人教版九年级数学下册全册课件【2021年春】

26.1反比例函数人教版数学九年级下册26.1.1反比例函数

当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？导入新知1.理解并掌握反比例函数的概念.

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式.素养目标3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v

(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；探究新知知识点1反比例函数的定义(2)某住宅小区要种植一块面积为1000m2

的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；(3)已知北京市的总面积为1.64×104km2

，人均占有面积S

(单位：km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.探究新知【观察】这三个函数解析式有什么共同点？

一般地,形如(k是常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数．都是的形式，其中k是非零常数.传授新知探究新知反比例函数：形如（k为常数，且k≠0）【思考】1.自变量x的取值范围是什么？探究新知

因为

x作为分母，不能等于零，因此自变量

x的取值范围是所有非零实数.

2.在实际问题中自变量x的取值范围是什么？要根据具体情况来确定.

例如，在前面得到的第二个解析式，x的取值范围是x＞0，且当x取每一个确定的值时，y都有唯一确定的值与其对应.反比例函数的三种表达方式：(注意k

≠0)探究新知3.形如的式子是反比例函数吗？式子呢？巩固练习下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？①y=3x-1②y=2x2③④⑤y=3x-1

⑥

⑦不是是，k=1不是不是是，k=3是，

是，

巩固练习在下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A.

B.C.

xy=5D.C例1

已知函数是反比例函数，求m的值.所以2m2+3m－3=－12m2+m－1≠0解得m=－2.解：因为是反比例函数，探究新知素养考点1利用反比例函数的定义求字母的值归纳总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中x的次数为－1，且系数不等于0.

(1)当m=_____时，函数是反比例函数.

(2)已知函数是反比例函数,则m=_______.巩固练习1.56(3)若函数是反比例函数,则m的值为______.2例2

已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.(1)写出y关于x的函数解析式；分析：因为y是x的反比例函数，所以设.把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值.解：(1)设.因为当x=2时，y=6，所以有

解得k=12.

因此

探究新知素养考点2利用待定系数法求反比例函数的解析式(2)当x=4时，求y的值.(2)把x=4

代入，得探究新知用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：（1）设，即设所求的反比例函数解析式为（k≠0）．（2）代，即将已知条件中对应的x、y值代入中得到关于k的方程．（3）解，即解方程，求出k的值．（4）定，即将k值代入中，确定函数解析式．归纳总结已知y与x+1成反比例，并且当x=3时，y=4.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当x=7时，求y的值．解：(1)设，因为当x=3时，y=4，所以有，解得k=16，因此.

(2)当x=7时，巩固练习

人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为50km/h时，视野为80度，如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f关于v的函数解析式，并计算当车速为100km/h时视野的度数.当v=100时，f=40.所以当车速为100km/h时视野为40度.解：设.由题意知，当v=50时，f=80，解得

k=4000.

因此所以知识点2建立反比例函数的模型解答问题探究新知

如图，已知菱形ABCD的面积为180，设它的两条对角线AC，BD的长分别为x，y.写出变量y与x之间的关系式，并指出它是什么函数.ABCD解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，所以

所以变量y与x之间的关系式为，它是反比例函数.巩固练习连接中考C已知反比例函数的解析式为

，则a的取值范围是（）

A．a≠2

B．a≠﹣2

C．a≠±2

D．a=±21.下列函数：（1），（2），（3）xy=9，（4），（5），（6）

y=2x－1，（7），其中是反比例函数的是_____________．

（2）课堂检测基础巩固题（3）（5）3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为

．2．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果，则y与x之间的函数解析式为_________．课堂检测4．若函数是反比例函数，则m的取值是

．35．已知y与x成反比例，且当x=－2时，y=3，则

y与x之间的函数解析式是

，当x=－3时，y=

．2课堂检测小明家离学校1000m，每天他往返于两地之间，有时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速度为v(m/min)，所用的时间为t

(min)．(1)求变量v和t之间的函数关系式；

解：

(t>0)．课堂检测能力提升题(2)小明星期二步行上学用了25min，星期三骑自行车上学用了8min，那么他星期三上学时的平均速度比星期二快多少？

125－40=85(m/min)．答：他星期三上学时的平均速度比星期二快85m/min.解：当t=25时，；

当t=8

时，；课堂检测建立反比例函数模型用待定系数法求反比例函数解析式反比例函数：定义/三种表达方式

反比例函数课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习26.1反比例函数人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质(第1课时)导入新知（2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？刘翔在2004年雅典奥运会110m

栏比赛中以12.91s的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人”.如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为ts，平均速度为vm/s.（1）你能写出用t

表示v

的函数表达式吗?2.结合图象分析并掌握反比例函数的性质.1.会用描点法画反比例函数的图象

.素养目标3.体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法.

