教学第五、六讲-轴向拉压变形课件

§2-8轴向拉伸或压缩时的变形§2-10拉（压）超静定问题MechanicofMaterials第五、六讲内容目录§2-12应力集中的概念§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能1§2-8轴向拉伸或压缩时的变形§2-10拉（压）超静定拉压杆的变形与位移、超静定问题

教学要求：1、超静定问题的基本方法（拉压）

；2、熟练掌握纵向、横向应变，虎克定律和材料的弹性模量E这些基本概念和定律；3、掌握求拉压杆的变形。

重点：应变、虎克定律

难点：求拉压杆系变形后的位置

学时安排：2学时教学内容：第五、六讲的内容、要求、重难点MechanicofMaterials2拉压杆的变形与位移、超静定问题教学内容：第五、六讲§2-8轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形直杆在外力F作用前后的情况如图中所示：

1、轴向变形MechanicofMaterials轴向绝对变形3§2-8轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压缩时轴线方向线应变：

横截面上应力：

虎克定律：

------------虎克定律的两种表达形式

物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l与F和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。式中：EA——杆件的抗拉（压）刚度。EA越大，l越小

MechanicofMaterials§2-8轴向拉伸或压缩时的变形4轴线方向线应变：横截面上应力：虎克定律：-------2）构件的工作应力（线弹性范围内）；3）轴力N、横截面面积A为常量——等直杆两端受轴向力；讨论：1.轴力变化时1）L为“+”时伸长，为“-”时缩短，符号规定与轴力一致。拉为“+”，压为“-”。2.横截面变化时：BCACAB阶梯状杆2.公式的应用范围与注意事项52）构件的工作应力（线弹性范围内）；3）轴力N、横截面面积A若轴力FN=FN(x)，或AN=AN(x)则3、位移的计算物体受外力后会发生形状和尺寸的改变，称为物体的变形，物体变形后，在物体上一些点、线、面会发生空间位置的改变。物体点、线、面空间位置的改变称位移。有变形就会有位移；但有位移不一定有变形，因为可能是刚体位移。6若轴力FN=FN(x)，或AN=AN(x)则3、

例1图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△L解:7例1图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2例2

螺栓直径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度l=80mm内产生总伸长

∆l=0.03mm,钢的弹性模量E=210Gpa,试计算螺栓内应力和螺栓的预紧力。解：应变:应力:预紧力:8例2螺栓直径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度l=800.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa例3:已知:1)求最大的工作正应力。2)求杆的绝对变形量Δl。试：FN图（kN）20（+）10(－)§2-8轴向拉伸或压缩时的变形MechanicofMaterials

Paσ图（MPa）40（+）20（－）50（－）90.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2AA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8轴向拉伸或压缩时的变形MechanicofMaterials10kN0.1m0.1m0.1m30kNFN图（kN）20（+）10(－)σ图（MPa）40（+）20（－）50（－）10A1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8二、横向变形：

横向应变：

实践表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值为一常数，即：μ——称为横向变形系数或泊松比，是个没有量纲的量。

MechanicofMaterials因和的符号总是相反的。故可知§2-8轴向拉伸或压缩时的变形几种常用材料的

值见书P33表2.211二、横向变形：横向应变：实践表明：当应力不超过比例极三．变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形

图所示，截面尺寸沿轴线变化缓慢，且外力作用线与轴线重合，我们在杆件中取出dx微段，由于dx非常微小。故从而，整个杆件的伸长为：

§2-8轴向拉伸或压缩时的变形dxlOSx怎样求A(x)b1b2bMechanicofMaterials由相似三角形的比例关系求解A(x)。12三．变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形图所示，截l四、等直杆在分布力系作用下的变形例4如图，等直杆，外力为F，自重集度为q，长度为l，容重为弹性模量为E，容许应力为[]求：伸长l。FMechanicofMaterials[分析]此题与上面一题非常相似，由于自重的影响，杆内各横截面的轴力不相等，故不能直接应用

