《正弦定理》教案

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----《正弦定理》教学设计一、教学目标分析1、知识与技能：通过对锐角三角形中边与角的关系的探索，发现正弦定理；掌握正弦定理的内容及其证明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解决简单的实际问题。2、过程与方法：让学生从实际问题出发，结合以前学习过的直角三角形中的边角关系，引导学生不断地观察、比较、分析，采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理，使学生体会完全归纳法在定理证明中的应用；让学生在应用定理解决问题的过程中更深入的理解定理及其作用。3、情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，发现并证明正弦定理。从发现与证明的过程中体验数学的探索性与创造性，让学生体验成功的喜悦，激发学生的好奇心与求知欲。培养学生处理解三角形问题的运算能力和探索数学规律的推理能力，并培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和乐于探索、勇于创新的精神。二、教学重点、难点分析重点：通过对锐角三角形边与角关系的探索，发现、证明正弦定理并运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。难点：①正弦定理的发现与证明过程；②已知两边以及其中一边的对角解三角形时解的个数的判断。三、教法与学法分析本节课是教材第一章《解三角形》的第一节，所需主要基础知识有直角三角形的边角关系，三角函数相关知识。在教法上，根据教材的内容和编排的特点，为更有效的突出重点，突破难点，教学中采用探究式课堂教学模式，首先从学生熟悉的锐角三角形情形入手，设计恰当的问题情境，将新知识与学生已有的知识建立起密切的联系，通过学生自己的亲身体验，使学生经历正弦定理的发现过程，激发学生的求知欲，调动学生主动参与的积极性，引导学生尝试运用新知识解决新问题，即在教学过程中，让学生的思维由问题开始，通过猜想的得出、猜想的探究、定理的推导等环节逐步得到深化。教学过程中鼓励学生合作交流、动手实践，通过对定理的推导、解读、应用，引导学生主动思考、总结、归纳解答过程中的内在规律，形成一般结论。在学法上，采用个人探究、教师讲解，学生讨论相结合的方法，让学生在问题情境中学习，自觉运用观察、类比、归纳等思想方法，体验数学知识的内在联系，重视学生自主探究，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度和严谨求真的学习习惯。四、学情分析对于高一的学生来说，已学的平面几何，解直角三角形，三角函数等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。同时，由于学生目前还没有学习平面向量，因此，对于正弦定理的证明方法——向量法，本节课没有涉及到。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。五、教学工具多媒体课件六、教学过程创设情境，导入新课兴趣是最好的老师。如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半。上课一开始，我先提出问题：工人师傅的一个三角形模型坏了，只剩下如图所示的部分，乙243 = ，ab的长为1m，但他不知道AC和BC的长是多少而无法去截料，你能告诉师傅这两边的长度吗？教师：请大家思考，看看能否用过去所学过的知识解决这个问题？（约2分钟思考后学生代表发言）学生活动一：（教师提示）把这个实际问题抽象为数学模型—一那就是“已知三角形中的两角及夹边，求另外两边的长”，本题是通过三角形中已知的边和角来求未知的边和角的这个过程，我们把它习惯上叫解三角形，要求边的长度，过去的做法就是把未知的边必须要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函数进行求解，即本题的思路是：“把一般三角形转化为直角三角形”，也就是要“作高”。学生：如图，过点A作BC边上的高，垂直记作DVsinB=—..AD=ABsinBAB在RtUACD中，=在RtUACD中，=乳口。=些ADsiaCA3sinB