画出反比例函数与的图象.探究新知知识点反比例函数的图象和性质【想一想】

用“描点法”画函数图象都有哪几步？列表描点连线解：列表如下：x…－6－5－4－3－2－1123456……………－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42探究新知－

1212注：x的值不能为零，但可以以零为基础，左右均匀、对称地取值.O－2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点．56xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得的图象．探究新知x增大O－256xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6

观察这两个函数图象，回答问题：【思考】(1)每个函数图象分别位于哪些象限？(2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？y

减小探究新知(3)对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？Oxy探究新知（1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与x轴、y轴都不相交；（2）在每个象限内，y随x的增大而减小.反比例函数(k＞0)的图象和性质：归纳：探究新知Oxy(1)函数

图象在第_______象限，在每个象限内，

y随x的增大而

______.一、三减小(2)已知反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____.

m＞2探究新知做一做：观察与思考

当k=－2，－4，－6时，反比例函数的图象，有哪些共同特征？yxOyxOyxO探究新知

回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？

yxOyxOyxO探究新知反比例函数(k＜0)的图象和性质：（1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与x轴、y轴都不相交；（2）在每个象限内，y随x的增大而增大.归纳：

探究新知yxO反比例函数的图象和性质形状位置增减性图象的发展趋势对称性由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线;当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内;当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内;当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴.（1）反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数与的图象关于x轴对称,也关于y轴对称.探究新知A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.无法确定C例1

反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且点A，B均在该函数图象的第一象限部分，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系为（）

解析：因为8＞0，且A，B两点均在该函数图象的第一象限部分，根据x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.探究新知素养考点1利用反比例函数的性质比较大小已知点A（－3，a），B（－2，b），在双曲线，则a___b(填>、=或<).

>巩固练习已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数（k≠0)的图象上,则下列结论中正确的是()

A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y1>y2

D.y2>y3>y1B例2

已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而增大，求a的值.解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.探究新知素养考点2利用反比例函数的图象和性质求字母的值已知反比例函数在每个象限内，y随着x的增大而减小，求m的值．解：由题意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.巩固练习1.函数y=kx﹣3与（k≠0）在同一坐标系内的图象

可能是（）

A．

B．

C．

D．连接中考B2.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大”的是（）A．①③ B．③④ C．②④ D．②③B连接中考1.对于反比例函数

，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小C课堂检测基础巩固题(1)k＜13.下列关于反比例函数的图象的三个结论：

(1)经过点(－1，12)和点(10，－1.2)；

(2)在每一个象限内，y随x的增大而减小；

(3)双曲线位于二、四象限.其中正确的是

(填序号).课堂检测2.已知反比例函数（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是________．

(3)1.已知点都在反比例函数的图象上,则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)为

.

A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)y3＞y1＞y2课堂检测能力提升题2.已知反比例函数y=mxm²－5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求m的值.解：因为反比例函数y=mxm²－5的两个分支分别在第一、第三象限，所以有m2－5=－1，m＞0，解得

m=2.课堂检测解析式

图象所在象限渐进性k>0，一、三象限双曲线k﹤0，二、四象限xyoxyo当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小当k﹤0时,在每一象限内,y随x的增大而增大增减性双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点对称性既是轴对称图形也是中心对称图形

与的图象关于x轴对称,也关于y轴对称课堂小结或或课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习26.1反比例函数人教版数学九年级下册26.1.2反比例函数的图象和性质(第2课时)

二、四象限一、三象限函数正比例函数反比例函数解析式图象形状K>0

K<0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)

直线

双曲线

y随x的增大而增大一、三象限在每个象限，y随x的增大而减小二、四象限

y随x的增大而减小在每个象限，

y随x的增大而增大正比例函数和反比例函数的区别用对比的方法去记忆效果如何？导入新知yxoyxooyxoyx3.深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.1.理解反比例函数的系数k

的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题．素养目标已知反比例函数的图象经过点A(2，6).(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?(2)点B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？探究新知知识点1利用待定系数法确定反比例函数解析式解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.解：（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A

(2，6)在其图象上，所以有，解得k=12.