而必须从杆的长度为dx的微段出发，略去无穷小量dN(x)，用公式并利用积分求得

△l

§2-8轴向拉伸或压缩时的变形13l四、等直杆在分布力系作用下的变形例4如图，等直杆，lFFMechanicofMaterials

作微段的受力分析如图所示，利用虎克定律可得微段dx的伸长为：对上式两边按杆件长度进行积分，即可求得整个杆件的伸长量为：§2-8轴向拉伸或压缩时的变形14lFFMechanicofMaterials例5：图示为一简单托架，BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。若,试求B点的位移。设F=60kN(b)B2B1BB3(c)MechanicofMaterials§2-8轴向拉伸或压缩时的变形4m3mDCBFB3B1B2(a)GHααα15例5：图示为一简单托架，BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm解：（1）对B点作受力分析，如图(b)由

（2）根据静力学平衡方程求未知应力MechanicofMaterials（3）由虎克定律求BC、BD杆的变形：(b)（4）求B点位移§2-8轴向拉伸或压缩时的变形16解：（1）对B点作受力分析，如图(b)由（2）根据静力学平讨论1：图示为一简单桁架，DB杆横截面为A、杆长l；BC杆为8号槽钢。若已知力F和两杆弹性模量均为E。试求B点的位移。

MechanicofMaterials§2-8轴向拉伸或压缩时的变形DCBFαB‘0(b)BF17讨论1：图示为一简单桁架，DB杆横截面为A、杆长l；MechanicofMaterials§2-8轴向拉伸或压缩时的变形例题7

简易起重机构如图，

为刚性梁，求C点的位移LPqABCDhxEAB’C’18MechanicofMaterials§2-8轴向123LFAB刚体MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题求A点的位移A’0αααF19123LFAB刚体MechanicofMateria§2-7轴向拉伸或压缩时的变形目录MechanicofMaterials讨论题2：在板状试件的表面上，沿纵向和横向粘贴两个应变片，在立作用下，若测得则该试件材料的泊松比是

。FF√20§2-7轴向拉伸或压缩时的变形目录Mechanic§2-7轴向拉伸或压缩时的变形目录MechanicofMaterials讨论题3：图示阶梯杆总变形EA2EA3FF2Fll√21§2-7轴向拉伸或压缩时的变形目录Mechanic目录MechanicofMaterials§2-7轴向拉伸或压缩时的变形讨论题4：图示平板，受均布荷载q作用，若变形前在板面上划两条平行线AB、CD阶梯杆总变形。，α角减小；，α角不变；，α角增大；qqABαCDα√22目录MechanicofMaterials§2-71、定义：在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形能或应变能。则：设直线的斜率为k2、变形能的计算MechanicofMaterials§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能一、基本概念P（1）弹性范围，外力与变形成正比231、定义：在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变力由零逐渐增加。在比例极限的范围之内关系如图。当外力加到F1时，杆件的伸长量为l1。当外力加到F1+dF1时，杆件的伸长量为l1+d(l1)。

由于dF1为无穷小量，在区间(a,b)内我们可近似地认为F1为常量，则在这个区间内外力作的功为：

MechanicofMaterials§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能P24力由零逐渐增加。在比例极限的范围之内关系dW在数值上等于阴影部分的面积，当我们把拉力F看作是一系列dF1的积累时，则拉力F所作的总功W应为上述微分面积的总和。即W等于F~l线下与水平轴之间区域的面积。

根据功能原理可知：拉力F所作的功应等于杆件所储存的变形能。（缓慢加载，动能忽略，热能微小，可忽略）杆件的变形能用U表示，则：MechanicofMaterials§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能P25dW在数值上等于阴影部分的面积，当我们把拉力F看作是由虎克定律：变形能：

由于整个杆件内各点的受力是均匀的，故每单位体积内储存的变形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示。——比能

