2212-二次函数的图像与性质课件1

第二十二章

二次函数第二十二章 二次函数……本章主要内容…………本章主要内容……22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质基础回顾什么叫函数?

在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数。x叫自变量，y叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？基础回顾什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数y=kx+b(k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)y=k/x(k≠0)函数知多少二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数y=kx+b(节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球

正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为

问题:y=6x2亲历知识的发生和发展正方体的六个面是全函数①②③有什么共同点?

观察：y=6x2①

在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。函数①②③有什么共同点?观察：y=6x2①定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。

（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）等式的右边最高次数为

，可以没有一次

项和常数项，但不能没有二次项。

注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是任意实数。整式。a≠0.2（5）函数的右边是一个整式。定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx当b＝0，c＝0时，y＝ax2二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c1、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项（1）y=-x2+58x-112（2）y=πx22、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c（1）y=-3x2-x-1（3）y=x(1+x)（2）y=5x2-6看谁反应快1、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系（1）y=-例题讲解例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。

(1)y=3(x－1)²+1(2)y=x+(3)s=3－2t²(4)y=(x+3)²－x²(5)y=－x(6)v=8πr²1x__x²1__例题讲解例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次

思考：2.二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？驶向胜利的彼岸你知道吗联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y=ax2＋bx＋c中y=0时得到的.区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0思考：2.二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0知识运用

例1:下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y=3x-1()(2)y=3x2（)(3)y=3x3+2x2()(4)y=2x2-2x+1()(5)y=x-2+x()(6)y=x2-x(1+x)()不是是不是不是是不是知识运用不是是不是不是是不是知识运用m2—2m-1=2 m+1

≠0

∴m=3例2:m取何值时，函数y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函数？解:由题意得知识运用m2—2m-1=2 m+1≠0

一次函数y=kx+b(k≠0),其中包括正比例函数y=kx(k≠0),

反比例函数y=(k≠0)，

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。小结：现在我们学习过的函数有:

可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函数表达式与自变量的关系。小结：现在我们学习过的函数有:可以想一想想一想

例2、y=（m+3）x（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2）m取什么值时，此函数是反比例函数？（3）m取什么值时，此函数是二次函数？m2-7例题讲解解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=±时是正比例函数。（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=±时是反比例函数。（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。例2、y=（m+3）xm2-7例题讲1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积s与半径r之间的关系式.2.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.随堂练习S=2πr2+2πr2即S=4πr2即随堂练习S=2πr2+2πr2即S=4πr2即随堂练习3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有

。Ay=ax2+bx+cBy2=x2-4x+1Cy=x2Dy=2+√x2+14.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是()Am,n是常数,且m≠0Bm,n是常数,且n≠0Cm,n是常数,且m≠nDm,n为任何实数BCC随堂练习3、下列函数中，（x是自变量），是二次函数的有

一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当x=12m时，计算菜园的面积。xmym2xm

（40-2x）m解：由题意得：Y=x(40-2x)即：Y=-2x2+40x(0<x<20)当x＝12m时，菜园的面积为：Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12

＝192（m2）生活问题数学化一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜

多边形的对角线数d与边数n有什么关系？问题2:

由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有

个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作

条对角线.n(n-3)

因为像线段MN与NM那样,连接相同两顶点的对角线是同一条对角线,所以多边形的对角线总数MN即多边形的对角线数d与边数n有什么关系？问题2:

在实践中感悟横看成岭侧成峰，远近高低各不同

——变换角度分析问题若函数y=x2m+n

－2xm-n+3是以x为自变量的二次函数，求m、n的值。①②③④⑤∵2m+n=2m-n=1

∴m=1n=0∵∴2m+n=1m-n=2m=1n=-1∵∴2m+n=2m-n=2m=4/3n=-2/3∵∴2m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/3∵∴2m+n=0m-n=2m=2/3n=2/3在实践中感悟①22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质知识回顾1、一次函数的图像有何特征？一次函数的图像是一条

