2023学年2022版 第2章 习题3

向量的数量积第1课时数量积的定义1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念.(易错点)2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.(难点)[基础·初探]教材整理1向量的数量积阅读教材P83的有关内容，完成下列问题.已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.【解析】(1)若a∥b，则a与b的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝|a||b|＝18.(2)a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×eq\f(1,2)＝eq\f(18,2)＝9.(3)a·b＝|a||b|cos90°＝3×6×0＝0.【答案】(1)18(2)9(3)0教材整理2两个向量的夹角阅读教材P83的有关内容，完成下列问题.1.定义：已知两个非零向量a，b，如图2­4­1所示.作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角.图2­4­12.范围：0°≤θ≤180°.3.当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向.4.当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.试指出图2­4­2中向量的夹角，图①中向量eq\o(OA,\s\up15(→))与eq\o(OB,\s\up15(→))的夹角________；图②中向量eq\o(OA,\s\up15(→))与eq\o(OB,\s\up15(→))的夹角________；图③中向量eq\o(OA,\s\up15(→))与eq\o(OB,\s\up15(→))的夹角________；图④中向量eq\o(OA,\s\up15(→))与eq\o(OB,\s\up15(→))的夹角________.图2­4­2【答案】θ0°180°θ教材整理3向量的数量积的运算律及性质阅读教材P84及P85链接完成下列问题.1.向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2.数量积的性质：(1)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)；(2)|a·b|≤|a||b|；(3)a⊥b⇒a·b＝0.3.数量积的几何意义：a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b与a上的投影为________.【解析】a在b上的投影为|a|cos45°＝3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)；b在a上的投影为|b|cos45°＝5×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(5\r(2),2).【答案】eq\f(3\r(2),2)eq\f(5\r(2),2)[小组合作型]向量数量积的运算及几何意义已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b【精彩点拨】借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3).【自主解答】(1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.1.求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.2.较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简.[再练一题]1.已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))；(2)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))；(3)eq\o(BC,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→)).【解】(1)∵eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(AC,\s\up15(→))的夹角为60°，∴eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝|eq\o(AB,\s\up15(→))||eq\o(AC,\s\up15(→))|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(AB,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))的夹角为120°，∴eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝|eq\o(AB,\s\up15(→))||eq\o(BC,\s\up15(→))|cos120°＝1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).(3)∵eq\o(BC,\s\up15(→))与eq\o(AC,\s\up15(→))的夹角为60°，∴eq\o(BC,\s\up15(→))·eq\o(AC,\s\up15(→))＝|eq\o(BC,\s\up15(→))||eq\o(AC,\s\up15(→))|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).求向量的模已知向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.【精彩点拨】根据已知条件将向量的模利用|a|＝eq\r(a·a)转化为数量积的运算求解.【自主解答】∵a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×eq\f(1,2)＝8，∴|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(16＋16＋16)＝4eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(16－16＋16)＝4，|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋6a·b＋b2)＝eq\r(9×16＋48＋16)＝4eq\r(13).1.求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.2.一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2[再练一题]2.已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq\r(10)，则|b|＝________.【解析】因为|2a＋b|＝eq\r(10)，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10，又因为向量a与b的夹角为45°，且|a|＝1，所以4|a|2＋4|a||b|cos45°＋|b|2＝10，故4×12＋4×1×|b|×eq\f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq\r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq\r(2)或|b|＝－3eq\r(2)(舍去)，故|b|＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)求向量的夹角已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与【精彩点拨】解答本题可由已知中两个条件的垂直得到两个等式，从而得到a，b之间的关系，再由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求得夹角.【自主解答】由已知，得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①(a－4b)·(7a－2b)＝0即7a2－30a·b＋8b2＝0，②①②两式相减，得2a·b＝b2，∴a·b＝eq\f(1,2)b2，代入①②中任一式，得a2＝b2，设a，b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq\f(1,2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.1.求向量a，b夹角的流程图：eq\x(求|a|，|b|)→eq\x(计算a·b)→eq\x(计算cosθ＝\f(a·b,|a||b|))→eq\x(结合θ∈[0，π]，求解θ)2.若两非零向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a·b≠|a||b|；两非零向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a·b≠－|a||b|.[再练一题]3.已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角θ.【解】∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq\f(1,2)＋1＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(e2－2e12)＝eq\r(1＋4－4×\f(1,2))＝eq\r(3)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,\r(3)×\r(3))＝－eq\f(1,2).又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.[探究共研型]数量积的几何意义探究1设非零向量a，b，试用数量积“a·b”及|a|，|b|表示a在b上的投影.【提示】a在b上的投影为|a|cosθ，又cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，∴|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|).探究2数量积a·b＝|a||b|cosθ的几何意义是什么？【提示】数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积.已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－eq\f(3,2)，求a与b的夹角θ.【导学号：48582106】【精彩点拨】分别列出a在b方向上的投影和b在a方向上的投影，解方程组便可.【自主解答】由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|)＝－3，,\f(a·b,|a|)＝－\f(3,2)，,a·b＝－9，))∴|a|＝6，|b|＝3，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－9,6×3)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).1.投影是个数量，可正、可负、可为零.2.计算投影时要分清“谁是投影线”，即a在b上的投影为|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)；b在a上的投影为|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|).[再练一题]4.在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝3，求：(1)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))；(2)eq\o(AC,\s\up15(→))在eq\o(AB,\s\up15(→))方向上的投影；(3)eq\o(AB,\s\up15(→))在eq\o(BC,\s\up15(→))方向上的投影.【解】∵|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝3，∴△ABC为直角三角形，且C＝90°，∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).(1)eq\o(AB,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\o(BC,\s\up15(→))＝－5×4×eq\f(4,5)＝－16；1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.【解析】m·n＝|m||n|cos135°＝4×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－12eq\r(2).【答案】－12eq\r(2)2.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为________.【解析】|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\