【第三章】【第二节】-【导数及其应用】【导数之旅】课件

架起现实和数学的桥梁变化快慢的度量，设计优劣的评判导数及其应用架起现实和数学的桥梁变化快慢的度量，设计优劣的评判导数及其应1【第三章】【第二节】-【导数及其应用】【导数之旅】课件2无处不在的导数拓展服务区导数之旅132数学文化Show4无处不在的导数拓展服务区导数之旅132数学文化Show4第二节：倒数之旅目录分析变化识导数1简化出秘籍，变形助通关2拨开云雾见导数3第二节：倒数之旅目录分析变化识导数1简化出秘籍，变形助通关241景点一：分析变化识导数1景点一：分析变化识导数51景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入6

导数是微分的基础，微分是积分的基础，所以，导数就像是微积分这座城堡的大门，其作用可见一斑。言归正传，何谓导数？通俗点儿讲，导数就是变化率，反映变化快慢程度，从曲线上来看，导数就是斜率，而斜率又是什么呢？

这是个好问题！其精确定义，还得从曲线的斜率说起。1景点一：分析变化识导数变化率的引入导数是微分的基础，微分是积分的基础，所以，导数7设有曲线C:y=f(x)

及

C上的一点M（图3－１）,在点M

外另取C上一点

N

,作割线

MN

,当点N

沿曲线C

逐渐趋于点M

时,割线MN

绕点M

旋转,而逐渐趋于极限位置

MT

,直线MT

就称为曲线

C

在点

M

处的切线。1景点一：分析变化识导数导数的定义设有曲线C:y=f(x)及C上的一点M（图381景点一：分析变化识导数导数的定义1景点一：分析变化识导数导数的定义9设

是曲线C上的一点（上页图）,则

．在点M外另取C上一点

,割线MN

的斜率为:

其中

为割线的倾角，当点N

沿曲线C趋于点M时，

，如果

存在,则此极限就是切线MT的斜率,其中

是切线MT的倾角1景点一：分析变化识导数导数的定义设是曲线C上的一点（上10设函数y=f(x)

在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量

，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为

在x0处的导数，即

，记为：

还可记为：

，1景点一：分析变化识导数导数的定义设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x11下面介绍几个利用导数建立的变化率模型利用导数定义可以建立变化率模型，下面介绍几个例子。1景点一：分析变化识导数导数的定义下面介绍几个利用导数建立的变化率模型1景点一：分析变化识导数121景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在[0,t]这段时间内通过导线横截面的电荷为

，求

时刻的电流.例11景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在[0,131景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在[0,t]这段时间内通过导线横截面的电荷为

，求

时刻的电流.1景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在[0,14（1）若电流恒定

（2）若电流不恒定，平均电流

故

时刻电流

1景点一：分析变化识导数变化率的引入（1）若电流恒定1景点一：分析变化识151景点一：分析变化识导数变化率的引入（细杆的线密度模型）设一质量非均匀分布的细杆放在

x轴上，在[0，x]上的质量m是x的函数

m=m(x)，求杆上x0

的线密度。例21景点一：分析变化识导数变化率的引入（细杆的线密度模型）设一161景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入17如果细杆质量分布是均匀的，则长度为

的一段的质量为

，那么它的线密度为

而对于质量非均匀分布的细杆，可先求其平均线密度，即平均线密度

故

细杆在

处的线密度，即1景点一：分析变化识导数变化率的引入如果细杆质量分布是均匀的，则长度为的一段的质量为181景点一：分析变化识导数变化率的引入（边际成本模型）在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本。例31景点一：分析变化识导数变化率的引入（边际成本模型）在经济学19设一产品产量为

x单位时，总成本为C=C（x），称C（x）为总成本函数，简称为总成本函数。当产量由x变为

时

，总成本函数改变量为

这时，总成本的平均变化率为

它表示产量由x变到

时，在平均意义下的边际成本。当总成本函数C（x）可导时，其变化率表示该产品产量为x时的边际成本，即边际成本是总成本函数关于产量的导数。1景点一：分析变化识导数变化率的引入设一产品产量为x单位时，总成本为C=C（x），称C（x）201景点一：分析变化识导数变化率的引入（化学反应速度模型）在化学反应中一物质的浓度N和时间t的关系为N=N（t），求：在t时刻物质的瞬时反应速度。例41景点一：分析变化识导数变化率的引入（化学反应速度模型）在化21当时间以t

