotB≥cotC ≤≤因此,A C≤90,即△ABC≤≤是一个非钝角三角形

1+

2t(x+下面采用调整法对于任一个以C为最大角的非钝△ABC,固定最大角C,将△ABC调整为(

2txy)≥1+11-22

1-2t C为顶角的等腰△ABC A′= B′= 4t≥1+ α15t≥1+2tA+B A+B ),且设t= =tan2, αt2(15t2-2) + f(x,y,z)= ++ xx+ zx

C满≤ C≤90≤据(1)知f(t,t,z)≥5 而 A+B=tanC,则1≤t≤1.所以2:fx,y,z)≥ft,t,z

=

+

+1≥1

2

t2(15t2-2)3

153

-2=x+ y+ z+ 2 t+

-x+ 2

y+

+z+

-t+

fxyz≥ft,t,z先证:x+y≥2 αcotA+cotB≥2cotA22cosAαsin(A+B)

因此,本题得证解法1:不妨设12A.由于当集合A确定,B,故只须考虑集合A的个数.A{a,a,⋯,a},a为最大数

A+B

12+1278αsin2A+B≥sinA·sin2α1-cos(A+B)≥2sinA·sinαcos(AB≤1.BC

a1+a2+⋯+a6=39,a6=,a1a2a3a4a5A1=a1,a2,a3,a4,a5中有奇数个3627=36-9 2(t+

2(t+z)

={1,3,5,7,t+z=(t+z)

=1+

此时,A135711而在△ABC中, x+y+ =x+y+y+z+z+x=(y+z)(z+

1+z2 A1x1x2,q(x+y-2

1+

2t(x+

p≥6,,q≤21,A124种情形p6,q21

M29种等和划分解法2:元素交换法(x1,x2)=(2,4)(y1,y2,y3)=(1,9,11),(3,7,11),(5,7,9)

i=

ai

i=

bi,恒设12可搭配成A1的3种情形 p8,q19(x1,x2)=(2,6)

A0={1,2,3,10,11,12}B0={4,5,6,7,8,yy,y)(1711,(3511,(379 123}10,11,12}12可搭配成A1的3种情形 有一组数全在A中,则另一组数必全在A中p10,q17(x,x)=(2,8),(4,6)

1011 y,y,y)=(15,11,(179,(359 A16种情形p12,q15(x,x)=(2,10),(4,8)

(10,1)∴(5,6),(4,7)(10,2)∴(5,7),(4,8)(10,3)∴(6,7),(5,8),(4,9) (10,2,3)—(4,5,(y1,y2,y3)=(1,3,11),(1,5,9),(3,5,7)A16种情形p14,q13

8种对换(11,1)∴(5,7),(4,8)(x1,

)=(4,10),(6,8)

(11,2)∴(6,7),(5,8),(4,9)(y,y,

)=(1,3,9),(1,5,7)

(11,3)∴(6,8),(5,9) A14种情形p16,q11(x1,x2)=(6,10),(y1,y2,y3)=(1,3,7)A11种情形p18,q9(x1,x2)=(8,10),(y1,y2,y3)=(1,3,5)A11种情形A1中有一个奇数、四个偶数由M中除12其余的五个偶数和为2+4681030补加一个奇,A1中五数之和为27,分别得A1的4种情形(7,2,4,6,8),(5,2,4,6,10)(3,2,4,8,10),(1,2,6,8,A1+24+4