2023学年2022最新 点斜式

2.1.2直线的方程第1课时点斜式1．掌握直线的点斜式与斜截式方程．(重点、难点)2．能利用点斜式求直线的方程．(重点)3．了解直线的斜截式与一次函数之间的区别和联系．(易混点)[基础·初探]教材整理1直线的点斜式方程阅读教材P80～P81，完成下列问题．1．过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．2．过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1.1．过点(2,3)，斜率为－1的直线的方程为________．【解析】由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.【答案】y＝－x＋52．过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．【解析】过点P(1,1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.【答案】y＝1x＝13．若直线l过点A(－1,1)，B(2,4)，则直线l的方程为________．【解析】k＝eq\f(4－1,2－－1)＝1，l的方程为y－1＝1·(x＋1)，即y＝x＋2.【答案】y＝x＋2教材整理2直线的斜截式方程阅读教材P82探究以上部分内容，完成下列问题．斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(√)(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(×)(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(√)(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.(√)2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________.【导学号：41292066】【解析】k＝tan60°＝eq\r(3)，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝eq\r(3)(x－0)，即eq\r(3)x－y－2＝0.【答案】eq\r(3)x－y－2＝0[小组合作型]利用点斜式求直线的方程根据下列条件，求直线的方程．(1)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点A(1,1)，B(2,3)．【精彩点拨】先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．【自主解答】(1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线的斜率k＝eq\f(3－1,2－1)＝2.∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．[再练一题]1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1,2)；(2)在x轴上的截距是－5.【解】(1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan135°＝－1，又直线经过点(－1,2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5,0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.利用斜截式求直线的方程根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【精彩点拨】(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．【自主解答】(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3).由斜截式可得方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.1．直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2．当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．[再练一题]2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－eq\r(3)x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.【导学号：41292067】【解】(1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)x.(2)设直线y＝－eq\r(3)x＋1的倾斜角为α，则tanα＝－eq\r(3)，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan60°＝eq\r(3).∴直线的斜截式方程为y＝eq\r(3)x－10.[探究共研型]直线的点斜式方程和斜截式方程的应用探究1对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？【提示】直线y＝kx＋1过定点(0,1)，直线不过第三象限，只需k<0.探究2已知直线l的方程是2x＋y－1＝0，求直线的斜率k在y轴上的截距b，以及与y轴交点P的坐标．【提示】∵2x＋y－1＝0可变形为y＝－2x＋1，斜率k＝－2.令x＝0，得y＝1，即b＝1，直线l与y轴的交点为(0,1)．已知直线l经过点P(4,1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．【精彩点拨】设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．【自主解答】设所求直线的点斜式方程为：y－1＝k(x－4)(k<0)，当x＝0时，y＝1－4k；当y＝0时，x＝4－eq\f(1,k).由题意，得eq\f(1,2)×(1－4k)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,k)))＝8.解得k＝－eq\f(1,4).所以直线l的点斜式方程为y－1＝－eq\f(1,4)(x－4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．[再练一题]3．已知直线l的斜率为eq\f(1,6)，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．【解】设直线方程为y＝eq\f(1,6)x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得eq\f(1,2)·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线方程为y＝eq\f(1,6)x＋1或y＝eq\f(1,6)x－1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.1．直线y－2＝－eq\r(3)(x＋1)的倾斜角和所过的点分别为________．【解析】由点斜式方程知，直线过点(－1,2)，斜率为－eq\r(3)，∴倾斜角为120°.【答案】120°，(－1,2)2．已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则直线的斜率为________．【解析】化直线方程为斜截式：y＝－x－3，∴斜率为－1.【答案】－13．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝eq\f(\r(2),2)x－2的斜率的2倍的直线方程是_____．【解析】由方程知，已知直线的斜率为eq\f(\r(2),2)，∴所求直线的斜率是eq\r(2)，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝eq\r(2)(x＋1)，即eq\r(2)x－y＋eq\r(2)＋1＝0.【答案】eq\r(2)x－y＋eq\r(2)＋1＝04．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________.【导学号：41292068】【解析】直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tanα＝－1，即α＝135°.【答案】135°，－15．求经过点A(－3,4)，且在两