∵∴

（线弹性范围内）单位：比能的单位为：J/m3MechanicofMaterials（2-17）

§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能P26由虎克定律：变形能：由于整个杆件内各点的受力是均解：例：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的位移A

。已知F=100kN,杆长l=2m，杆径d=25mm,

=30°，材料的弹性模量E=210GPa。FABCaa12MechanicofMaterials而§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能27解：例：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的一、静定与超静定的概念：1、静定问题

仅利用静力学平衡方程就可求解出全部未知力的问题称为静定问题。相应的结构称静定结构。2、超静定问题

仅利用静力学平衡方程无法确定全部未知力的问题称为超静定问题或静不定问题。相应的结构称超静定结构或静不定结构。§2-10拉（压）超静定问题特点：未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程数目。特点：未知力的个数多于独立的平衡方程数目。MechanicofMaterials28一、静定与超静定的概念：1、静定问题2、超静定问题§2-10二、实例

如图所示：当把螺母旋进1/4圈以后，螺栓必然受到拉力而FN1而使筒受到压力FN2，由于在这里求解FN1，FN2

的静力平衡方程只有一个：故不能求解出FN1和FN2

，因此该问题属静不定问题。

MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题29二、实例如图所示：当把螺母旋进1/4圈以后，螺三、静不定次数（——超静定次数）=

未知力数目—独立平衡方程的数目。四、求解步骤：

（1）通过分析多余未知力的数目和独立平衡方程的数目，判明是否属静不定问题，若是静不定问题，属几次静不定问题。（2）建立静力学平衡方程。（3）根据构件之间的变形关系，找出几何方程。（4）根据虎克定律建立物理方程。（5）根据静力平衡方程、几何方程、物理方程求解出全部求知力。MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题五、荷载作用下超静定问题30三、静不定次数（——超静定次数）=未知力数目—独立平四、求例４：AB杆上下两端固定，尺寸、材料、受力，求约束反力、杆内应力。（1）建立静力学平衡方程（2）寻找几何方程（3）建立物理方程(1)PBAC(3)(2)PABCPCBAMechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题31例４：AB杆上下两端固定，尺寸、材料、受力，求约束反力、杆（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调条件（或称相容方程、补充方程）(4)（5）联立方程（1）、（4），即可求解未知力解题关键点：找几何方程、建立协调条件方程。MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题应力：PBAC32（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调(4)（5）联立方程同学思考ABlllF1F2ABll△FMechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题33同学思考ABlllF1F2ABll△FMechanico例5：如图所示结构中，1，2杆抗拉刚度为E1A1，3杆抗拉刚度为E3A3，求各杆内力?解：1）取A结点研究，作受力图如图所示（1）由于未知力个数是2个（FN1和FN3），而平衡方程数只有1个，故为一次超静定问题。A123PLP2）建立静力学平衡方程（2）MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题34例5：如图所示结构中，1，2杆抗拉刚度为E1A1，3杆3）几何方程由结构、材料、荷载的对称性4）物理方程123LA（3）（4）5）变形协调条件（5）联立（3）、（4）MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题6）联立（1），（5）即可求得未知力如下353）几何方程由结构、材料、荷载的对称性4）物理方程123LA例6：

列出求解图示静不定结构的静力学平衡方程、几何方程和物理方程。解：1）静力学平衡方程2）几何方程123LaaFAB刚体ＰMechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题36例6：列出求解图示静不定结构的静力学平衡方程、几何方程解一、装配应力的求解（举例说明）

装配应力（对于一个静不定结构，结构装配过程中产生的应力）和温度应力（对于一个静不定结构，温度变化导致构件内产生的应力）问题均为静不定问题中的一种，属特殊的静不定问题。因此，该两种问题的求解方法与前述静不定问题的求解方法一致。

