参数方程 讲义-高三数学一轮复习专题

高三数学第一轮复习专题参数方程一、曲线的参数方程：1.参数方程的概念：例。一架救援飞机在离灾区地面高处以的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物质准确落于灾区指定的地面，飞行员应如何确定投放时机呢？设飞机在A点将物资投出机舱，以为地平面与飞机航线所在平面的交线，过点A，记物资投出机舱时刻为0，在时刻时物质的位置为点。物资出舱后，它的运动是两种运动的合成：沿方向以的速度作匀速直线运动沿的反方向作自由落体运动。则在的取值范围内，给定一个值，可以唯一确定、的值，即位置确定。由上式可以确定投放后每一个时刻的位置，还可以确定投放时机。令得：代入得：故可以在离救援点时投放物资。在中，、均为时间的函数，、间接地发生关系，称为参变数，简称为参数。一般地，在平面直角坐标系中，若曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，即，且对于的每一个允许值，由上式所确定的点均在这条曲线上，则上式方程叫做这条曲线的参数方程。联系变数、的变数叫做参变数，简称为参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫普通方程。注意：参数是一个变数，是联系、的桥梁。2.圆的参数方程：例1。圆心在原点，半径为。普通方程：与比较参数方程：例2。圆心在，半径为。普通方程：与比较参数方程：即：注意：是有确定的几何意义的，指半径CM的旋转角（始边为以C为端点与正方向一致的射线）。例。参数方程指的是上半圆。如图所示：例。参数方程指的是左半圆。例。曲线极坐标方程为，曲线参数方程为：。（1）求的直角坐标方程；（2）当有两个公共点时，求实数的取值范围。解：（1）由得：即。由得：曲线表示以为圆心，以1为半径的上半圆。（2）当直线与半圆相切时，，。故当有两个公共点时，。3.参数方程与普通方程的互化：例。把参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）（2）解：（1）代入得：与参数方程等价的普通方程为：这是以为端点的一条射线。注意：在由参数方程化为普通方程时，要考虑到定义域。（2）又与参数方程等价的普通方程为：这是抛物线的一部分。练习：1。把下列参数方程化为普通方程：①②③④二、圆锥曲线的参数方程：1。椭圆的参数方程：类比于即此即为中心在原点，焦点在上的椭圆的参数方程。的意义是什么？以原点O为圆心，为半径作两个同心圆。设A为大圆上任一点，连接OA，交小圆于点B，过A、B分别作、垂线，两垂线交于点M。设以为始边，OA为终边的角为，，则点A横坐标为，点B纵坐标为。则M的轨迹方程是一个椭圆。通常规定。注意：椭圆参数方程中的与圆的参数方程中的含义是不同的。在圆中，为半径OM的旋转角。在椭圆中，不是OM的旋转角，是OM所对应的大圆的半径OA的旋转角。用椭圆参数方程可以求最值：可设椭圆上任意一点坐标为。xyO例1。在椭圆上求一点M，使点M到直线的距离最小，并求出最小距离。xyO解：（代数法：利用“相切有最值”）设与直线平行且与椭圆相切的直线为：由得：则当时，与的距离为此时点M坐标为当M坐标为，M到距离最小，最小距离为。点评：代数法思路简单，但运算十分复杂。（参数方程法）因椭圆参数方程为：故可设点M的坐标为由点到直线的距离公式，M到直线的距离为：其中即当，即时，有最小值。此时，当M坐标为，M到距离最小，最小距离为。点评：参数方程法是化为三角函数求最值，相对简单一些。例2。若、满足，求的最大值、最小值。三、直线的参数方程：过点，倾斜角为的的普通方程为：设称为的单位方向向量，则。在上任取一点，则因∥，则存在实数，使得即故过点，倾斜角为的的参数方程为：此为的标准参数方程。的标准参数方程中参数的几何意义：1。因，，则，即的绝对值表示直线上动点M到定点的距离；2。因当时，，则的方向总是向上的。故若时，方向向上，在上方；故若时，方向向下，在下方；故若时，与重合。注意：参数决定了是直线还是圆。表示以为圆心，半径为的圆，即：。表示过点，倾斜角为的直线，即：。例1。已知与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长和点到A、B两点的距离之积。解：因过定点，且的斜率为xyOM-1xyOM-12代入抛物线的方程得：由参数的几何意义得：。注意：直线的参数方程中，参数的几何意义十分常用。在上式中，只能用于直线的标准参数方程。对于不标准的参数方程，要转化为直线的标准参数方程。例。，要转化为：。对应的方向向量