变到

时，浓度的平均变化率为

令

时，该物质在

时刻的瞬时反应速度为：

1景点一：分析变化识导数变化率的引入当时间以t变到时，浓度的平22上述现实模型的相似点是什么呢，理解导数的实际含义了吗？看到这么多数学符号，是不是又头大了？太抽象了，咱们看一个具体的例子，看看怎么用导数的定义来完成求导运算。1景点一：分析变化识导数变化率的引入上述现实模型的相似点是什么呢，理解导数的实际含义了吗？1景点231景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数

导数例51景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数24在x处给自变量一个增量

，相应函数增量为

,于是

，

；即

；则1景点一：分析变化识导数变化率的引入在x处给自变量一个增量，相应函数增量为,251景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数

导数例61景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数261景点一：分析变化识导数变化率的引入解：于是即：1景点一：分析变化识导数变化率的引入解：271景点一：分析变化识导数原来求导数可以分为三步走：第一步：求函数的增量：

第二步：计算的值第三步：求极限1景点一：分析变化识导数原来求导数可以分为三步走：第一步281.求函数

和

在任意点x处的导数，并求

2.一物体作直线运动，其运动方程为

(单位：时间s；长度

m).计算：(1)物体从2s到(2+)的平均速度；(2)物体在2s时的瞬时速度1景点一：分析变化识导数活动操练1.求函数和29导数是用来分析变化的工具；瞬间斜率就是曲线上各点的斜率；求某一点斜率和对函数求导离不开极限的概念。1景点一：分析变化识导数攻略驿站导数是用来分析变化的工具；1景点一：分析变化识导数攻略驿站302景点二：简化出秘籍，变形助通关2景点二：简化出秘籍，变形助通关312景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算322.1利用定义求导,可归纳出基本初等函数的求导公式:2.3.4.5.6.7.8.2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2.1利用定义求导,可归纳出基本初等函数的求导公式:2景点二332.1利用定义求导,可归纳出基本初等函数的求导公式:9.10.11.12.13.14.15.16.2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2.1利用定义求导,可归纳出基本初等函数的求导公式:2景点二34怎么样，够刺激吧，一下子就这么多公式，是不是崩溃了！其实，这些公式都是通过导数的定义推导整理后得出的，为的就是简化计算过程，实际上是对我们有利的啊。可以分类分组来记忆，如“常函数-幂函数-指数函数-对数函数-三角函数-反三角函数”，这样记忆更为扎实，不易混乱，这里以比较常用的第二个公式为例，通过漫画图示加深一下印象吧！2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算怎么样，够刺激吧，一下子就这么多公式，是不是崩溃了！其实，这352景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算362景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算求函数的导数例12景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算求函数37解：由于

，

根据公式

,得.2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算解：由于38求

在

处的导数.例22景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算求39解：2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算解：2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算402.利用定义求导数,可推导出导数的四则运算法则设

均可导,则（1）

；（2）

（C为常数）；（3）2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2.利用定义求导数,可推导出导数的四则运算法则2景点二：简41

一提到四则运算，我们就会想到实数运算的“加减乘除”，这里的导数运算也是类似的加减乘除，只不过要注意结论中的变化。变化率的引入2景点二：简化出秘籍，变形助通关一提到四则运算，我们就会想到实数运算的“加减乘42

2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算求下列函数的导数234例32景点43(1).(2).(3).(4).2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算(1).2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运442景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类451.复合函数求导法则设,

均可导,则复合函数

的导数为

或

2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类1.复合函数求导法则2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解462景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求下例函数的导数1.2.