例7：如图所示，3杆因制造误差，比设计尺寸短了，求强行装配之后，各杆内产生的装配应力。A123LMechanicofMaterials§2-11温度应力和装配应力37一、装配应力的求解（举例说明）装配应力（对于一2）建立静力学平衡方程（根据受力图）3）建立几何方程（根据几何变形图）AA1）取A点为研究对象，画受力图和几何变形图如图所示（1）（2）MechanicofMaterials§2-10温度应力和装配应力4）物理方程5）变形协调条件（3）（4）6）联立（1），（4）即可求得未知力382）建立静力学平衡方程（根据受力图）3）建立几何方程（1）平衡方程2）几何方程为引起的压缩变形二、温度应力的求解（举例说明）LALABLA例8：如图所示静不定结构，求其温度由时，构件内部的应力值。解MechanicofMaterials§2-10温度应力和装配应力录像1391）平衡方程2）几何方程为引起的压缩变形二、温度应力的求解（4）变形协调条件

5）由变形协调条件可直接求得杆端约束反力3）物理方程——线胀系数进而求得构件横截面上温度应力为MechanicofMaterials§2-10温度应力和装配应力录像2404）变形协调条件5）由变形协调条件可直接求得杆端约束反力3作业P.58：2-17、18、192-24、42、46、48

作业41作业P.58：2-17、18、19作业41小结：1.应力正应力σ剪应力τ应变线应变ε角应变γ2、虎克定律系统的材料的力的独立性原理轴向拉伸或压缩时的变形、超静定问题３、三类超静定问题42小结：1.应力正应力σ剪应力τ应变线应变ε角应变γ2、虎克思考题目录MechanicofMaterials30oFABCD123请思考：图示结构是几次超静定？43思考题目录MechanicofMaterials3思考题目录MechanicofMaterials30oFABCD123ABCD30o12330oFAFN1FN2FN3xy可列几个静力方程？如何建立变形几何方程？44思考题目录MechanicofMaterials3§2-12应力集中的概念一、应力集中现象：

由于构件截面突然变化而引起的局部应力发生骤然变化的现象。

几何形状不连续处应力局部增大的现象，称为应力集中（stressconcentration）。

MechanicofMaterialsFFdbmaxFFFmax45§2-12应力集中的概念一、应力集中现象：Mechan§2-12应力集中的概念工程中常见的油孔、沟槽、轴肩、螺纹等均发生构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。即目录§2-11应力集中的概念MechanicofMaterials46§2-12应力集中的概念圣维南原理（Saint-Venantprinciple）：如果杆端两种外加力静力学等效，则距离加力点稍远处，静力学等效对应力分布的影响很小，可以忽略不计。§2-12应力集中的概念MechanicofMaterials47圣维南原理（Saint-Venantprinciple）：应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上的应力最大值与不考虑应力集中时的应力值(称为名义应力)之比，称为应力集中因数(factorofstressconcentration)，用K表示：

§2-12应力集中的概念MechanicofMaterials

应力集中程度与外形的突变程度直接相关，突变越剧烈，应力集中程度越剧烈。理想应力集中系数:其中：——最大局部应力——名义应力（平均应力）48应力集中的程度用应力集中因数描述。应力集中处横截面上

静载下，塑性材料可不考虑应力集中MechanicofMaterials§2-12应力集中的概念FFdbFFmaxFmaxFmaxFmaxmax脆性材料（除特殊的，如铸铁）应考虑应力集中。

动载下，塑性和脆性材料均需考虑。49静载下，塑性材料可不考虑应力集中Mechan§2-8轴向拉伸或压缩时的变形§2-10拉（压）超静定问题MechanicofMaterials第五、六讲内容目录§2-12应力集中的概念§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能50§2-8轴向拉伸或压缩时的变形§2-10拉（压）超静定拉压杆的变形与位移、超静定问题