因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D

不在这个函数的图象上.

所以反比例函数的解析式为.探究新知方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在．【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?探究新知

已知反比例函数

的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的表达式；

解：∵反比例函数

的图象经过点A(2，3)，∴把点A的坐标代入表达式，得，

解得k=

6.∴这个函数的表达式为.

巩固练习(2)判断点B(－1，6)，C(3，2)是否在这个函数的图象上，并说明理由；解：分别把点B，C的坐标代入反比例函数的解析式，因为点B的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点B不在该函数的图象上，点C在该函数的图象上．巩固练习

(3)当－3<x<－1时，求y的取值范围．解：∵当x=－3时，y=－2；

当x=－1时，y=－6，且k>0，

∴当x<0时，y随x的增大而减小，∴当－3<x<－1时，－6<y<－2.巩固练习解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．∵函数的图象在第一、第三象限，∴

m－5＞0，解得

m＞5．

探究新知知识点2如图是反比例函数的图象一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a′，b′），如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？反比例函数的综合性题目（２）∵m－5＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，∴当a＞a′时，b＜b′．【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.探究新知

如图，是反比例函数的图象的一个分支，对于给出的下列说法：①常数k的取值范围是；②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点和，当时，；④在函数图象的某一个分支上取点和，当时，．其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）．①巩固练习②④Oxy

在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：

知识点3反比例函数中k的几何意义探究新知51234－15xyOPS1

S2P(2，2)Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想

S1，S2与

k的关系

4

4S1=S2S1=S2=k－5－4－3－21432－3－2－4－5－1Q探究新知S1的值S2的值S1与S2的关系猜想与k

的关系P(－1，4)Q(－2，2)

若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：4

4S1=S2S1=S2=－kyxOPQS1

S2探究新知由前面的探究过程，可以猜想：

若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP=|k|.探究新知yxOPS我们就k<0的情况给出证明：设点P的坐标为(a，b)AB∵点P(a，b)在函数的图象上，∴，即

ab=k.∴S矩形AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；若点P

在第二象限，则a<0，b>0，若点

P

在第四象限，则a>0，b<0，

∴S矩形AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.BPA综上，S矩形

AOBP=|k|.自己尝试证明

k>0的情况.探究新知

点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ=.推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是

.Q对于反比例函数，AB|k|yxO反比例函数的面积不变性探究新知要点归纳如图，点B在反比例函数(x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（）A.1

B.2C.3D.4B巩固练习例1

如图，点A在反比例函数

的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．解：设点A

的坐标为(xA，yA)，∵点A在反比例函数的图象上，∴xA·yA＝k，

∴反比例函数的表达式为探究新知素养考点1通过图形面积确定k的值∴，∴k＝4，巩固练习如图所示，过反比例函数（x>0）的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值为（）A.4

B.5

C.6

D.7C例2

如图，P，C是函数

(x>0)图象上的任意两点，PA，CD垂直于x轴.设△POA的面积为S1，则S1=

；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1

S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2

S3.2S1S2＞＝S3探究新知素养考点2利用k的性质判断图形面积的关系A.SA>SB>SC

B.SA<SB<SCC.SA=SB=SC

D.SA<SC<SB

如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则()yxOABCC巩固练习yDBACx例3

如图，点A

是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S四边形ABCD=___.325探究新知素养考点3根据k的几何意义求图形的面积方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.如图，函数y＝－x与函数的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为()A.2B.4C.6D.8DyxOCABD44巩固练习

在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图象大致如下，则k1

、k2、b各应满足什么条件？k2>0b>0k1>0k2>0b<0k1>0①xyOxyO②探究新知知识点4一次函数与反比例函数的组合图形k2<0b<0k1<0k2<0b>0③xyOk1>0④xyO探究新知

在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图象大致如下，则k1

、k2、b各应满足什么条件？

例1

函数y=kx－k与

的图象大致是()