3.（且）

例42景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求下例函数的导数472景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类(1)设

，则.因为

，所以

.(2)设

，则

，而

所以

.(3)设

，则

，而

，

.所以

.2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类(1)设482.函数的高阶导数

如果函数

y=f(x)的导数

仍然是

x的可导函数，那么称导数

的导数为函数

y=f(x)的二阶导数，记为

或

或

类似可定义更高阶的导数。2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类2.函数的高阶导数2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分492景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求函数

的二阶导数。例52景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求函数502景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类513.隐函数、对数、参数方程求导法----隐函数求导法

由方程F（x,y）=0直接求它的确定的隐函数之导数的方法叫隐函数求导法，对方程两边关于x求导即可，注意y是x的复合函数。2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类3.隐函数、对数、参数方程求导法----隐函数求导法2景点522景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求隐函数

的导数例62景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求隐函数532景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类方程两端对

x求导，得

解得

2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类543.隐函数、对数、参数方程求导法-------对数求导法它适合于含乘、除、乘方、开方的因子所构成的比较复杂的函数。步骤：（1）两边取对数；（2）两边对x求导；2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类3.隐函数、对数、参数方程求导法-------对数求导法2552景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求函数

的导数分析：本例题的底数与指数均含有自变量，不能用幂函数或指数函数的求导公式，可先两边取对数后再求导。例72景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求函数562景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类先两边取对数，得方程两边对

x求导，得于是

2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类先两边取对数，得573.隐函数、对数、参数方程求导法--------参数方程求导法参数方程

确定y与

x间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.其求导法则是：2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类3.隐函数、对数、参数方程求导法--------参数方程求导582景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求参数方程

确定的函数的导数例82景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求参数方程592景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类602景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练1.利用导数的四则运算法则求导2.3.

4.5.6.2景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练1.利用导数的四则运612景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练2.复合函数求导1.2.3.4.5.6.

7.8.9.y=y=2景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练622景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练3.求二阶导数1.2.3.2景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练3.求二阶导数634.求隐函数、对数函数、参数方程式函数的导数1.2.

3.4.5.6.7.8.9.10.2景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练4.求隐函数、对数函数、参数方程式函数的导数2景点二：简化64就是导数的定义，任何函数求导公式都能追溯到此公式上；对于基本求导公式建议按照学习基本初等函数的顺序去记忆，更加牢固；公式是为了简化运算的，所以，基本求导公式、四则运算、复合函数以及相应变形函数的求导计算是逐层递进的，注意了解层次关系，严格按照公式展开计算。2景点二：简化出秘籍，变形助通关攻略驿站

653景点三：拨开云雾见导数3景点三：拨开云雾见导数663景点三：拨开云雾见导数贯通基石3景点三：拨开云雾见导数贯通基石671.洛必达法则求极限把两个无穷小之比或者两个无穷大之比的极限称为“

”型或者“

”型不定式（或未定型）的极限，洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限的方法。3景点三：拨开云雾见导数贯通基石1.洛必达法则求极限3景点三：拨开云雾见导数贯通基石681.洛必达法则求极限——洛必达法则

若（1）

；（2）f(x)与g(x)在

的某个邻域（点

除外）可导，且

0；（3）

（A为有限数，也可为

）则

3景点三：拨开云雾见导数贯通基石1.洛必达法则求极限——洛必达法则3景点三：拨开云雾见导数贯693景点三：拨开云雾见导数贯通基石

求

例13景点三：拨开云雾见导数贯通基石703景点三：拨开云雾见导数贯通基石

解：3景点三：拨开云雾见导数贯通基石713景点三：拨开云雾见导数贯通基石

求

例23景点三：拨开云雾见导数贯通基石723景点三：拨开云雾见导数贯通基石

解：3景点三：拨开云雾见导数贯通基石733景点三：拨开云雾见导数贯通基石对于洛必达法则的几点解释：上述定理对时的未定型“”同样有用，对或时的未定型“”也有相应的法则。2.只要满足条件，可以多次使用洛必达法则，直到能求出极限。3.对0*∞，∞±∞型未定式，可通过取倒数、通分等恒等变形化为0/型或∞/∞型；对，，等幂指型未定式，可取对数化为0*∞型，然后化为0/0型或∞/∞型。3景点三：拨开云雾见导数贯通基石对于洛必达法则的几点解释：743.2大致描绘函数的图形

