2023版新高考数学总复习专题十二数系的扩充与复数的引入

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专题十二数系的扩充与复数的引入考点一复数的概念与几何意义1.复数的有关概念其中,a,b,c,d∈R,i为虚数单位.内容概念复数形如a+bi的数叫做复数,其中a为实部,b为虚部复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d复数的模向量

的长度叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

共轭复数复数z=a+bi的共轭复数为a-bi,记为

,即

=a-bi2.复数的几何意义其中,a,b∈R,i为虚数单位.考点二复数的运算设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;

i(c+di≠0).考法复数代数形式的四则运算的解题方法复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的加法、减法、乘法运

算,除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i

的幂写成最简形式.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算

速度.1)(1±i)2=±2i;

=i;

=-i;2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R);3)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,n∈N.例(1)(2021全国甲,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z=

(

)A.-1-

iB.-1+

iC.-

+iD.-

-i(2)已知i为虚数单位,则i+i2+i3+…+i2019等于

(

)A.iB.1

C.-iD.-1解析(1)解法一:由题意得z=

=-1+

i.故选B.解法二:设z=a+bi(a,b∈R),由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,∴a=-1,b=

,∴z=-1+

i.故选B.(2)易知in(n∈N*)的周期为4,且i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,又20

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