数学新教材解读及考点剖析专题03 三角函数线的应用

全站免费，更多资源关注公众号拾穗者的杂货铺x思维方糖研究所专题03三角函数线的应用[新教材的新增内容]背景分析:人教B版有单独一节讲解三角函数线，人教A把新教材中关于三角函数线的应用相对旧教材而言，重点体现在三角函数概念的获得，诱导公式的推导，以及正余弦函数的图象的得到以及三角函数的性质等.体现这个知识点的基础性和解决问题的本质的根源所在.一．正弦线与余弦线1．一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆.2．过角α终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，垂足为M，当的方向与x轴的正方向相同时，表示cosα是正数，且cosα＝，当的方向与x轴的正方向相反时，表示cosα是负数，且cosα＝－，称为角α的余弦线，类似地，可以直观的表示sinα，称为角α的正弦线．注：利用角的正弦线和余弦线，可以直观地看成角地正弦和余弦地信息，例如上图中，角的余弦线是，正弦线是，由此可看成，而且还可以看出：，.二．正切线设角α的终边与直线x＝1交于点T，则可以直观地表示tanα，因此称为角α的正切线．当角的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上时，终边与直线x＝1没有交点，但终边的反向延长线与x＝1有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值．注：如图所示，角的正切线为，而且从图中可以看出：，这就是说，角的正切等于角的终边或其反向延长线与直线的交点的纵坐标.[新增内容的考查分析]1.利用三角函数线求值【考法示例1】作出和的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切.解：如图所示，在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线，单位圆与轴交于点.作的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M；延长线段PO，交直线于T，则的正弦线为，余弦线为，正切线为.类似可得到的正弦线为，余弦线为，正切线为.在图中，根据直角三角形的知识可知，所以，.2.利用三角函数线判断大小【考法示例1】下列关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有，所以，故选：A.【考法示例2】利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)tan与tan；(3)cos与cos.解如图，画出角与的正弦线、余弦线、正切线，sin＝M1P1，sin＝M2P2，tan＝AT1，tan＝AT2，cos＝OM1，cos＝OM2，由图形观察可得：M1P1>M2P2，AT1<AT2，OM1>OM2，∴(1)sin>sin；(2)tan<tan；(3)cos>cos.3．利用三角函数线解不等式【考法示例1】已知，且，则的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【详解】画出单位圆以及，，，∵，且，从图中可知的取值范围是故选：D.【考法示例2】函数y＝的定义域为________．【答案】(k∈Z)【详解】∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x∈(k∈Z)．故答案为(k∈Z)4．利用三角函数线证明不等式【考法示例1】利用单位圆中三角函数线.证明：当时，（1）；（2）．证明：在单位圆中，有．（1）连接，则，即，，∴．（2）．5.三角函数线的实际应用.将图（1）中所示的摩天轮抽象成图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系，设P到底面的高OT为lm，点P为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为rm，记以OP为终边的角为，点P离底面的高度为hm，试用表示解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，则：当的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时，，此时；当的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上时，因为，所以，此时；所以不管的终边在何处，都有.[新增内容的针对训练]1.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出角的三角函数线，利用三角函数线进行比较即可．【详解】作出角的三角函数线如下图所示：由图象知：，又，.故选：B.2.在内，使成立的的取值范围是____【答案】【解析】【分析】根据三角函数线，结合的取值范围，即可求得结果.【详解】根据三角函数线，角度终边落在直线右下方时，满足，又当在时，成立的的取值范围是，如下图所示，当角度终边落在阴影部分时（不含边界），满足，又当在时，成立的的取值范围是综上所述，所求范围为.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数线的应用，属基础题.3.不等式，的解集为______．【答案】【解析】【分析】在单位圆中画出角的三角函数线，根据三角函数线的大小确定角的范围．【详解】解：如图角的正弦线，余弦线分别是，当角的终边与弧相交时，，∴此时，∵，∴不等式的解集为，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数线的应用，考查数形结合思想，属于基础题．4.利用三角函数线证明.【答案】证明见详解.【解析】【分析】根据题意，分别讨论角的终边在轴上，角的终边在轴上，角的终边落在四个象限，三种情况，根据三角函数线的概念，有三角函数的性质，即可证明结论成立.【详解】当角的终边在轴上时，正弦线变成一个点，余弦线的长等于单位圆的半径，此时；当角的终边在轴上时