smCcsmB

smC然后，首先利用题目中的已知数据求出角C的大小，接着把题目中的相关数据和角C的值代入上述等式，即可求出b,即AC的值，然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函数知识可分别求出CD和BD的长度，把所求出的CD和BD的长度相加即可求出BC的长度。教师：这位同学的想法和思路非常好，简直是一位天才（同时再一次回顾该同学具体的做法）教师：能否像求AC的方法一样对BC进行求解呢?学生：可以教师：那么具体应该怎么做呢？学生：过点B向AC作高，垂直记作E，如图：BE在RtOABE中sinA= /.BE=ABsinAAB疗口口大一14n .厂BE-BEABsinA在RtOECE中sinC=——/.BC=-——= BCsinCsinC口r csmA即：a=- sinC接下来，只需要将相关的数据代入即可求出BC的长度教师：总结学生的做法通过作两条高线后，即可把AC、BC的长度用已知的边和角表示出来口nC5111A,CS111B即：自= ,b= 如C sinC接下来，只需要将题目中的相关数据代入，本题便迎刃而解。定理的发现：教师：如果把本题目中的有关数据变一下，其中A=50°,B=80o大家又该怎么做呢？学生1：同样的做法（仍得作高）学生2：只需将已知数据代入上述等式即可求出两边的长度教师：还需要再次作高吗？学生：不用教师：对于任意的锐角三角形中的“已知两角及其夹边，求其他两边的长”的问题是否都可以用上述两个等式进行解决呢？学生：可以教师：既然这两个等式适合于任意的锐角三角形，那么我们只需要记住这两个等式，以后若是再遇见锐角三角形中的这种问题，直接应用这两个等式并进行代入求值即可。教师：大家看看，这两个等式的形式是否容易记忆呢？学生：不容易教师：能否美化这个形式呢？学生：美化之后可以得到： （定理）教师：锐角三角形中的这个结论，到底表达的是什么意思呢？学生：在锐角三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等教师：那么锐角三角形中的这个等式能否推广到任意三角形中呢？那么接下来就让我们分别来验证一下，看看这个等式在直角三角形和钝角三角形中是否成立。定理的探索：教师：大家知道，在直角三角形ABC中：若=贝U：abcTOC\o"1-5"\h\z =c, -c, -c所以：sinA sinB sinCa_b_ c_ - - -c故：如& sinB sinCabcsinA sinB sinC即： 在直角三角形中也成立教师：那么这个等式在钝角三角形中是否成立，我们又该如何验证呢？请大家思考。ct_b_已学生活动二：验证 疝1/sin5疝1c在钝角三角形中是否成立教师（提示）：要出现sinA、sinB的值必须把A、B放在直角三角形中即就是要作高（可利用诱导公式将51口口转化为工）学生：学生可分小组进行完成，最终可由各小组组长汇报本小组的思路和做法。（结论成立）教师：我们在锐角三角形中发现有这样一个等式成立，接下来，用类比的方法对它分别在直角三角形和钝角三角形中进行验证，结果发现，这个等式对于任意的直角三角形和任意的钝角三角形都成立，那么我们此时能否说：“这个等式对于任意的三角形都成立”呢？学生：可以教师：这就是我们这节课要学习的《正弦定理》（引出课题）定理的证明 教师：展示正弦定理的证明过程证明：（1）当三角形是锐角三角形时，过点A作BC边上的高线，垂直记作D，过点B向AC作高，垂直记作E，如图：

r । RRABBE二一BEABsmABCsinCsinC在RtDBCE中：sinC在ABBE二一BEABsmABCsinCsinC在RtDBCE中：sinC.csinA即：”- sinCabc

sinAsin.BsinC亡，=亡，=： z-同理可得：smCabcsinAsinBsmC所以易得(2)当三角形是直角三角形时;在直角三角形ABC中：若=因为：abc -c, -c, -c所以：sinA sinB sinCabc = = -c故：sinAsinB sinC即：（3）当三角形是钝角三角形时（角C为钝角）A口 CD过点A作BC边上的高线，垂直记作D由三角形ABC的面积可得 即：故：abg abc—: = = = = sm'sm所sinC所以，对于任意的三角形都有旭工3mBsinC成立。教师：这就是本节课我们学习的正弦定理（给出定理的内容）（解释定理的结构特征）思考：正弦定理可以解决哪类问题呢？学生：在一个等式中可以做到“知三求一”定理的应用教师：接下来，让我们来看看定理的应用（回到刚开始的那个实际问题，用正弦定理解决）（板书步骤）门〕在AABC中，A=4亍,C=15\曰=2出,求8的值⑵在AABC中，A=30%B=45\弓=2,求白的值随堂训练学生：独立完成后汇报结果或快速抢答教师：上述几道题目只是初步的展现了正弦定理的应用，其实正弦定理的应用相当广泛，那么它到底可以解决什么问题呢，这里我送大家四句话：”近测高塔远看山，量天度海只等闲；古有九章勾股法，今看三角正余弦”以这四句话把正弦定理的广泛应用推向高潮）abc疝1且sin5疝1C课堂小结：1、知识方面：正弦定理：2、其他方面:一fff 过程与方法：发现推广猜想验证证明（这是一种常用的科学研究问题的思路与方法，希望同学们在今后的学习中一定要注意这样的一个过程）数学思想：转化与化归、分类讨论、从特殊到一般作业布置：①书面作业：P/②查找并阅读“正弦定理”的其