这时导数先生就要粉墨登场了！大家有没有发现，抛物线顶点处切线水平，即导数为0，可见导数为0的点应该比较特殊。假设我们在爬山，导数在x处为0，表明山坡高度在x处既不增加也不减小，犹如停留在一个平台上，而这个平台可能是个小山峰，可能是个小山谷，还有可能是一个服务区供你休息，见下图。当你爬山时，在这些点处，想必都会驻足停留，或欣赏美景或整装待发，总之我们称他们为“驻点”，即导数等于0的点是驻点。3景点三：拨开云雾见导数贯通基石3.2大致描绘函数的图形3景点三：拨开云雾见导数贯通基石753景点三：拨开云雾见导数贯通基石怎么样，明白了吗？让我们通过下面的漫画图示再加深一下印象吧！3景点三：拨开云雾见导数贯通基石怎么样，明白了吗？让我们通过76这里说“大致描绘”而不用“精确描绘”，因为在实际应用中往往知晓函数的大致图像即可，怎么来“大致描绘”呢？一般来讲，描绘步骤如下：(1)确定函数的定义域，讨论其对称性及周期性；(2)确定函数的单调性和极值；(3)确定函数的凹凸性和拐点；(4)确定函数与坐标轴的交点；(5)作图描绘。其中，单调性指的是增减性，有下述结论3景点三：拨开云雾见导数贯通基石这里说“大致描绘”而不用“精确描绘”，因为在实际应用中往往知77定理(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导

(1)如果在(a，b)内f(x)>0，那么函数y=f(x)在[a，

b]上单调增加

(2)如果在(a，b)内f(x)<0，那么函数y=f(x)在[a，

b]上单调减少

3景点三：拨开云雾见导数贯通基石定理(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a，b]783景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：判断函数的单调性和极值。函数的定义域为,令，得两个驻点，列表分析:3景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：判断函数793景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：

0极大值

极小值0↘↗↗01+-+3景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：0极大值极80整理一下这种方法，就是利用一阶导数来列表判断，稍微有点儿麻烦，有没有更简单一点的方法呢？其实也可以借助于二阶导数，依据如下：贯通基石3景点三：拨开云雾见导数整理一下这种方法，就是利用一阶导数来列表判断，81定理（函数极值判定方法）设函数f(x)在点

处具有二阶导数且

1）如果

，则

f(x)在点

处取得极大值；2）如果

，则f(x)在点

处取得极小值。注意：用二阶导数判断时，若二阶导等于0，还是得用麻烦方法，不过这个概率极小。3景点三：拨开云雾见导数贯通基石定理（函数极值判定方法）3景点三：拨开云雾见导数贯通基石823景点三：拨开云雾见导数贯通基石由于，显然，，故在处取得极大值，在处取得极小值。3景点三：拨开云雾见导数贯通基石由于833景点三：拨开云雾见导数贯通基石相对来讲，还是二阶导数判断起来更简单！那函数递增时是怎么个增法？凹增还是凸增？3景点三：拨开云雾见导数贯通基石相对来讲，还是二阶导数判断起84讨论下吧！真是学霸级别的问题啊，这是个大家容易忽略的细节！我们接下来就要解决这个问题，即确定函数的凹凸性和拐点，结论如下：3景点三：拨开云雾见导数贯通基石讨论下吧！真是学霸级别的问题啊，这是个大家容易忽略的细节！我853景点三：拨开云雾见导数贯通基石定理（函数凹凸性和拐点）设函数在开区间（a,b）内具有二阶导数，（1）若在(a,b)内，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的（笑脸）；（2）若在(a,b)内，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的（哭脸）。若某一点是曲线凹和凸的分界点，则称该点为曲线的拐点，拐点处反之未必成立。3景点三：拨开云雾见导数贯通基石定理（函数凹凸性和拐点）设函863景点三：拨开云雾见导数贯通基石对于刚才的例题，，显然，当x>0时，曲线是凹的，当x<0时，曲线是凸的，因此曲线的拐点为(0,0).3景点三：拨开云雾见导数贯通基石对于刚才的例题，873景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：判断函数的凹凸性和拐点。3景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：判断函数883景点三：拨开云雾见导数贯通基石解：函数的定义域为,令得：，列表格分析：