。当

时，y随x的增大而增大；当

时，y随x的增大而减小。2、反比例函数的图像有何特征？反比例函数的图像是

，共有

支，且关于

对称。当

时，图像在

象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当

时，图像在

象限，在每个象限内y随x的增大而

。直线双曲线两原点增大一、三二、四k>0k>0k<0k<0知识回顾1、一次函数的图像有何特征？一次函数的图像是一条3、画函数图像的基本步骤是：

、

、

。

列表

描点

连线知识回顾3、画函数图像的基本步骤是：列表描点连线知识回顾…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像y=ax2+k的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k的函数图像y=ax2+bx+c的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像y=ax2+k的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k的函数图像y=ax2+bx+c的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像画形如y=ax2的函数图像：1、画函数y=x2的图像；观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：9411049-3-2-10123画形如y=ax2的函数图像：1、画函数y=x2的图像；观xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=x2?xy0-4-3-2-11234108642-2描点,连线y=二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫

二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y=x2

，xyO－33369二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称

（3）有最低点，没有最高点二次函数y=x2的图象是一条曲线，它的y轴是抛物线y=x

2

的对称轴，抛物线y=x

2

与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x

2

的最低点．xyO－33369

实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．思考：这个二次函数图象有什么特征？（1）形状是开口向上的抛物线（2）图象关于y轴对称

（3）有最低点，没有最高点y轴是抛物线y=x2的对称轴，抛物例1在同一直角坐标系中，画出函数的图象．解：分别填表，再画出它们的图象，如图820.5084.520.54.54.5820.5084.520.5xyO

－222464－48例1在同一直角坐标系中，画出函数观察函数的图象与函数y=x2

的图象相比，有什么共同点和不同点？相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是y轴不同点：a要越大，抛物线的开口越小．xyO

－222464－48观察函数

你画出的图象与图中相同吗？探究

画出函数的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．你画出的图象与图中相同吗？探究画出函数－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5xyO－22－2－4－64－4－8对比抛物线，y=x2和y=－x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=－ax2呢？－8－4.5－2－0.50－8－4.5－2－0.5－8－4.一般地，抛物线y=ax2

的对称轴是_____，顶点是______．当a>0时，抛物线的开口______，顶点是抛物线的最______点，a越大，抛物线的开口越_______；当a<0时，抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最________点，a越大，抛物线的开口越_________．归纳向下高大练习：函数的图象是

，顶点坐标是

，对称轴是

，开口方向是

.y轴原点向上低小一般地，抛物线y=ax2的对称轴是_____，顶点是_3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．y＝ax2向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向反馈测试抛物线y=4x2中的开口方向是

，顶点坐标是

，对称轴是

.抛物线y=-x2的开口方向是

，顶点坐标是

，对称轴是

.3.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=

.反馈测试抛物线y=4x2中的开口方向是，顶点坐标…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像y=ax2+k的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k的函数图像y=ax2+bx+c的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝2x2当x＝______时，y有最______值，其最______值是______。课前复习1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____2、二次函数y=2x²

、的图象与二次函数y=x²

的图象有什么相同和不同？a＞02、二次函数y=2x²、Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1a＜0Oxy1234512345–5–4–3–2–1–53、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．y＝ax2向上向下y轴y轴(0，0)(0，0)3、试说出函数y＝ax2（a是常数，a≠0）的图象的开口方向4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个问题？画出函数y＝2x2和函数y＝2x2+1的图象，并加以比较4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开（1）二次函数y=2x²＋1的图象与二次函数y=2x²

的图象有什么关系？（0，1）（1）二次函数y=2x²＋1的图象与二次函数y=2x²（0，1）问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?（0，1）问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?2、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?

完成填空：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．以上就是函数y＝2x2＋1的性质。﹥0﹤0=0小小1你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质（2）二次函数y=3x²－1的图象与二次函数y=3x²

的图象有什么关系？（0，-1）a＞0（2）二次函数y=3x²－1的图象与二次函数y=3x²(3)在同一直角坐标系中画出函数的图像(3)在同一直角坐标系中画出函数Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5–4–3–2–1y在同一直角坐标系中画出函数的图像a＜0（0，2）（0，-2）Oxy1234512345–5–4–3–2–1–5试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．向上向下y轴y轴(0，k)(0，k)|a|越大开口越小，反之开口越大。试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口练习1.把抛物线向下平移2个单位，可以得到抛物线

