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§7.4曲线积分与路径的无关性一、曲线积分与路径无关的定义设D是开区域，在D内具有一阶连续偏导数.如果D内任意两个指定点A,B以及在D内从点A到点B的任意两条曲线L1，L2有：恒成立，则称曲线积分在D内与路径无关,二、平面曲线积分与路径无关的条件可得如下四个等价命题：证明用定义证明当起点固定时只与终点有关，记则2解原积分与路径无关

例1

计算.其中L为由点到点的曲线弧.故原式

解例2

设曲线积分与路径无关,其中具有连续的导数,且,

计算:积分与路径无关，故解例3

计算其中L为由点到点的上半圆周D所以在不包含原点的单连通区域内曲线积分与路径无关.三、全微分当条件满足时，函数u(x,y)(不计一常数)可由曲线积分求出，其形式为：●积应用曲线积分与路径无关.可得通解如下：通解为：或解是全微分方程,例7原方程的通解为常见的全微分表达式解将方程左端重新组合,有例8求微分方程原方程的通解为例9解整理得A.

用曲线积分法:B.

凑微分法:C.不定积分法:原方程的通解为四、空间曲线积分与路径无关的条件定

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