必修4第三章三角恒等变换测试题

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1．sin105°cos105°的值为()1B．－43D．－4111解析原式＝2sin210°＝－2sin30°＝－4.答案B1ππ2．若sin2α＝4，4<α<2，则cosα－sinα的值是( )3B．－23D．－4解析

(cosα－sin

2α)＝1－sin2

1 3α＝1－4＝4.ππ又4<α<2，33∴cosα<sinα，cosα－sinα＝－4＝－2.答案B4α3．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝5，则tan2＝(

)A．3

B．2C．－2

D．－3答案

D4．在△ABC中，∠A＝15°，则

3sin

A－cos(

B＋C)的值为(

)D.2解析 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，3sinA－cos(B＋C)3sinA＋cosA31＝2(2sinA＋2cosA)＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝2.答案A1215．已知tanθ＝3，则cosθ＋2sin2θ等于()64A．－5B．－5cos2θ＋sinθcosθ1＋tanθ6解析原式＝cos2θ＋sin2θ＝1＋tan2θ＝5.答案D6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形π解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝2.答案D2237．设a＝2(sin17°＋cos17°)，b＝2cos13°－1，c＝2，则()A．c<a<bB．b<c<aC．a<b<cD．b<a<ca＝22解析2sin17°＋2cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b＝2cos213°－1＝cos26°，3c＝2＝cos30°，∵y＝cosx在(0,90°)内是减函数，∴cos26°>cos28°>cos30°，即b>a>c.答案 A8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tanA·tanB与1的大小关系为(

)A．tanA·tan

B>1

B.tan

A·tanB<1C．tanA·tan

B＝1

D．不能确定解析 在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．则有tanA>0，tanB>0，tanC<0.又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，tanA＋tanB∴tanC＝－tan(A＋B)＝－1－tanA·tanB<0，易知1－tanA·tanB>0，即tanA·tanB<1.答案 Bπ

π9．函数f(x)＝sin2x＋A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数

4

－sin2x－4是( )f(x)＝sin2π－sin2π解析x＋4x－4cos2π－x－sin2x－π44cos2x－π－sin2x－π44πcos2x－2sin2x.答案 A10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是( )A．[－2,2]21＋cos2x1解析y＝cosx＋cosxsinx＝2＋2sin2x12222＋22sin2x＋2cos2x1 2 π＝2＋2sin(2x＋4)．∵x∈R，∴当sin2x＋π＝1时，y有最大值1＋242；π＝－1时，y有最小值1－2当sin2x＋2.4∴值域为1－2，1＋2.22答案C的值是()解析原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°＝sin70°3cos20°＝cos20°＝3.答案C12312．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝13，cos(2α＋β)＝5，则cosα的值为()16D．以上都不对或6512解析∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝13>0，π5∴0<α＋β<2，sin(α＋β)＝13.30<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝5>0，π 40<2α＋β<2，sin(2α＋β)＝5.cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)3 12 4 5 565×13＋5×13＝65.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα________.解析 ∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵β为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα1.答案 11 4 414．已知cos2α＝3，则sinα＋cosα＝________.1解析 ∵cos2α＝3，8sin2α＝9.sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α11－2sin

2

1 8 52α＝1－2×9＝9.答案

59________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，cosα 1∴原式＝ ＝.2cosα 21答案2π π16．关于函数f(x)＝cos(2x－3)＋cos(2x＋6)，则下列命题：y＝f(x)的最大值为2；②y＝f(x)最小正周期是π；③y＝f(x)在区间π，13π上是减函数；2424π④将函数y＝2cos2x的图象向右平移24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．解析f(x)＝cos2x－π＋cos2x＋π36π π πcos2x－3＋sin2－2x＋6π πcos2x－3－sin2x－3＝2π－2π2·cos2x－2sin2x－323π π＝ 2cos2x－3＋4π＝ 2cos2x－12，∴y＝f(x)的最大值为

2，最小正周期为 π，故①，②正确．又当

x∈

π24，

13π24

π时，2x－12∈[0，π]

，∴y＝f(x)在

π24，

13π24上是减函数，故③正确．由④得y＝2cos2x－π＝2cos2x－π，故④正确．2412答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)217．(10分)已知向量 m＝cosα－3，－1，n＝(sinx,1)，mπ与n为共线向量，且α∈－2，0.(1)求sinα＋cosα的值；sin2α求sinα－cosα的值．解(1)∵m与n为共线向量，2cosα－3×1－(－1)×sinα＝0，2即sinα＋cosα＝3.2 2(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)＝9，7∴sin2

α＝－9.∴(sin

2α－cosα)＝1－sin2

α＝

169.π又∵α∈－2，0，∴sinα－cosα<0.4sinα－cosα＝－3.sin2α 7sinα－cosα＝12.3ππ2－2sinα＋4cosα＋41＋tanα18．(12分)求证：cos4α－sin4α＝1－tanα.πππ证明左边＝2－2sinα＋4＋2cosα＋4cos2α＋sin2αcos2α－sin2α2－2cos2α＋π4cos2α－sin2απ1－cos2α＋

2cos2α－sin2α1＋sin2αsinα＋cosα2cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcosα＋sinα 1＋tanαcosα－sinα＝1－tanα.∴原等式成立．π 2 π 3π19．(12分)已知cosx－4＝10，x∈2，4 .求sinx的值；π求sin2x＋3的值．3π解(1)解法1：∵x∈2，4，πππ∴x－4∈4，2，π2π72于是sinx－4＝1－cosx－4＝10.＝x－π＋πsinxsin44ππππ＝sinx－4cos4＋cosx－4sin472222＝10×2＋10×24＝5.解法2：由题设得2222cosx＋2sinx＝10，1即cosx＋sinx＝5.又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sinx－12＝0，4 3解得sinx＝5，或sinx＝－5，π3π4因为x∈2，4，所以sinx＝5.π3π(2)∵x∈2，4，故cosx＝－1－sin2x＝－4231－5＝－5.24sin2x＝2sinxcosx＝－25.2 7cos2x＝2cosx－1＝－25.πsin2x＋3π πsin2xcos3＋cos2xsin324＋73＝－.50．分已知向量＝cos3x3xxx，20(12)a22b22c＝(3，－1)，其中x∈R.当a⊥b时，求x值的集合；求|a－c|的最大值．解(1)由a⊥b得a·b＝0，3x x 3x x即cos2cos2－sin2sin2＝0，kπ π则cos2x＝0，得x＝2＋4(k∈Z)，∴x值的集合是xx＝kππ，k∈Z.2＋423x23x2(2)|a－c|＝cos2－3＋sin2＋1cos23x－23cos3x＋3＋sin23x＋2sin3x＋122223x3x3xπ＝5＋2sin2－23cos2＝5＋4sin2－3，则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为出的长方形桌面的最大面积(如图)．

1cm，求割解连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin

2θ＋sin

1 1θcosθ＝－2(1－cos2θ)＋2sin2

θ1 12(sin2θ＋cos2θ)－22 π 1＝2cos2θ－4－2.当2θ－π＝0，即θ＝π时，Smax＝2－1(m2)．482∴割出的长方形桌面的最大面积为2－1m2.222．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π.求ω的值；1将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐π标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，16上的最小值．解 (1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx.1＋cos2ωx所以f