数学新课标实践：足球世界杯上的数学知识

数学新课标实践：足球世界杯上的数学知识第22届卡塔尔世界杯足球赛在2022年第一次在中东国家境内举行，也是首次在北半球冬季举行。不管是真球迷还是伪球迷，总要聊点和足球相关的事。C罗、梅西这些巨星也就是最后一次世界杯了……其实，热闹的世界杯足球赛里蕴含着丰富的数学知识，刘老师今天就和大家聊一聊这里的数学知识，当然这里既包括小学生知道的数学知识，也有高等数学知识。我们边看球边学数学，寓教于乐、两不耽误。

年月日知识世界杯足球赛每四年举行一届，每个举办的年份都是平年。1930年举办第一届世界杯。1930、1934、1938、1950、1954、1958、1962、1966、1970、1974、1978、1982、1986、1990、1994、1998、2002、2006、2010、2014、2018年、2022年，今年的世界杯是第22届。这些年都是平年，因为这些数都不能整除4，所以是平年；那么四年之后还是平年。每届世界杯基本都在举办年的6月上旬或中旬开幕，7月上旬或中旬结束（但本次世界杯由于卡塔尔夏季气温太高，特放在11-12月比赛，气温合适。），历时一个月左右；今年召开的世界杯是第22届世界杯，1930年召开了第一届世界杯，中间因为第二次世界大战停办了两届。这里学生不仅学习了年月日的知识，还了解了足球世界杯的历史。

2022年卡塔尔世界杯比赛将会进行28天，从2022年11月21日（北京时间）开始，到2022年12月18日结束。本次世界杯的揭幕战将于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）进行，由东道主卡塔尔对阵厄瓜多尔。可见，卡塔尔当地时间和北京时间相差5小时，中国北京是在东八区时区，卡塔尔是东三区时区。所以，不少比赛在当地是黄金时间开始，在中国就要到夜里才能看到。排列组合知识参加卡塔尔世界杯足球赛的国家共有32个（俗称32强），每四支球队为一组，在第一轮单循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其它各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生8强、4强、2强，最后决出冠亚军、第3、4名。至此，本届世界杯的所有比赛结束。根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？这是一道小学的数学问题，其实涉及到排列组合问题，数学书中有相关的数学知识“计算比赛场次”。要解决上面的这个问题，先要弄清楚单循环赛、双循环赛、淘汰赛。单循环赛：所有参加比赛的队均能相遇一次，每两队之间只赛一场。双循环赛：双循环是所有参加比赛的队均能相遇两次，最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次。淘汰赛：输了就出局，赢了继续比赛。2022卡塔尔世界杯以卡塔尔世界杯为例，32支球队共分成8组。每组4支球队。每组进行单循环赛，前2名晋级。以A组为例，每支球队要和剩下的球队比赛一场，所以比3场。所以每组需要比3+2+1=6（场）或4×3÷2=6（场）。这里，可以用画图、列表、连线等方法得出结果。这里卡塔尔——厄瓜多尔和厄瓜多尔——卡塔尔是同一场比赛。如果是双循环赛，那么就是有主客场，卡塔尔——厄瓜多尔和厄瓜多尔——卡塔尔是就应该两场比赛。所以有4×3=12（场）。如果n个队进行单循环赛，每个队要进行（n-1）场比赛，所以共进行n(n-1)÷2场比赛；如果n个队进行双循环赛，要共进行n(n-1)场比赛。如果n个队进行淘汰赛，进行（n-1）场比赛。1支球队最少进行几场比赛？一支球队，在世界杯至少要进行3场比赛。因为小组赛是单循环赛，需要和剩下3支球队都比赛一场。2002年中国队进入韩日世界杯，虽然一球未进，一分未得，但也要比赛3场。一支球队，在世界杯最多能进行几场比赛？其实，就是要在世界杯夺冠，需要进行几场比赛？从图中可以看出，总共7场比赛，其中小组赛三场16强8强4强冠军赛。那在世界杯中有几支球队进行7场比赛？可不止冠亚军球队，由于世界杯规则需要决出三四名，所以前4名球队，都要进行7场。世界杯这些球队分别进行几场比赛？16支球队只进行3场比赛，就被淘汰回家；8支球队进行4场比赛，进入16强后多比赛一场，淘汰；4支球队进行5场比赛，进入8强后多比赛一场，淘汰；进入4强的4支球队都进行7场比赛；先半决赛各赛一场；进入决赛的两支球队再赛一场决出冠军；未进入决赛的两支球队争夺3、4名也要进行一场。世界杯的足球赛全程共有几场？回到开始的问题，现在应该清楚了。自1998年世界杯足球赛决赛阶段由24支球队扩充为32支球队参加以来，每一届都要进行共64场比赛。世界杯的比赛分为小组赛和淘汰赛。小组赛是单循环赛，每小组4支球队，进行6场比赛；8个组共进行8×6=48（场）比赛；每组前2名进入淘汰赛，共16队，决出冠军，需要16-1=15场，还要决出第三、四名，又多了一场，淘汰赛共15+1=16场。一共有48+16=64场。足球构造中的数学传统的英式足球是由黑、白两色共32块皮革，采用蜂巢式缝制方法缝制而成。读到这，相信会有不少的读者的会问：为什么是32块皮革？为此，先给大家解读一下传统足球的构造。足球虽然是球体但实际上是由黑、白两色皮革勃合或缝制成的多面体加工而成的。其中黑色皮为正五边形，白色皮为正六边形，表面之间具有下列特征：①黑色皮周围都是白色皮；②每两个相邻的多边形恰好有一条公共边；③每个顶点都是三块皮的公共点，且为一黑二白。依中学数学教材，简单多面体的顶点数、棱数及面数的关系为：V+F-E=2（欧拉定理）。假设黑、白两色各有x，y块，则面数F=x+y；由于每条棱均为两个面的交线，所以棱数E=(5x+6y)/2；每个顶点均为三个面的公共点，所以顶点数V=(5x+6y)/3。由欧拉定理，有(x+y)+(5x+6y)/3-(5x+6y)/2=2（①）

