配套课件1.曲线与方程定义

第五节曲线与方程【知识梳理】1.曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:这个方程曲线上那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤任意x,y所求方程【考点自测】1.(思考)给出下列命题：①f(x0，y0)=0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)=0上的充要条件；②方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线；③到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2；④方程y=

x

与x=y2表示同一曲线.其中错误的是(

)A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②④【解析】选B.①正确.由f(x0，y0)=0可知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)=0上，又P(x0，y0)在曲线f(x，y)=0上时，有f(x0，y0)=0，所以f(x0，y0)=0是P(x0，y0)在曲线f(x，y)=0上的充要条件.②错误.方程变为x(x+y-1)=0，所以x=0或x+y-1=0，故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.③错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时，是x2=y2，否则不正确.④错误.因为方程y=

x表示的曲线只是方程x=y2表示曲线的一部分，故其不正确.2.(2015·厦门模拟)方程|x|-1=A.一个圆 B.两个圆C.半个圆 D.两个半圆所表示的曲线是(

)1

y

12【解析】选D.由题意得

x

1

x

12

1

y

12

，

x

12

y

12

1，即

x

1

0，x

12

y

12

1x

1.或3.(2015·福州模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足

OC

1

OA

2

OB

(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1+λ2=1，则点C的轨迹是(

)A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线【解析】选A.设C(x,y)，因为OC

OA

所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1

21,3),即x

31

1

22y

3

,10解又λ1+λ2=1，所以y

3x

3y

即xx+12y=5，10

10所以点C的轨迹为直线,故选A.4.方程x2+xy=0表示的曲线是

.【解析】因为x2+xy=0，所以x(x+y)=0，所以x=0或x+y=0，所以方程x2+xy=0表示两条直线.答案：两条直线25.若方程ax2＋by＝4的曲线经过点A(0,2)和

B(1，3)

则a＝2

，b＝

.【解析】因为曲线经过点A(0,2)和B(1，3)4a

02

2b

4,所以a

1

3b

4,解得：a＝16-8

3,b＝2.答案：16-8

3

2考点1

定义法求点的轨迹方程【典例1】(1)△ABC的顶点A(-5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是

.(2)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1，x2+(y-2)2=1外切，圆C的圆心轨迹方L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0，1)与点M(x，y)的距离为n.①求圆C的圆心轨迹L的方程；②求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.【解题视点】(1)根据题设条件，寻找动点C与两定点A，B距离的差满足的等量关系|CA|-|CB|=6，由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分，再求其方程.(2)①将圆C与另外两圆都相外切，转化为圆心距与两圆半径和之间的关系.②m=n说明到定点的距离与到定直线的距离相等.【规范解答】(1)如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方

1x

3.x2

y29

16答案：x2

1x

32

y9

16(2)①两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，-4)，C2(0，2)，由题意得|CC1|=|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，-1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方y=-1，即圆C的圆心轨迹L的方y=-1.②因为m=n，所以M(x，y)到直线y=-1的距离与到点F(0，1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y=-1为准线，点F(0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p=1，即p=2，所以，轨迹Q的方程是x2=4y.2【易错警示】准确把握双曲线的定义的错误结果，其原因是对双曲线的定义理解错误或没有注意到顶点C始终在x=3的右侧.2在本例(1)中易出现x2y9

16

＝1【规律方法】定义法求轨迹方程的适用条件及关键适用条件：动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义.关键：定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义.提醒：弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键.【变式训练】(2015·福州模拟)已知点M(-3，0)，N(3，0)，B(1，0)，2A.x

-2=1(x>1) B.x

- =1(x<-1)C.x2+

y2

=1(x>0)8动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方

(

)y2

y28

8D.x2-

y2

=1(x>1)10【解析】选A.设直线MP，NP与圆的切点分别为E，F，

，2b2=8.故方 x

- =1(x>1)，故选A.则|PE|=|PF|，|ME|=|MB|，|NF|=|NB|.从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|，所以点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(不包含右顶点)，所以a=1，c=3，则y28【加固训练】1.已知定点F1(-2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(

)A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆【解析】选B.设N(a，b)，M(x，y)，则a＝x