教学要求：1、超静定问题的基本方法（拉压）

；2、熟练掌握纵向、横向应变，虎克定律和材料的弹性模量E这些基本概念和定律；3、掌握求拉压杆的变形。

重点：应变、虎克定律

难点：求拉压杆系变形后的位置

学时安排：2学时教学内容：第五、六讲的内容、要求、重难点MechanicofMaterials51拉压杆的变形与位移、超静定问题教学内容：第五、六讲§2-8轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形直杆在外力F作用前后的情况如图中所示：

1、轴向变形MechanicofMaterials轴向绝对变形52§2-8轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压缩时轴线方向线应变：

横截面上应力：

虎克定律：

------------虎克定律的两种表达形式

物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l与F和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。式中：EA——杆件的抗拉（压）刚度。EA越大，l越小

MechanicofMaterials§2-8轴向拉伸或压缩时的变形53轴线方向线应变：横截面上应力：虎克定律：-------2）构件的工作应力（线弹性范围内）；3）轴力N、横截面面积A为常量——等直杆两端受轴向力；讨论：1.轴力变化时1）L为“+”时伸长，为“-”时缩短，符号规定与轴力一致。拉为“+”，压为“-”。2.横截面变化时：BCACAB阶梯状杆2.公式的应用范围与注意事项542）构件的工作应力（线弹性范围内）；3）轴力N、横截面面积A若轴力FN=FN(x)，或AN=AN(x)则3、位移的计算物体受外力后会发生形状和尺寸的改变，称为物体的变形，物体变形后，在物体上一些点、线、面会发生空间位置的改变。物体点、线、面空间位置的改变称位移。有变形就会有位移；但有位移不一定有变形，因为可能是刚体位移。55若轴力FN=FN(x)，或AN=AN(x)则3、

例1图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△L解:56例1图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2例2

螺栓直径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度l=80mm内产生总伸长

∆l=0.03mm,钢的弹性模量E=210Gpa,试计算螺栓内应力和螺栓的预紧力。解：应变:应力:预紧力:57例2螺栓直径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度l=800.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa例3:已知:1)求最大的工作正应力。2)求杆的绝对变形量Δl。试：FN图（kN）20（+）10(－)§2-8轴向拉伸或压缩时的变形MechanicofMaterials

Paσ图（MPa）40（+）20（－）50（－）580.1m0.1m0.1m30kN10kNA1=500mm2AA1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8轴向拉伸或压缩时的变形MechanicofMaterials10kN0.1m0.1m0.1m30kNFN图（kN）20（+）10(－)σ图（MPa）40（+）20（－）50（－）59A1=500mm2A2=200mm2E=200GPa§2-8二、横向变形：

横向应变：

实践表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值为一常数，即：μ——称为横向变形系数或泊松比，是个没有量纲的量。

MechanicofMaterials因和的符号总是相反的。故可知§2-8轴向拉伸或压缩时的变形几种常用材料的

值见书P33表2.260二、横向变形：横向应变：实践表明：当应力不超过比例极三．变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形

图所示，截面尺寸沿轴线变化缓慢，且外力作用线与轴线重合，我们在杆件中取出dx微段，由于dx非常微小。故从而，整个杆件的伸长为：

§2-8轴向拉伸或压缩时的变形dxlOSx怎样求A(x)b1b2bMechanicofMaterials由相似三角形的比例关系求解A(x)。61三．变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形图所示，截l四、等直杆在分布力系作用下的变形例4如图，等直杆，外力为F，自重集度为q，长度为l，容重为弹性模量为E，容许应力为[]求：伸长l。FMechanicofMaterials[分析]此题与上面一题非常相似，由于自重的影响，杆内各横截面的轴力不相等，故不能直接应用