D.xyOC.yyA.xB.xyODOOk＜0k＞0×××√k＞0k＜0由一次函数增减性得k＞0由一次函数与y轴交点知－k＞0，则k＜0x提示：可对k的正负性进行分类讨论.探究新知素养考点1根据k的值识别函数的图形

在同一直角坐标系中，函数与y=ax+1(a≠0)的图象可能是()A.yxOB.yxOC.yxOD.yxOB巩固练习例2

如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象，当y1﹥y2时，x的取值范围为

.－23yx0

－2<x<0或

x>3解析：y1﹥y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，探究新知素养考点2通过函数图形确定字母的取值范围方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.可知－2<x<0或x>3.1＜x＜5巩固练习如图，直线y=k1x+b与双曲线交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式

的解集是_________．例3

已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.由于这两个函数的图象交于点P

(－3，4)，则点P的坐标分别满足这两个解析式.解：设y=k1x

和.

所以，.解得.探究新知素养考点3利用函数的交点解答问题则这两个函数的解析式分别为和，它们的图象如图所示.这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？【想一想】探究新知反比例函数的图象与正比例函数y=3x的图象的交点坐标为

．(2，6)，(－2，－6)解析：联立两个函数解析式解方程得：

巩固练习解得：连接中考1.如图，矩形OABC的顶点B在反比例函数

（x＞0）的图象上S矩形OABC

＝6，则k＝

．yxO6ABC2.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．连接中考解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6，∴反比例函数的解析式为．（2）设B点坐标为（a，b），如图，作AD⊥BC于D，则D（2，b）∵反比例函数

的图象经过点B（a，b），

∴S△ABC

.设AB的解析式为y=kx+b，将A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得解得，∴

．∴

，解得a=6，∴

．∴B（6，1）．直线AB的解析式为

.

D连接中考课堂检测D基础巩固题1.已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（）

A．m+n＜0B．m+n＞0C．m＜n D．m＞ny1＜y2课堂检测2.

已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为_________．k>93.

在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是_______．

1.如图，正比例函数与反比例函数

的图象交于点A（2，3）．（1）求k、m的值；（2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．（2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x＞2.能力提升题课堂检测解：（1）将A（2，3）分别代入y=kx和可得：3=2k

和解得：，m=6.课堂检测2.

如图，已知反比例函数

（x＞0）的图象与一次函数

的图象交于A和B（6，n）两点．（1）求

k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数

（x＞0）的图象上，求当2≤

x

≤6时，函数值

y的取值范围．课堂检测解：（1）当x=6时，

，∴点B的坐标为（6，1）．∵反比例函数

过点B（6，1），∴k=6×1=6．（2）∵k=6＞0，∴当x＞0时，y随x值增大而减小，∴当2≤

x

≤6时，1≤

y

≤3．面积问题与一次函数的综合反比例函数图象和性质的综合运用课堂小结面积不变性反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b的正负课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习26.2实际问题与反比例函数(第1课时)

人教版数学九年级下册你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？（1）体积为20cm3的面团做成拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条粗细（横截面积）s（单位：cm2）有怎样的函数关系？（2）某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗1mm2，面条总长是多少？导入新知（s>0）1.灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.

2.能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，解决实际问题.素养目标3.

能够根据实际问题确定自变量的取值范围.例1

市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S

（单位：m2

）与其深度

d

（单位：m）有怎样的函数关系?解：根据圆柱体的体积公式，得

Sd=104，∴S关于d的函数解析式为探究新知知识点利用反比例函数解决实际问题素养考点1利用反比例函数解答几何图形问题(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深?解得

d=20（m）

.如果把储存室的底面积定为

500m²，施工时应向地下掘进

20m

深.解：把

S=500代入，得探究新知(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m.相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?解得

S≈666.67(m²).当储存室的深度为15m时，底面积应改为666.67m².解：根据题意，把d=15代入，得探究新知第（1）问的解题思路是什么？第（2）问和第（3）问与过去所学的解分式方程和求代数式的值的问题有何联系？方法点拨：第（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，然后根据圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式.第（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，第（3）问则是与第（2）问相反．探究新知【思考】我们学习过反比例函数，例如，当矩形面积一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．实例：