2，b代＝入y

圆O的方2

2点M的轨迹方程是(x-2)2+y2=22，此时||PF1|-|PF2||=||PM|-|PF2||=|MF2|=(x

2)2

=y22

，2<|F1F2|，故所求的轨迹是双曲线.=|3x+4y-11|，则点P的轨迹是(

)A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线【解析】选D.设定点F(1，2)，定直线l：3x+4y-11=0，则由已知得y-2= (x-1)，轨迹是过点F(1，2)且与直线l垂直的直线，其方即4x-3y+2=0.2.动点P(x，y)满足5(x

1)2

(y

2)2PF＝

x

12

y

225点P到直线l的距离d＝

3x

4y

11

.PFd＝1

但注意到点F(1，2)恰在直线l上，所以点P的43(x>0且y≠0)3.在△ABC中，A为动点，B,C为定点，B(

a

，0)2

2C(a

，0)

(a>0)，且满足条件sin

C-sin

B＝

1

sin

A，则动点A的轨迹方程是

.2【解析】由正弦定理，得AB

AC2R

2R

2

2R

＝(R1

为

B外C接圆半径)，所以|AB|-|AC|＝1|BC|，且为双曲线右支.22答案：16x2

16ya23a2＝1考点2

直接法求点的轨迹方程【考情】直接法求轨迹方程是求轨迹方程的一个重要方法，也是高考命题的一个热点内容，该部分大多数是以解答题的形式出现，考查求轨迹方程的方法，曲线与方程的定义，基本运算能力等.高频考点通关【典例2】(1)已知M(-2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方

(

)A.x2+y2=2

B.x2+y2=4C.x2+y2=2(x≠±2)

D.x2+y2=4(x≠±2)1(a>b>0)的两个焦点分别为F(-1，0)，2F

(1，0)，且椭圆C经过点①求椭圆C的离心率.②设过点A(0，2)的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且

求点Q的轨迹方程.(2)已知椭圆C：x2a2

b22

y

14

1P(

,

)3

32

1

1AQ

2

AM

2

AN

2

【解题视点】(1)利用勾股定理得等量关系，坐标化得方程，根据三角形限定条件.(2)①依据焦点坐标，可求出c的值；由椭圆的定义可求出2a的值.②可设点Q的坐标为(x，y)，依据题设中的等式求解.【规范解答】(1)选D.设P(x，y)，则|PM|2＋|PN|2＝|MN|2，所以x2＋y2＝4(x≠±2).(2)①由椭圆定义知，

2a=|PF1|+|PF2|又由已知,c=1, (

4

1)2

(1)2

(

4

1)2

(1)2

2

2,2.3

3

3

3所以a

12

.a所以椭圆C的离心率e

c

22②由①知，椭圆C的方设点Q的坐标为(x,y).x22

y

1.2当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0，1)，(0，-1)两点，此时点Q的坐标为(0，2

3 5

).5当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方

y=kx+2.因为M,N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2)，则|AM|2=(1+k2)x1

,2|AN|2=(1+k2)x2

.2又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.21

k2

x2

22122221

21

2x

2

xx

x

2

2x

x

1

2

1 2

.(*)2x22

1

1AQ

2

AM

2

AN

2111

k2

x,1

k

x2

1

1x2

x

2

x

1中，2将y

kx

2代入

y得2k2

1x2

8kx

6

0.(**)由

,得即

由(**)可知，x1

x2由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6＞0,得k2＞3

.21

28k

6 ,

x

x

2k2

1,2k2

118.(***)代入(*)中并化简，得x2

10k2

3因为点Q在直线y=kx+2上，所以k

y

2

,代入(***)中x并化简，得10(y-2)2-3x2=18.由(***)及k2＞3

可,23

,2知0＜x2＜6

).又(0,

2

3

5

)满足10y

22

3x2

18,52

2即x

(

6

,

0)

(0,由题意，Q(x,y)在椭圆C内，所以-1≤y≤1,又由10(y-2)2=18+3x2有所以，点Q的轨迹方10(y-2)2-3x2=18，6

,6

).2

2故x

((y-2)2∈9

9且-1≤y≤1,[

,

)5 4

则y∈

13

5].2

5( ,

2

6

,6

),

y(

1

,

2

3 5

].2

2

2

5其中x

(【通关锦囊】高考指数重点题型策

略◆◆◆已知动点满足的等式，求点的轨迹方程设出动点的坐标，依据题设中的等式及其他知识，得出方程即可◆◆◆题设中没有明确给出等量关系，求轨迹方程设出动点的坐标，依据题设中的条件寻找等量关系，得出方程，然后判断其轨迹【关注题型】【特别提醒】在解决直线与圆锥曲线有关的问题时，要注意变量的取值范围，否则易出现增根.◆