又因为每块白色皮对应的六边形中有三条边与其他白色皮相连，剩余三条边与黑色皮相连，故6y/2=5x（②）解①②式可得x=12,y=20，即黑色皮有12块，白色皮有20块。我们知道，正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，这五种正多面体的顶点数均不是60，因此，都不是足球表面的结构。要想得到有60个顶点的多面体，可以采用把正多面体的顶角截下来的办法。因为在截角时，每截下来原来的一个顶角，便会产生更多的顶角。通过尝试，发现对正二十面体利用平截的方法截角，可以实现这样的设想。在每个顶点的棱边的处将顶角截去，由于正二十面体有12个顶角，削去这12个顶角后，可使这12个平截的地方变成12个五边形，且剩下的面全变成六边形（一共有20个），最后得到的将是一个由12个五边形和20个六边形组成的三十二面体。它的顶点数为60，棱边数为90，面数为32，此为足球表面的多面体结构（如下所示）。另外，12块正五边形和20块正六边形拼成一个完美无缺的“三十二面体”球面，象征着参加世界杯决赛的32支队伍从五大洲、四大洋汇聚在一起，共同交流文化、切磋球技、展示风采，并以此促进足球运动的不断发展。足球场上的几何知识足球场必须是绿色，必须是长方形，两条较长的叫做边线(touchline)，长度90-120米；较短的叫做端线(goalline)，长度45-90米。国际比赛标准是边线100-110米，端线64-75米。场地被中线(halfwayline)划分为两个半场，中线的中点(centremark)处做一个中心标记，以中点为圆心，9.15米(10码)为半径画圆，称为中圈(centrecircle)。国际足联规定的标准足球场场地大小为105米*68米，面积为7140平方米，周长为346米。那么1km2

相当于多少个标准足球场的大小？

1000000÷7140≈140（个），以足球场为参考，对于建立1平方千米的量感有好处。世界杯出现预测情况足球比赛，肯定有不少预测帝。大家都热衷于预测结果，甚至会有这样的彩票。另外小组出线问题也是大家讨论的话题，但是所有的预测只是一种基于以往数据和结果之下的数学演算，或者是某种规则之下数学计算出的“理论值”。按照世界杯足球赛小组赛的规则，每个小组4个队进行单循环比赛，每个队有3场比赛，小组共有6场比赛。每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局时两队各得1分。小组赛结束后，积分最高的两队出线。如果积分相同，则净胜球多的球队胜出。问积几分小组肯定出线或基本出线？先做个假设：假设每场比赛的胜、平、负出现的概率相同，都为1/3。首先，积7分肯定出线。因为每场比赛后两队得分之和或者为2分（即打平），或者为3分（有胜负）。所以小组6场比赛后各队的积分总和不超过18分。如果一支球队积7分，剩下的3个队得分总和不会超过11分，不可能再有两支球队的积分大于或等于7分，所以这支球队一定出线。其次，积6分或5分也基本出线。因为，如果一支球队积6分，一般情况下是会出线的。只有在三支球队同积6分，一支球队积0分的情况下，有一支积6分的球队才会被淘汰。设A胜B、C，负D，D不可能积0分，只有B、C可能积0分，共二种情况，条件概率为2/27。三队同积