，再向上平移5个单位，可以得到抛物线

；2.对于函数y=–x2+1，当x

时，函数值y随x的增大而增大；当x

时，函数值y随x的增大而减小；当x

时，函数取得最

值,为

。＜0＞0=0大0练习＜0＞0=0大03.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是()A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1),(x2，y2)且x1＜x2＜0，则y1

y2(填“＜”或“＞”)5.已知抛物线，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？C3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是(…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像y=ax2+k的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k的函数图像y=ax2+bx+c的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减k>0k<0k<0k>0(0,k)二次函数y=ax2+k的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，探究解:列表画出二次函数、的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.-2…0-0.5-2-0.5-8…-4.5-8…-2-0.50-4.5-2…-0.5探究解:列表画出二次函数12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10x=－1讨论抛物线

与的开口方向、对称轴、顶点?12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-抛物线与抛物线有什么关系?

12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10讨论抛物线与112345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10向左平移1个单位归纳向右平移1个单位12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2个单位向左平移2个单位顶点(－2,0)对称轴:y轴即直线:x=0练习在同一坐标系中作出下列二次函数:观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.向右平移2个单位向右平移2个单位向左平移2个单位向左平移2个单位顶点(0,0)顶点(2,0)直线x=－2直线x=2向右平移2一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x=h;(2)顶点是(h,0).（3）抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.h>0，向右平移;h<0，向左平移xy归纳一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)对称轴是x二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线ｘ＝ｈ顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减h>0h<0h<0h>0(ｈ,0)二次函数y=a（x-ｈ）2的性质开口向上开口向下a的绝对值越练习y=-2（x+3）21、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？y=2（x-3）2y=-2（x-2）2y=3（x+1）2练习y=-2（x+3）21、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位C2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向

，对称轴是

，顶点坐标是

，抛物线是最

点，当x=

时，y有最

值，其值为

。抛物线与x轴交点坐标

，与y轴交点坐标

。向上直线x=3（3，0）低3小0（3，0）（0，36）3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向，对称轴是4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开口方向，顶点坐标和对称轴。4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的形式，并说出开5、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。5、按下列要求求出二次函数的解析式：（2）形状与y=-2(x向上直线x=-3(-3,0)直线x=1直线x=3向下向下(1,0)(3,0)知识巩固向上直线x=-3(-3,0)直线x=1直线x=3向下小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向上.(2)对称轴是y轴;(3)顶点是(0,k).抛物线y=a(x－h)2有如下特点:(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向上;(2)对称轴是x=h;(3)顶点是(h,0).2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.

抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.)(h>0,向右平移;h<0向左平移.)1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;(1)当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;小结3.抛物线y=ax2+k有如下特点:当a>0时,开口向如何平移：如何平移：…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像y=ax2+k的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k的函数图像y=ax2+bx+c的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．观察图象,回答问题(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图在同一坐标系中,作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.根据图象回答问题：三个图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?对称轴仍是平行于y轴的直线x=1;增减性与y=3x2类似.

顶点是(1,2).二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.开口向上,当X=1时有最小值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?X=1在同一坐标系中,作出二次函数y=3x²,y=3(x-1)2对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.顶点是(1,-2)二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的.二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向上,当x=1时y有最小值:且最小值=-2.二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3(x-1)2,y=-3x²的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．X=1对称轴仍是平行于y轴的直线顶点是(1,-2)二次函数y=3(在同一坐标系中，作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x²和y=-3(x-1)2的图象。根据图像回答问题对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.顶点分别是(1,2)和(1,-2).二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,当x=1时y有最大值;且最大值=2(或最大值=-2).想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2yX=1在同一坐标系中，作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1);增减性与y=-3x2类似.顶点分别是(-1,2)和(-1,-2)..二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向上(或向下)平移2个单位后得到的.二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x²,y=-3(x+1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?开口向下,当x=-1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.

x=1对称轴仍是平行于y轴的直线顶点分别是二次函数y=-3(x+1一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时,向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)²+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.归纳用平移观点看函数：抛物线与抛物线形状相同,位置不同.一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²二次函数特点：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为直线

x=h，顶点为(h，k)。2.当a>0时，开口向上；当x=h时，y取最小值为k;

在对称轴的左侧，y随x的增大而减小,

在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.3.当a<0时，开口向下；当x=h时，y取最大值为k;