；函数关系式：

．解：本题通过范例，再联系日常生活、生产或学习可以举出许许多多与反比例函数有关的例子来，例如：实例，三角形的面积S一定时，三角形底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式可以写为（s为常数，s≠0）．巩固练习如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1L(1L＝1dm3)的圆锥形漏斗．（1）漏斗口的面积S(单位：dm2)与漏斗的深d(单位：dm)有怎样的函数关系?d解：（2）如果漏斗的深为10cm，那么漏斗口的面积为多少dm2？解：10cm=1dm，把d=1代入解析式，得

S=3.所以漏斗口的面积为3dm2.巩固练习(3)如果漏斗口的面积为60cm2，则漏斗的深为多少?解：60cm2=0.6dm2，把S=0.6代入解析式，得

d=5.

所以漏斗的深为5dm.巩固练习例2

码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系?解：设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得k=30×8=240，所以v关于t的函数解析式为探究新知素养考点2利用反比例函数解答运输问题分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式.(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨?从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，则平均每天卸载48吨.而观察求得的反比例函数的解析式可知，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨.解：把t=5代入，得探究新知（吨／天）【讨论】题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对应于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？方法点拨：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．第（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值．探究新知

学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天.（1）则y与x之间有怎样的函数关系？（2）画出函数图象；（3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？巩固练习解：（1）煤的总量为：0.6×150=90（吨），∵x•y=90，∴

．（2）函数的图象为：（3）∵每天节约0.1吨煤，∴每天的用煤量为0.6-0.1=0.5（吨），

∴

（天），∴这批煤能维持180天．巩固练习例3

一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用6小时到达乙地.

（1）

甲、乙两地相距多少千米？解：80×6=480（千米）答：甲、乙两地相距480千米.（2）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？解：由题意得

vt=480，整理得

（t＞0）.探究新知素养考点3利用反比例函数解答行程问题

A、B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.（1）火车的速度v（千米/时）和行驶的时间t（时）之间的函数关系是

．（2）若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在3小时内回到A城，则返回的速度不能低于

．240千米/时

巩固练习已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）．（1）求

v

关于

t

的函数表达式．（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？连接中考解：（1）由题意可得：100=vt，则；（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，∴t≤5，则，答：平均每小时至少要卸货20吨．连接中考

A课堂检测基础巩固题1．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（）

A． B．v+t=480

C． D．

2.体积为20cm3的圆柱体，圆柱体的高为

y(单位：cm）与圆柱的底面积

S(单位：cm2）的函数关系

，若圆柱的底面面积为10mm2，则圆柱的高是

cm.

200课堂检测课堂检测反比例3.有x个小朋友平均分20个苹果，每人分得的苹果y（个/人）与x（个）之间的函数是________函数，其函数关系式是_______________．当人数增多时，每人分得的苹果就会减少，这正符合函数（k＞0），当x＞0时，y随x的增大而_______的性质.减少刘东家离工作单位的距离为7200米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟．(1)

速度v与时间t之间有怎样的函数关系？(2)若刘东到单位用30分钟，那么他骑车的平均速度是多少？能力提升题课堂检测解：解：把t=30代入函数的解析式，得：答：他骑车的平均速度是240米/分.(3)如果刘东骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位?解：把v=300代入函数解析式得：解得：t=24．答：他至少需要24分钟到达单位．课堂检测实际问题中的反比例函数过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同.课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习26.2实际问题与反比例函数(第2课时)

人教版数学九年级下册给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德1．你认为可能吗？2．大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？3．同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？导入新知2.掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.1.体验现实生活与反比例函数的关系，通过“杠杆定律”解决实际问题，探究实际问题与反比例函数的关系.素养目标3.体会数学建模思想，培养学生数学应用意识.阻力动力阻力臂动力臂

公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比,则杠杆平衡.通俗一点可以描述为:

阻力×阻力臂=动力×动力臂探究新知支点

小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.

（1）

动力F

与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力?解：根据“杠杆原理”，得Fl

=1200×0.5，∴F关于l的函数解析式为对于函数，当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此撬动石头至少需要400N的力.探究新知知识点1反比例函数与力学当l=1.5m

时，(N)

（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少?