而必须从杆的长度为dx的微段出发，略去无穷小量dN(x)，用公式并利用积分求得

△l

§2-8轴向拉伸或压缩时的变形62l四、等直杆在分布力系作用下的变形例4如图，等直杆，lFFMechanicofMaterials

作微段的受力分析如图所示，利用虎克定律可得微段dx的伸长为：对上式两边按杆件长度进行积分，即可求得整个杆件的伸长量为：§2-8轴向拉伸或压缩时的变形63lFFMechanicofMaterials例5：图示为一简单托架，BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。若,试求B点的位移。设F=60kN(b)B2B1BB3(c)MechanicofMaterials§2-8轴向拉伸或压缩时的变形4m3mDCBFB3B1B2(a)GHααα64例5：图示为一简单托架，BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm解：（1）对B点作受力分析，如图(b)由

（2）根据静力学平衡方程求未知应力MechanicofMaterials（3）由虎克定律求BC、BD杆的变形：(b)（4）求B点位移§2-8轴向拉伸或压缩时的变形65解：（1）对B点作受力分析，如图(b)由（2）根据静力学平讨论1：图示为一简单桁架，DB杆横截面为A、杆长l；BC杆为8号槽钢。若已知力F和两杆弹性模量均为E。试求B点的位移。

MechanicofMaterials§2-8轴向拉伸或压缩时的变形DCBFαB‘0(b)BF66讨论1：图示为一简单桁架，DB杆横截面为A、杆长l；MechanicofMaterials§2-8轴向拉伸或压缩时的变形例题7

简易起重机构如图，

为刚性梁，求C点的位移LPqABCDhxEAB’C’67MechanicofMaterials§2-8轴向123LFAB刚体MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题求A点的位移A’0αααF68123LFAB刚体MechanicofMateria§2-7轴向拉伸或压缩时的变形目录MechanicofMaterials讨论题2：在板状试件的表面上，沿纵向和横向粘贴两个应变片，在立作用下，若测得则该试件材料的泊松比是

。FF√69§2-7轴向拉伸或压缩时的变形目录Mechanic§2-7轴向拉伸或压缩时的变形目录MechanicofMaterials讨论题3：图示阶梯杆总变形EA2EA3FF2Fll√70§2-7轴向拉伸或压缩时的变形目录Mechanic目录MechanicofMaterials§2-7轴向拉伸或压缩时的变形讨论题4：图示平板，受均布荷载q作用，若变形前在板面上划两条平行线AB、CD阶梯杆总变形。，α角减小；，α角不变；，α角增大；qqABαCDα√71目录MechanicofMaterials§2-71、定义：在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形能或应变能。则：设直线的斜率为k2、变形能的计算MechanicofMaterials§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能一、基本概念P（1）弹性范围，外力与变形成正比721、定义：在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变力由零逐渐增加。在比例极限的范围之内关系如图。当外力加到F1时，杆件的伸长量为l1。当外力加到F1+dF1时，杆件的伸长量为l1+d(l1)。

由于dF1为无穷小量，在区间(a,b)内我们可近似地认为F1为常量，则在这个区间内外力作的功为：

MechanicofMaterials§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能P73力由零逐渐增加。在比例极限的范围之内关系dW在数值上等于阴影部分的面积，当我们把拉力F看作是一系列dF1的积累时，则拉力F所作的总功W应为上述微分面积的总和。即W等于F~l线下与水平轴之间区域的面积。

根据功能原理可知：拉力F所作的功应等于杆件所储存的变形能。（缓慢加载，动能忽略，热能微小，可忽略）杆件的变形能用U表示，则：MechanicofMaterials§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能P74dW在数值上等于阴影部分的面积，当我们把拉力F看作是由虎克定律：变形能：

由于整个杆件内各点的受力是均匀的，故每单位体积内储存的变形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示。——比能

∵∴

（线弹性范围内）单位：比能的单位为：J/m3MechanicofMaterials（2-17）

§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能P75由虎克定律：变形能：由于整个杆件内各点的受力是均解：例：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的位移A

。已知F=100kN,杆长l=2m，杆径d=25mm,

=30°，材料的弹性模量E=210GPa。FABCaa12MechanicofMaterials而§2-9轴向拉伸或压缩时的变形能76解：例：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点A的一、静定与超静定的概念：1、静定问题