拐点+0-3景点三：拨开云雾见导数贯通基石解：函数的定义域为893景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：大致描绘函数的图像。综上分析，函数f(x)=2x-9x+12x-3的主要性质见下表323景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：大致描绘函数903景点三：拨开云雾见导数贯通基石解：0↘极大拐点↘极小↗0000+---+---+++↗3景点三：拨开云雾见导数贯通基石解：0913景点三：拨开云雾见导数贯通基石因此，函数的大致图像如下：Oxy3景点三：拨开云雾见导数贯通基石因此，函数的大致图像如下：O923景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数雾里看花933景点三：拨开云雾见导数3.3求曲线的曲率3景点三：拨开云雾见导数3.3求曲线的曲率941.曲率的基本定义直觉与经验告诉我们：直线没有弯曲，圆周上每一处的弯曲程度是相同的，半径较小的圆弯曲得较半径较大的圆要厉害些，抛物线在顶点附近弯曲得比其他位置厉害些。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花1.曲率的基本定义3景点三：拨开云雾见导数雾里看花953景点三：拨开云雾见导数雾里看花何为弯曲得厉害些?即：用怎样的数学量来刻划曲线弯曲的程度呢?让我们先弄清曲线的弯曲与哪些因素有关。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花何为弯曲得厉害些?即：用963景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数雾里看花973景点三：拨开云雾见导数雾里看花下面，我们给出刻划曲线弯曲程度的数学量－曲率的定义。设曲线

具有连续转动的切线，在

上选定一点

作为度量弧的基点。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花下面，我们给出刻划曲线弯曲程98设曲线C上的点M

对应于弧S，切线的倾角为

，曲线上的另一点

对应于弧

，切线的倾角为

。那么，弧段

的长度为

，当切点

从M移到点

时，切线转过的角度为

。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花设曲线C上的点M对应于弧S，切线的倾角为99比值

表示单位弧段上的切线转角，刻划了弧

的平均弯曲程度。称它为弧段

的平均曲率。记作

。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花比值表示单位弧段上的切线转角，刻划了弧100当

时(即：)，上述平均曲率的极限就称着曲线在点M处的曲率，记作K。

(1)当

存在时，有

。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花当时(即：101由上述定义知，曲率是一个局部概念，谈曲线的弯曲应该具体地指出是曲线在哪一点处的弯曲，这样才准确。曲率计算公式

(2)3景点三：拨开云雾见导数雾里看花由上述定义知，曲率是一个局部概念，谈曲线的弯曲应该具体地指出102假设曲线方程是参数方程

，则

(3)3景点三：拨开云雾见导数雾里看花假设曲线方程是参数方程1033景点三：拨开云雾见导数雾里看花求立方抛物线

上任一点的曲率。例：3景点三：拨开云雾见导数雾里看花求立方抛物线1043景点三：拨开云雾见导数雾里看花解：上面两个图形分别是立方抛物线与它的曲率函数的图象。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花解：上面两个图形分别是立方抛105曲率圆与曲率半径3景点三：拨开云雾见导数雾里看花曲率圆与曲率半径3景点三：拨开云雾见导数雾里看花106曲率圆与曲率半径依据上述定义可以推得：1、曲率与曲率半径的关系为：2、曲线与它的曲率圆在同一点处有相同的切线，曲率，凹向。因此，可用圆率圆在点处的一段圆弧来近似地替代曲线弧。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花曲率圆与曲率半径3景点三：拨开云雾见导数雾里看花1073景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数雾里看花1083.4求最大值或最小值在工农业生产、工程技术及科学实验中经常会遇到这样一些实际问题：在一定条件下，怎样才能使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等问题，这类问题常常可归结为求某函数的最大值或最小值问题，可以利用导数来求解。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花3.4求最大值或最小值3景点三：拨开云雾见导数雾里看花109

我们知道在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值，这在理论上肯定了最值的存在性，但是怎么求出函数的最值呢？首先假设函数的最大（小）值在开区间内取得，那么最大（小）值也一定是函数的极大（小）值，由上节的分析知道，使函数取得极值的点一定是函数的驻点或导数不存在的点。另外函数的最值也可能在区间端点上取得。因此我们只需把函数的驻点、导数不存在的点及区间端点的函数值一一算出，并加以比较，便可求得函数的最值。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花我们知道在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小110求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上最大（小）值的一般步骤是：1）求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x1,x2,。。。xn,;2）计算出函数值f(x1),f(x2),…f(xn);以及f(a)与f(b);3）比较上述值的大小.3景点三：拨开云雾见导数雾里看花求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上最大（小）值的一般步1113景点三：拨开云雾见导数雾里看花