在对称轴的左侧，y随x的增大而增大,

在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.二次函数二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:

３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:３2.不同点:只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).(2)对称轴不同:分别是直线x=h和y轴.(3)最值不同:分别是k和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²的关系2.不同点:只是位置不同(1)顶点不同:分别是(h,k)和1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.2.填写下表:1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像y=ax2+k的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k的函数图像y=ax2+bx+c的函数图像…二次函数的图像和性质…y=ax2的函数图像一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y=ax的

相同，

不同22知识回顾：形状位置

y=ax2y=a(x-h)+k2上加下减左加右减一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y=ax知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥0时，开口

，当a﹤0时，开口

，向上向下

2.对称轴是

；3.顶点坐标是

。直线X=h(h,k)知识回顾：抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:1.当a﹥直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（－3，5）（1，－2）（3，7）（2，－6）你能说出二次函数y=—x－6x＋21图像的特征吗？212直线x=–3直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向下向下（探究:如何画出的图象呢?我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),二次函数也能化成这样的形式吗?探究:如何画出的图象呢?配方

y=—(x―6)+3212你知道是怎样配方的吗？

(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。配方归纳二次函数y=—x－6x+21图象的画法：(1)“化”：化成顶点式；(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)“画”：列表、描点、连线。212归纳二次函数y=—x－6x+21图象的(1)“化”510510Oxy510510Oxy求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．

函数y=ax²+bx+c的顶点是配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号这个结果通常称为求顶点坐标公式.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．函数y=a函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？

1.

说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？

函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？例1：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。

对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。例1：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y方法归纳配方法1公式法2单击添加文字内容3方法归纳配方法1公式法2单击添加文字内容3①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图:小试牛刀3－9－6①y=2x2-5x+3③y=(x-3)(x+2)②y=－抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：

a＞0开口向上a＜0开口向下⑵a，b决定抛物线对称轴的位置:

(对称轴是直线x=－—)

①

a，b同号＜＝＞对称轴在y轴左侧；②

b=0＜＝＞对称轴是y轴；③a，b异号＜＝＞对称轴在y轴右侧

2ab【左同右异】抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：⑶

c决定抛物线与y轴交点的位置：①

c＞0＜＝＞图象与y轴交点在x轴上方；②

c=0＜＝＞图象过原点；③

c＜0＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。⑷顶点坐标是（，）。

（5）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=－—

时,y有最大(最小)值y=b2a______________________4a4ac－b2⑷顶点坐标是（，-1例2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？

y

1..x13-1例2、已知函数y=ax2+bx+c的1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在（）A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是（）A4B.-1C.3D.4或-1CBA1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（4.若二次函数y=ax2+bx+c

的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是（）

A.b2-4ac>0B.<0

C.a+b+c=0D.>01xyo-15.若把抛物线y=x2-2x+1向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（）

A.b=2c=6B.b=-6,c=6C.b=-8c=6D.b=-8,c=18

B

B-2ab4a4ac-b24.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,6.若一次函数y=ax+b

的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC6.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.

在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐（五）、学习回顾：填写表格：（五）、学习回顾：填写表格：1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系1.相同点:驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷二2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是和(0,0).(3)对称轴不同:分别是和y轴.(4)最值不同:分别是和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移||个单位(当>0时,向右平移;当<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移||个单位

(当>0时向上平移;当<0时,向下平移)得到的.驶向胜利的彼岸小结拓展回味无穷二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质1、已知抛物线y=ax2+bx+c0问题1经过点（-1,0），则___________经过点（0,-3），则___________经过点（4,5），则___________对称轴为直线x=1，则___________当x=1时，y=0，则a+b+c=_____ab2-=1a-b+c=0c=-316a+4b+c=51、已知抛物线y=ax2+bx+c0问题1经过点（-1,0）顶点坐标是（-3,4），则h=_____,k=______，-3a（x+3）2+44问题22、已知抛物线y=a（x-h）2+k对称轴为直线x=1，则___________代入得y=______________代入得y=______________h=1a（x-1）2+k顶点坐标是（-3,4），则h=_____,k=______-x1-x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0）（-4，0）（-6，0）(x1,0),(x2,0)y=a(x___)(x____)