仅利用静力学平衡方程就可求解出全部未知力的问题称为静定问题。相应的结构称静定结构。2、超静定问题

仅利用静力学平衡方程无法确定全部未知力的问题称为超静定问题或静不定问题。相应的结构称超静定结构或静不定结构。§2-10拉（压）超静定问题特点：未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程数目。特点：未知力的个数多于独立的平衡方程数目。MechanicofMaterials77一、静定与超静定的概念：1、静定问题2、超静定问题§2-10二、实例

如图所示：当把螺母旋进1/4圈以后，螺栓必然受到拉力而FN1而使筒受到压力FN2，由于在这里求解FN1，FN2

的静力平衡方程只有一个：故不能求解出FN1和FN2

，因此该问题属静不定问题。

MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题78二、实例如图所示：当把螺母旋进1/4圈以后，螺三、静不定次数（——超静定次数）=

未知力数目—独立平衡方程的数目。四、求解步骤：

（1）通过分析多余未知力的数目和独立平衡方程的数目，判明是否属静不定问题，若是静不定问题，属几次静不定问题。（2）建立静力学平衡方程。（3）根据构件之间的变形关系，找出几何方程。（4）根据虎克定律建立物理方程。（5）根据静力平衡方程、几何方程、物理方程求解出全部求知力。MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题五、荷载作用下超静定问题79三、静不定次数（——超静定次数）=未知力数目—独立平四、求例４：AB杆上下两端固定，尺寸、材料、受力，求约束反力、杆内应力。（1）建立静力学平衡方程（2）寻找几何方程（3）建立物理方程(1)PBAC(3)(2)PABCPCBAMechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题80例４：AB杆上下两端固定，尺寸、材料、受力，求约束反力、杆（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调条件（或称相容方程、补充方程）(4)（5）联立方程（1）、（4），即可求解未知力解题关键点：找几何方程、建立协调条件方程。MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题应力：PBAC81（4）依据几何方程和物理方程确立变形协调(4)（5）联立方程同学思考ABlllF1F2ABll△FMechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题82同学思考ABlllF1F2ABll△FMechanico例5：如图所示结构中，1，2杆抗拉刚度为E1A1，3杆抗拉刚度为E3A3，求各杆内力?解：1）取A结点研究，作受力图如图所示（1）由于未知力个数是2个（FN1和FN3），而平衡方程数只有1个，故为一次超静定问题。A123PLP2）建立静力学平衡方程（2）MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题83例5：如图所示结构中，1，2杆抗拉刚度为E1A1，3杆3）几何方程由结构、材料、荷载的对称性4）物理方程123LA（3）（4）5）变形协调条件（5）联立（3）、（4）MechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题6）联立（1），（5）即可求得未知力如下843）几何方程由结构、材料、荷载的对称性4）物理方程123LA例6：

列出求解图示静不定结构的静力学平衡方程、几何方程和物理方程。解：1）静力学平衡方程2）几何方程123LaaFAB刚体ＰMechanicofMaterials§2-10拉（压）超静定问题85例6：列出求解图示静不定结构的静力学平衡方程、几何方程解一、装配应力的求解（举例说明）

装配应力（对于一个静不定结构，结构装配过程中产生的应力）和温度应力（对于一个静不定结构，温度变化导致构件内产生的应力）问题均为静不定问题中的一种，属特殊的静不定问题。因此，该两种问题的求解方法与前述静不定问题的求解方法一致。

例7：如图所示，3杆因制造误差，比设计尺寸短了，求强行装配之后，各杆内产生的装配应力。A123LMechanicofMaterials§2-11温度应力和装配应力86一、装配应力的求解（举例说明）装配应力（对于一2）建立静力学平衡方程（根据受力图）3）建立几何方程（根据几何变形图）AA1）取A点为研究对象，画受力图和几何变形图如图所示（1）（2）MechanicofMaterials§2-10