求函数

在[-3,4]上的最值。

例：3景点三：拨开云雾见导数雾里看花求函数1123景点三：拨开云雾见导数雾里看花因为f(x)在[-3,4]上连续，所以在该区间上存在最大和最小值。又因为

，令

，得驻点

，由于

比较各值，可得f(x)最大值为2，最小值为-10解：3景点三：拨开云雾见导数雾里看花因为f(x)在[-3,4]1133景点三：拨开云雾见导数雾里看花有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为x，问高x取何值时水槽的流量最大。例：3景点三：拨开云雾见导数雾里看花有一块宽为2a的长方形铁皮，1143景点三：拨开云雾见导数雾里看花设两边各折起，则横截面积为S(x)=2x(a-x)(0<x<a)，由于

，所以，令

，得驻点为

由实际意义，其最大值在

时取得，所以当

时，流量最大。解：3景点三：拨开云雾见导数雾里看花设两边各折起，则横截面积为S1153景点三：拨开云雾见导数内涵转化3景点三：拨开云雾见导数内涵转化1163景点三：拨开云雾见导数内涵转化生活中有很多求最大或最小值的问题，看来导数确实用处不小，还是值得好好学习的。不过说它是微分的基础，又体现在哪里呢？什么是微分？3景点三：拨开云雾见导数内涵转化生活中有很多求最大或最小值的1173景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分是微分学的一个重要概念,它与导数既密切相关又有本质区别.导数反映函数在某点变化的快慢程度,而微分则描述函数的增量的近似程度.

微分3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分是微分学的一个重要概念,118在许多实际问题中,要求研究函数因自变量的微小改变而引起的函数值的改变.例如

引例设有一正方形铁片,当受热膨胀时,其边长由

变到

,求其面积改变量的近似值.3景点三：拨开云雾见导数内涵转化在许多实际问题中,要求研究函数因自变量的微小改变而引起的函119设正方形的边长为x,面积为A,则

,当边长由

变到

时,面积A对应的增量为.上式右边第一项

是

的线性函数,第二项

是当

时比

高阶的无穷小量

.因此当

很小时,面积的改变量

可近似地用第一项代替,即

.3景点三：拨开云雾见导数内涵转化设正方形的边长为x,面积为A,则120微分的定义若函数y=f(x)在点

x处的改变量

，可表示为

。其中

A为常数，则函数y=f(x)在点

处可微，

称为函数在点

的微分，记为

且有

，则3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分的定义3景点三：拨开云雾见导数内涵转化121微分的定义是的线性函数，称增量的线性主部；=是的高阶无穷小。从定义注意两点：1）微分是函数增量的主部；2）微分的值与

x及

都有关；3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分的定义3景点三：拨开云雾见导数内涵转化122微分的几何意义设函数y=f(x)在点

可微.如图,

MT是曲线y=f(x)上点

处的切线,它的倾角为

,当横坐标x

有增量

时,相应地曲线的纵坐标Y有增量,对应曲线上的点3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分的几何意义3景点三：拨开云雾见导数内涵转化123微分的几何意义如图所示

,,则

,即

.3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分的几何意义3景点三：拨开云雾见导数内涵转化124几何定义因此函数的微分dy是曲线y=f(x)在点M处切线的纵坐标的相应增量.而

是曲线在点M处纵坐标的相应增量.3景点三：拨开云雾见导数内涵转化几何定义3景点三：拨开云雾见导数内涵转化125几何定义若用dy近似代替,产生的误差:

是

的高阶无穷小,也就是说在M点附近可用切线段近似代替曲线段,即“以直代曲”.3景点三：拨开云雾见导数内涵转化几何定义3景点三：拨开云雾见导数内涵转化1263景点三：拨开云雾见导数内涵转化求函数

在x=1，

时的改变量及微分.例：3景点三：拨开云雾见导数内涵转化求函数1273景点三：拨开云雾见导数内涵转化

在点x=1处，

所以

注：可见，函数值的改变量0.331与微分0.3十分接近，因此很多时候可以用微分近似代替函数改变量。

解：3景点三：拨开云雾见导数内涵转化解：128近似公式：当函数y=f(x)在

处的导数

，且

很小时，有近似公式

①或

②上式中令

，

则

③3景点三：拨开云雾见导数内涵转化近似公式：3景点三：拨开云雾见导数内涵转化129注：在

很小，即

很小时，左边非线性函数能用右边近似代替。3景点三：拨开云雾见导数内涵转化注：在很小，即很1303景点三：拨开云雾见导数内涵转化计算

的近似值.例：3景点三：拨开云雾见导数内涵转化计算1313景点三：拨开云雾见导数内涵转化解：设f(x)=,f′(x)＝

x,f′(1)＝由

＝f(1.002)＝f(1＋0.002) ≈f(1)＋f′(1)×0.002

＝1＝

×0.002＝1.000023景点三：拨开云雾见导数内涵转化解：设f(x)=1321.利用洛必达法则求极限(1)