已知动点满足

的等式，判断其轨迹(或图形)把等式转化为熟知的方程即可判断，或举特例用排除法求解【通关题组】1.(2015·漳州模拟)有一动圆P恒过定点F(a，0)(a>0)且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为(

)A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆即点P的轨迹为双曲线.【解析】选B.设P(x,y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，所以P到y轴的距离d

3

R，即

x而R=3|RP,F|=2

222(x

a)

y22所以

3化简得2x

x

a

y

,y212a2

4a2x

3a2

12.已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.已知点B(-1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.【解析】(1)设圆心C(x,y),线段MN的中点为E，由几何图象知得k2x2+2kbx+b2=8x，k2x2-(8-2kb)x+b2=0(其中Δ>0)，设P(x1，kx1+b)，Q(x2，kx2+b)，ME

MCNA,2=CM2=ME2+EC2⇒(x－4)2+y2=42+x2⇒y2=8x.2(2)设直线l的方

y=kx+b,联立方程组y2

8x,y

kx

b,即k=-b,故直线l的方y=k(x-1),直线l过定点(1,0).b2,

x1x2

k2

,8－2kb

k2则x1

x2

kx1

b

kx2

b则kPB

kQB1

21

2

1

2若x轴是PBQ的角平分线，x

1

x

1

kx1

bx2

1

kx2

bx1

1x1

1(x2

1)

2kx1x2

k

bx1

x2

2b

8k

b

0,x

1x

1

k2

x

1x

1成等差数列，那么点P(x，y)在平面直角坐标系内的轨迹是(

)A.一段圆弧

B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分【加固训练】如果三个数a2

2x，a y

x

a

2x(a

0且a

1)【解析】选C.由题意可得

2y

x＝

2

2x＋

2x两边平方后整理可得4(x

1)2

4(y

1)2＝12

2又y-x≥0,2-2x≥0，-2x≥0，可知选C.考点3

相关点(代入)法、参数法求轨迹方程【典例3】(1)已知点A(-2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足

PA

PB=x2-6，则动点P的轨迹是

.(2)(2013·福建高考)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为

A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9).①求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；②过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4∶1，求直线l的方程.【解题视点】(1)可由

PA

=PBx2-6及P，A，B三点的坐标直接写出方程，进而得出轨迹.(2)①注意Pi是直线OBi与过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的交点，适当选择一个参数即可；②将面积相等转化为点的坐标之间的关系即可求解.【规范解答】(1)因为动点P(x，y)满足PA

=PBx2-6，所以(-2-x，-y)·(3-x，-y)=x2-6，化简，得y2=x，所以轨迹为抛物线.答案：抛物线(2)①方法一：依题意，过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方坐标为(x，y)，由

i10x=i，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方

y=

i

x.设Pi的x

i，

10y

x得y=1

x2，即x2=10y.10所以点Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2=10y.方法二：点Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在抛物线E：x2=10y上.证明如下：过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方x=i，iy=

i

x.因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y，所以点Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方x2=10y.10i

解得P的坐标为y

x,由Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方x

i，10210(i，i

)②依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方得x2-10kx-100=0.△

△因为 ，所以|x1|=4|x2|.又因为x1·x2<0，所以x1=-4x2，2y=kx+10.由y

kx

1x

10yx

1

2此时Δ=100k2+400>0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

x1

x2

10k①，x

100②所以直线l的方4x

2

100

2分别代入①和②，得

3x2

1解0k得，k=±

.32y=±3x+10，即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.2结果如何？【解析】因为PA

PB

0所以(-2-x,-y)·(3-x,-y)=0.所以轨迹为圆.答案：圆【互动探究】若题(1)中的“PA

PB

=x2-6”改为“PA

PB

=0”24即x2+y2-x-6=0(,x

1)2

y2

25

,【易错警示】本例(1)易出现y2=x的结论，其原因是没有的轨迹与轨迹方程是不同的.【规律方法】相关点(代入)法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，但形成轨迹的动点与另外一动点有联系，而这一动点在某一已知曲线上.参数法求轨迹方程的适用条件动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关.【变式训练】已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则点Q的轨迹方程是(

)A.