分析：对于函数，F随l的增大而减小.因此，只要求出F=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量.300－1.5=1.5（m）.对于函数，当l＞0时，l越大，F越小.因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5m.探究新知解：当

时，由

，得【讨论】1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？

2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？探究新知小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为100牛和0.2米，那么动力F和动力臂L之间的函数关系式是________．小强欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1000牛顿和0.5米，则当动力臂为1米时，撬动石头至少需要的力为________牛顿．500巩固练习某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地.当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S

(m2)的变化，人和木板对地面的压强p

(Pa)也随之变化.如果人和木板对湿地地面的压力合计为600N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？解：由得p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数．探究新知(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？解：当S＝0.2m2时，故当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa．探究新知(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？解：当p=6000时，由得对于函数，当S＞0

时，S越大，p越小.因此，若要求压强不超过6000Pa，则木板面积至少要0.1m2.探究新知(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．20000.10.5O0.60.30.20.410003000400050006000S/m2p/Pa解：如图所示.探究新知

在对物体做功一定的情况下，力F（单位：N）与此物体在力的方向上移动的距离s（单位：m）成反比例关系，其图象如图所示，点P（5，1）在图象上，则当力F达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是________m.巩固练习0.5

一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220Ω.已知电压为220V，这个用电器的电路图如图所示.(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系?解：根据电学知识，当U=220时，得探究新知知识点2反比例函数与电学U~R(2)这个用电器功率的范围是多少?解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入求得的解析式，得到功率的最大值把电阻的最大值R=220代入求得的解析式，得到功率的最小值因此用电器功率的范围为220~440W.探究新知【讨论】根据物理知识可以判断：当用电器两端的电压一定时，用电器的输出功率与它的电阻之间呈什么关系？这一特征说明用电器的输出功率与它的电阻之间满足什么函数关系？探究新知

解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．其中往往要用到电学中的公式PR＝U2，P指用电器的输出功率（瓦），U指用电器两端的电压（伏），R指用电器的电阻（欧姆）．探究新知方法点拨

在公式中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为（）D巩固练习

A

B

CD

在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．(1)求I与R之间的函数关系式；(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．

解：(1)设

∵当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培，∴U=10．∴I与R之间的函数关系式为

(2)当I=0.5安培时，，解得R=20(欧姆)．巩固练习春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）CA．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内连接中考1.

如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，则它的面积为定值S时，

y与x的函数关系为（）

A.

B.

C. D.C课堂检测基础巩固题2.

某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)

是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应(

)

A.不大于B.小于

C.不小于D.大于CO60V/m3p/kPa1.6课堂检测C课堂检测3.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（

）4.受条件限制，无法得知撬石头时的阻力，小刚选择了动力臂为1.2米的撬棍，用了500牛顿的力刚好撬动；小明身体瘦小，只有300牛顿的力量，他该选择动力臂为

的撬棍才能撬动这块大石头呢.2

米课堂检测如图所示，重为8牛顿的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，且OB=20cm．

（1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式；

（2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少牛顿的力？能力提升题课堂检测ABFOG解：（1）F•h=8×20=160

所以（2）当h=80cm时，

所以在A端需要施加2牛顿的力.课堂检测ABFOG物理学科中的反比例函数知识小结与其他知识的综合思想方法小结建模—反比例函数的数学思想方法“杠杆原理”：动力×动力臂=阻力×阻力臂与力学的综合与电学的综合课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习27.1图形的相似人教版数学九年级下册天坛导入新知八达岭长城导入新知国旗五角星导入新知我们刚才所见到的图形有什么联系？【想一想】其中一个图形可以看作是另一个图形放大或者缩小得到的.导入新知3.能根据多边形相似进行相关的计算.

1.了解相似图形和相似比的概念.2.理解相似多边形的定义.素养目标全等图形指能够完全重合的两个图形，观察即它们的形状和大小完全相同.探究新知知识点

1

相似图形的定义黄山松天坛观察两张黄山松、两张天坛的照片有什么特点?探究新知中国地图【思考】这两张中国地图的照片有什么关系?探究新知【想一想】我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方?相同点：不同点：形状相同．大小不同．探究新知

两个图形的形状________，但图形的大小位置__________，这样的图形叫做相似图形.完全相同不一定相同探究新知归纳总结图形的放大探究新知图形的放大探究新知图形的缩小两个图形相似探究新知

两个图形相似，其中一个图