（a≠0）交点式问题3-x1-x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么-x1-x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（3，0）（2，0）（-1，0）（-4，0）（-6，0）(x1,0),(x2,0)y=a(x___)(x____)

（a≠0）交点式问题3y=a(x-1)(x-3)（a≠0）y=a(x-2)(x+1)（a≠0）y=a(x+4)(x+6)（a≠0）-x1-x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式

已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式二次函数常用的几种解析式一般式

y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式

y=a(x-h)2+k(a≠0)交点式

y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。待定系数法一、设二、代三、解四、还原已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最解：设所求的二次函数为解得已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）（－1,0）三点，求这个函数的解析式？例题∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1,0）∴c=-3a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=y=ax2+bx+c16a+4b=8a-b=34a+b=2a-b=3-3解：设所求的二次函数为解得已知一个二次函数的图象过点（0,解：设所求的二次函数为解得∴所求二次函数为y=x2-2x-3已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）（－1,0）三点，求这个函数的解析式？例题待定系数法一、设二、代三、解四、还原∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1,0）∴c=-3a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=1-2-3x=0时,y=-3;x=4时,y=5;x=-1时,y=0;y=ax2+bx+c解：设所求的二次函数为解得∴所求二次函数为y=x2-2x-解：设所求的二次函数为y=a(x-3)(x+1)

已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（-1,0）（3,0）三点，求这个函数的解析式？变式1∴所求二次函数为y=(x-3)(x+1)

即y=x2-2x-3依题意得-3=a(0-3)(0+1)

解得a=1解：设所求的二次函数为y=a(x-3)(x+1)已知一解：设所求的二次函数为已知抛物线的顶点为（1，－4），且过点（0，－3），求抛物线的解析式？点(0,-3)在抛物线上a-4=-3,∴所求的抛物线解析式为y=(x-1)2-4变式2∵∴∴

a=1最低点为（1，-4）x=1，y最值=-4y=a(x-1)2-4解：设所求的二次函数为已知抛物线的顶点为（1，－4），点(解：设所求的二次函数为已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？变式3y=a(x-1)2+k思考：怎样设二次函数关系式解：设所求的二次函数为已知一个二次函数的图象过点（0,-3如图，直角△ABC的两条直角边OA、OB的长分别是1和3，将△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置，求过C、B、A三点的二次函数解析式。CAOBDxy应用迁移待定系数法当抛物线上的点的坐标未知时，应根据题目中的隐含条件求出点的坐标应用迁移(1，0)（0，3）（-3，0）如图，直角△ABC的两条直角边OA、OB的长分别是1和3，将达标检测（1）过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；（2）如图所示，根据条件求出下列二次函数解析式：xy－12O－1达标检测（1）过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6；（数学是来源于生活又服务于生活的.３．２米８米小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据如图所示。小燕身高１．４０米，在她不弯腰的情况下，横向活动范围是多少？拓展延伸MN数学是来源于生活又服务于生活的.３．２米８米小燕去参观一个8米3.2ABABC8米3.28米3.2ABOOO8米3.2ABABC8米3.28米3.2ABOOO8米3.2ABCNM8米3.2ABCNM已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式

已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式二次函数常用的几种解析式一般式

y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式

y=a(x-h)2+k(a≠0)交点式

y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最第二十二章

二次函数第二十二章 二次函数……本章主要内容…………本章主要内容……22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质22.1二次函数的图像和性质基础回顾什么叫函数?

在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。对于上述变量x、y，我们把y叫x的函数。x叫自变量，y叫应变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？基础回顾什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数y=kx+b(k≠0)正比例函数y=kx(k≠0)y=k/x(k≠0)函数知多少二次函数变量之间的关系函数一次函数反比例函数y=kx+b(节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球

正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为

问题:y=6x2亲历知识的发生和发展正方体的六个面是全函数①②③有什么共同点?

观察：y=6x2①

在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。函数①②③有什么共同点?观察：y=6x2①定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。

（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3）等式的右边最高次数为

，可以没有一次

项和常数项，但不能没有二次项。

注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是任意实数。整式。a≠0.2（5）函数的右边是一个整式。定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数,a≠0)二次函数的特殊形式：当b＝0时，y＝ax2＋c当c＝0时，y＝ax2＋bx当b＝0，c＝0时，y＝ax2二次