(2)(3)

(4)3景点三：拨开云雾见导数活动操练1.利用洛必达法则求极限3景点三：拨开云雾见导数活动操练1332.求出下列函数的单调区间(1)

(2)3景点三：拨开云雾见导数活动操练2.求出下列函数的单调区间3景点三：拨开云雾见导数活动操练1343.求函数的极值(1)

(2)(3)

(4)3景点三：拨开云雾见导数活动操练3.求函数的极值3景点三：拨开云雾见导数活动操练1354.求函数的最值(1),[-3,3](2),[-2,3]5.求曲线的凹凸区间和拐点(1)(4)3景点三：拨开云雾见导数活动操练4.求函数的最值3景点三：拨开云雾见导数活动操练1366.求曲线的曲率(1),点A(1，1)(2),t=π/3

7.画出函数的大致形状曲线。(1)(4)3景点三：拨开云雾见导数活动操练6.求曲线的曲率3景点三：拨开云雾见导数活动操练1378.

计算

的近似值.9.某球体的体积从972

增加到973

，试求其半径改变量的近似值.10.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?3景点三：拨开云雾见导数活动操练8.计算的近似值.3景点三：拨开云雾见导数13811.铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km，AC垂直于AB.为了运输需要，要在AB上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？3景点三：拨开云雾见导数活动操练11.铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20139掌握导数应用问题的秘籍1.助力数学问题解决洛必达法则单调性、极值、凹凸性3景点三：拨开云雾见导数攻略驿站掌握导数应用问题的秘籍3景点三：拨开云雾见导数攻略驿站140掌握导数应用问题的秘籍2.挖掘现实生活案例生活中的曲线弧经济中的最值问题实际问题细微化（微分）3景点三：拨开云雾见导数攻略驿站掌握导数应用问题的秘籍3景点三：拨开云雾见导数攻略驿站141【第三章】【第二节】-【导数及其应用】【导数之旅】课件架起现实和数学的桥梁变化快慢的度量，设计优劣的评判导数及其应用架起现实和数学的桥梁变化快慢的度量，设计优劣的评判导数及其应143【第三章】【第二节】-【导数及其应用】【导数之旅】课件144无处不在的导数拓展服务区导数之旅132数学文化Show4无处不在的导数拓展服务区导数之旅132数学文化Show4第二节：倒数之旅目录分析变化识导数1简化出秘籍，变形助通关2拨开云雾见导数3第二节：倒数之旅目录分析变化识导数1简化出秘籍，变形助通关21461景点一：分析变化识导数1景点一：分析变化识导数1471景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入148

导数是微分的基础，微分是积分的基础，所以，导数就像是微积分这座城堡的大门，其作用可见一斑。言归正传，何谓导数？通俗点儿讲，导数就是变化率，反映变化快慢程度，从曲线上来看，导数就是斜率，而斜率又是什么呢？

这是个好问题！其精确定义，还得从曲线的斜率说起。1景点一：分析变化识导数变化率的引入导数是微分的基础，微分是积分的基础，所以，导数149设有曲线C:y=f(x)

及

C上的一点M（图3－１）,在点M

外另取C上一点

N

,作割线

MN

,当点N

沿曲线C

逐渐趋于点M

时,割线MN

绕点M

旋转,而逐渐趋于极限位置

MT

,直线MT

就称为曲线

C

在点

M

处的切线。1景点一：分析变化识导数导数的定义设有曲线C:y=f(x)及C上的一点M（图31501景点一：分析变化识导数导数的定义1景点一：分析变化识导数导数的定义151设

是曲线C上的一点（上页图）,则

．在点M外另取C上一点

,割线MN

的斜率为:

其中

为割线的倾角，当点N

沿曲线C趋于点M时，

，如果

存在,则此极限就是切线MT的斜率,其中

是切线MT的倾角1景点一：分析变化识导数导数的定义设是曲线C上的一点（上152设函数y=f(x)

在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量

，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为

在x0处的导数，即

，记为：

还可记为：

，1景点一：分析变化识导数导数的定义设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x153下面介绍几个利用导数建立的变化率模型利用导数定义可以建立变化率模型，下面介绍几个例子。1景点一：分析变化识导数导数的定义下面介绍几个利用导数建立的变化率模型1景点一：分析变化识导数1541景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在[0,t]这段时间内通过导线横截面的电荷为

，求

时刻的电流.例11景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在[0,1551景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在[0,t]这段时间内通过导线横截面的电荷为

，求

时刻的电流.1景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在[0,156（1）若电流恒定

（2）若电流不恒定，平均电流

故

时刻电流

1景点一：分析变化识导数变化率的引入（1）若电流恒定1景点一：分析变化识1571景点一：分析变化识导数变化率的引入（细杆的线密度模型）设一质量非均匀分布的细杆放在

x轴上，在[0，x]上的质量m是x的函数

m=m(x)，求杆上x0

的线密度。例21景点一：分析变化识导数变化率的引入（细杆的线密度模型）设一1581景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入159如果细杆质量分布是均匀的，则长度为

的一段的质量为

，那么它的线密度为

而对于质量非均匀分布的细杆，可先求其平均线密度，即平均线密度

故

细杆在

处的线密度，即1景点一：分析变化识导数变化率的引入如果细杆质量分布是均匀的，则长度为的一段的质量为1601景点一：分析变化识导数变化率的引入（边际成本模型）在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本。例31景点一：分析变化识导数变化率的引入（边际成本模型）在经济学161设一产品产量为

x单位时，总成本为C=C（x），称C（x）为总成本函数，简称为总成本函数。当产量由x变为

时

，总成本函数改变量为

这时，总成本的平均变化率为

它表示产量由x变到

时，在平均意义下的边际成本。当总成本函数C（x）可导时，其变化率表示该产品产量为x时的边际成本，即边际成本是总成本函数关于产量的导数。1景点一：分析变化识导数变化率的引入设一产品产量为x单位时，总成本为C=C（x），称C（x）1621景点一：分析变化识导数变化率的引入（化学反应速度模型）在化学反应中一物质的浓度N和时间t的关系为N=N（t），求：在t时刻物质的瞬时反应速度。例41景点一：分析变化识导数变化率的引入（化学反应速度模型）在化163当时间以t

变到

时，浓度的平均变化率为

令

时，该物质在

时刻的瞬时反应速度为：

1景点一：分析变化识导数变化率的引入当时间以t变到时，浓度的平164上述现实模型的相似点是什么呢，理解导数的实际含义了吗？看到这么多数学符号，是不是又头大了？太抽象了，咱们看一个具体的例子，看看怎么用导数的定义来完成求导运算。1景点一：分析变化识导数变化率的引入上述现实模型的相似点是什么呢，理解导数的实际含义了吗？1景点1651景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数

导数例51景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数166在x处给自变量一个增量

，相应函数增量为

,于是

，

；即

；则1景点一：分析变化识导数变化率的引入在x处给自变量一个增量，相应函数增量为,1671景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数

导数例61景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数1681景点一：分析变化识导数变化率的引入解：于是即：1景点一：分析变化识导数变化率的引入解：1691景点一：分析变化识导数原来求导数可以分为三步走：第一步：求函数的增量：

第二步：计算的值第三步：求极限1景点一：分析变化识导数原来求导数可以分为三步走：第一步1701.求函数

和

在任意点x处的导数，并求

2.一物体作直线运动，其运动方程为

(单位：时间s；长度

m).计算：(1)物体从2s到(2+)的平均速度；(2)物体在2s时的瞬时速度1景点一：分析变化识导数活动操练1.求函数和171导数是用来分析变化的工具；瞬间斜率就是曲线上各点的斜率；求某一点斜率和对函数求导离不开极限的概念。1景点一：分析变化识导数攻略驿站导数是用来分析变化的工具；1景点一：分析变化识导数攻略驿站1722景点二：简化出秘籍，变形助通关2景点二：简化出秘籍，变形助通关1732景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算1742.1利用定义求导,可归纳出基本初等函数的求导公式:2.3.